我與有限元caoer

1、我與有限元by caoer7 j w+ k: c6 n7 i+ ; v. r8 j2 f-某個周末的一天，電腦前坐了12小時完成了此文。/ a6 p- l6 + b. v4 ?: p, / d2 _+ + f, z. q2 j e z) ecatalog 4 x t9 x; r9 u z% # p% m6 x0 j0 a7 g( h# tpreface_寫本文的初衷 l- ( 0 u7 b$ g0 % z& j. tch1_什么是有限元2 y0 i6 l6 c, ; u& ech2_有限元軟件的介紹與比較* y; x! f$ a1 z! / c: ) e7 0 vch3_有限元的數(shù)值方法: y

2、# f( du2 h3 nch4_常用固體單元$ 3 2 i0 r# x8 e8 a/ v8 ych5_有限元的求解器& / : d3 f* v5 h$ xch6_有限元的未來% u3 z+ ; $ n 6 p* x5 u/ i! : w7 4 q- , oconcludsion_我能為fem做什么preface_寫本文的初衷 by caoer3 _ g1 j, f% wz / s4 _2 p. 5 r: g接觸有限元時間不算常也不短，從03年到現(xiàn)在吧，中間斷斷續(xù)續(xù)的學習有限元，大大小小軟件也用了不少，牛人的帖子大師的著作讀了一些，最近常來simwe逛逛，發(fā)現(xiàn)還有很多學弟學妹初學fem，提出的

3、問題五花八門但大多不對正路，不竟回想起了當年自己學習有限元時情景，孤立無助到處瞎碰，通宵熬夜啃手冊也得不出一個所以然來，現(xiàn)在回頭想想如果有幾個良師益友會是多么幸福的事情，寫此文僅僅只為了讓后生少走些當年自己走過的彎路，有更多的精力去研究更深層次的問題，而不是在門檻上打轉(zhuǎn)，同時也算是報答simwer多年來陪伴。$ y% 0 : t4 u9 p d/ g8 d) d) u: b$ * c& v& 本文如有疏漏的地方，還請各位高手補充指正。ch1_什么是有限元by caoer- x. v9 m4 c% j* u1 q) k; m7 m5 v9 % 1.1 pde5 j e9 # d 3 有限元是一種

4、求解問題的數(shù)值方法，求解什么問題呢？求解pde(偏微分方程).那么pde是做什么用的呢？描述客觀物理世界。我想如果這兩個問題搞清楚了也就明白了為什么要用fem,fem可以做那些東西。 pde可以描述很多物理現(xiàn)象，電磁，流體，換熱，diffusion,力學，河床變遷，物種競爭，股票金融，等等等等。乃至整個宇宙，當然也不是所有的物理現(xiàn)象都可以用pde描述，如微觀世界分子原子的運動等等，所以我從來都不建議用有限元方法仿真微觀物質(zhì)現(xiàn)象的原因，這是題外話就不多說了。除了pde以外，ode同樣也可以描述客觀世界，但ode多用于控制系統(tǒng)，很多線性pde的解法也都是將pde轉(zhuǎn)化為ode來解的，如separat

5、ing variables方法。4 s) o5 s* j; y3 e. z( m& y$ x& _1.2 求解pde% n2 e) x7 i2 k5 k# d4 m7 . c8 ?3 _/ t1 z. 有了pde以后，問題是如何求解并得到結(jié)果，首先要說明的是不是所有的pde都有解的，往往有解的pde才有實際工程意義。對于數(shù)值解法，常用的是有限差分，有限元和譜方法，還有蒙特卡羅法。有限差分出現(xiàn)的較早，計算精度相對較高，但是費時，且模型形狀必須規(guī)則，邊界條件處理困難。有限元方法效率高且滿足精度要求，邊界條件容易處理，得到了廣大的應(yīng)用。譜方法是基于fft方法的解法，精度高，收斂快，必須使用perio

6、dic boundary condition，適合微觀尺度的pde解。蒙特卡羅法不是基于弱解形式的，多用于金融分析，這里還是著重有限元解pde，顧名思義，有限元將整個計算幾何模型劃分為很多小的單元（element）,每個單元的含有一定數(shù)量的節(jié)點(node)，具體單個單元有多少節(jié)點，有對應(yīng)的不同算法與差值方程，拿一個簡單的線性4節(jié)點平面單元來說，每個單元包含4個節(jié)點，每個節(jié)點有對應(yīng)的variable值，比如簡單固體力學問題，每個節(jié)點就有對應(yīng)的位移值，熱力學問題每個節(jié)點就有對應(yīng)的溫度值，等等。然后單元內(nèi)部的variables就通過差值方法計算得出。* s8 |/ e$ z# 4 z: m& c3

7、m5 b4 s9 u& g. r( v7 i1.3 galerkin approximation 與 weak formation4 o$ b/ f, c r6 y. f# x& x8 l6 y; o2 te w) k弱解(weak formation)是建立在變分法基礎(chǔ)上的，通過這個方法將strong form的pde轉(zhuǎn)換為weak form,使得有限元的求解成為可能，具體如何推導weak form可以參考一些有限元書籍，如果一本基礎(chǔ)的有限元書籍沒有介紹如何推導weak form,那么可以考慮選擇換一本了。推導所得的弱解形式仍需要通過計算機來計算，galerkin方法推導出含有求和符號的公式

8、，在計算機中多半以loop的形式來計算這個量，往往這個量就是stiffness matrix中的component。公式中還會存在積分計算，有限元方法多用gauss quaradure的方法來計算，精度一般可以滿足。也就說一般有限元計算中存在兩次approximation,一次是galerkin一次是gauss,這也是很多人在計算完以后需要進行validation的原因。單個單元的stiffness matrix計算完成后，還需要將所有單元的矩陣裝配為一個大型的矩陣，然后進行線性代數(shù)計算。這個裝配是很有技巧的，因為一般情況下stiffnessmatrix是一個很大的稀疏矩陣，值往往可以省去以節(jié)

9、省計算量。要知道，一個個單元的節(jié)點平面單元單個變量的stiffness matrix會有101x101大，隨著單元數(shù)或變量的增加，計算是驚人的。1 t* j8 k: o3 2 c. c* h. o: q . n. m) s1.4 后處理# g# d0 w; q4 h, u8 _/ 其實對于最基本的有限元方法，求解得到的僅僅是variable的值，如力學就是節(jié)點位移值，thermal problem就是溫度值，流體就是位移速度加壓力值，如果我們想知道應(yīng)力或者應(yīng)變怎么辦呢？后處理系統(tǒng)里面?zhèn)€都會增加相應(yīng)子程序來計算stress, strain, flux等等。這也就是為何我們能看到各種各樣俄cont

10、our的原因了，當然讀者也可以自己加入計算各種量的子程序，如應(yīng)變能密度什么的。關(guān)于什么是有限元就介紹到這里，僅僅是一些隨筆和想法，具體的理論和推導需要自身實踐與探索，本文行文倉促只是闡述自己對有限元的粗淺理解。有不對的地方還請指正。下一章會談及一些我曾經(jīng)用過得軟件。ch2_有限元軟件的介紹與比較 by caoer z+ r; v7 ws1 o, p/ q有限元軟件很多，有商業(yè)的，開源的，免費的，并行的，多物理場的，專業(yè)于某領(lǐng)域的，這里僅僅介紹一些筆者曾經(jīng)用過的，遺漏的還請高手補充，我會注明是你的補充。5 x: r( s8 v0 & d7 g, k9 u4 v2 q0 2 s) t2 m1 v2

11、 x2.1 ansys& j% g6 b6 a( t% i第一個學習的有限元軟件，也是上世紀末本世紀初國內(nèi)最流行的，為什么流行呢？應(yīng)為ansys的教程鋪天蓋地，所以大家都學習ansys因為有教程上手快，那個時abaqus的教程可謂是鳳毛麟角，自然學習的人也就不多，當時組里導師都是用ansys，自然我也就用了。如果一個有限元軟件推廣的好，那么他的教程一定要推廣的好，fem是一個專業(yè)性很強的軟件，教程推廣不夠，銷售自然不行。題外話，接下來說說對用他的感受。6 o+ c0 a9 5 z( s2 v. x) g3 y7 c c5 v$ h7 k4 v當時學習ansys是直奔apdl去的，加上理論背景很

12、弱所以學習過程異常艱苦。總得說來ansys是一個很中規(guī)中具的軟件，功能很強大，計算也很可靠，速度快，基本上固體力學的問題都能解決。作為一個工程軟件還是很不錯的。幫助文件很豐富，我也挑不出他什么缺點。只是感覺國內(nèi)學習ansys已經(jīng)陷入了一個怪圈，用戶喜歡就某一個應(yīng)用技巧鉆的很深，對于其基礎(chǔ)的理論卻忽略不視，這無不于大量ansys教材的編寫誤導有關(guān)。是指算例，卻不關(guān)心原理，悲哀。; g( j) h) r+ v4 z; f, v) ?: z) h7 z2.2 （femlab）0 c: 7 w, g8 e第一次用comsol的時候它叫femlab2.0,直奔多物理場耦合而去的，無奈的是只是作為一種興趣

13、學習的，因為時間精力問題最后也沒有很深入，偶然機會年后又開始認真的學習，逐漸體會到他的強大，我想說的是comsol對于各種物理場的research的確是一把利器，他可以任意的由用戶輸入,計算結(jié)果并出contour,這對于懂得有限元理論卻又不想花大量的時間來編程的人來說，就是種bliss,然而缺點就是速度太慢，這也是可以理解的，畢竟comsol是將單元與pde信息進行重組后計算，而不是很多商業(yè)有限元已經(jīng)將de固化在單元信息里了，但是其出色的weak form pde模塊是不可多得的有限元分析模塊。還有其建模與后處理模塊相當方便，比ansys方便很多。至于計算的精確性筆者還抱有懷疑態(tài)度，細節(jié)就不提

14、了。國內(nèi)現(xiàn)在這個軟件推的很好，大有趕超ansys之勢。- c5 u5 k7 - n0 x4 9 c: w/ j, r% s9 ) ! q j/ y2.3 feap 6 u/ v5 ; v1 r. y* r這個其實是老大哥，雖然很多人不知道它。開源，不免費，但是很便宜，也有免費的學生版本，大家可以下載學習用。據(jù)說abaqus和ansys都是源于這套程序，abaqus技術(shù)部里面的人都是feap搞這個組里出來的，雖然是用fortran編的，但是編程思路清晰，注解豐富，參考文檔相近，實在是不可多得學習fem的神器。不提供gui的輸入方式，命令的輸入和apdl和umat方式很像，都是文本macro方式。

15、計算速度超快，帶有后處理功能，提供強勁的二次開發(fā)接口，可以自己編寫子程序輸出其他后處理軟件如tecplot.具有openmpi并行能力，提供豐富的elastic, plastic，hyperelastic 模塊。缺點是之用于固體力學與熱計算，當然可以自己開發(fā)其他單元，如電磁的。還有就是feap只運行于linux下，使用者需要知道如何make程序。& 9 d8 u- y$ n( o7 l6 m p% k8 m; q; s, |8 o4 |2.4 libmesh 和 deal ii% w8 |. u$ o w7 之所以把這兩個程序放在一起，是因為都出自于同一個大師。c+開源免費程序，非常的robu

16、st，但是還有一些小bug存在，可以應(yīng)用于更廣泛的領(lǐng)域如流體，強勁在于adaptive meshing,和remesh,從而可以解決很多常規(guī)有限元無法解決的問題，如singularity問題。需要有c+背景以及有限元理論知識，也是筆者遇到門檻最高的一個有限元軟件，推薦給專業(yè)人事。同樣是在inux下運行的軟件。. m( v1 j) v- o. n) h7 . p5 7 , m4 l/ a0 o+ b4 z7 2.5 algor_pipeline6 f) 4 k+ o: k$ b, 8 這個軟件在也挺有名，但是國內(nèi)用的少，主要是固流耦合這快做得比較好，就我所知一些有名的飛機和流體機械廠都用他，我主

17、要是用pipeline這個插件，也許名字記得不對，就是用來計算整個管路系統(tǒng)的震動的，前處理中設(shè)定管路，就可以計算出各階振型與頻率，很方便，據(jù)說準確性挺好。其主模塊用的不多，不做討論了。0 : bq) w% - z2 e t0 b% f% r6 j, j7 p, 2 m( l# t6 d8 p+ i/ t, z% l+ u8 t. 基本上筆者主要使用的就是這幾種有限元軟件，我想如果能精通上面任何一種軟件，學習其他的軟件都是一個很快的過程。如果你是博士生且有一個比較長得研究學習時間，推薦用feap和deal ii,如果是碩士，推薦comsol，本科畢業(yè)設(shè)計，推薦ansys.當然每個人水平周圍環(huán)境都

18、不一樣，不能一概而論，總之多學一點東西沒有壞處，每個軟件都有其深厚的背景。也歡迎高手補充其他軟件，投條給我。ch3_有限元的數(shù)值方法 by caoer . m& v% o$ e6 r+ x: p# k5 o) f9 g x這里先略過有限元的幾何建模與網(wǎng)格劃分部分，因為一來不是數(shù)值方法的主要部分，二來我對這塊也不是很精通，所以直接從數(shù)值解法入手。這部分可以說是ch4與ch5的總體概覽部分。也是fem的核心。4 a7 j6 x3 p) o, y6 k% b) u |: |- l6 r3.1 單元離散化與jacobian8 r1 k. ! v! j$ & | j劃分好網(wǎng)格后，就意味著單元編號以及節(jié)點

19、都已確定下來了，其實這步在有限元分析的一開始就設(shè)定好了。拿平面單元為例，如果選用平面8節(jié)點矩形單元來計算熱力學問題，那么每個單元有8個節(jié)點溫度值，要知道每個節(jié)點的位置并不是規(guī)則均勻分布在實際有限單元上的，人們通常將節(jié)點的global坐標轉(zhuǎn)換到local坐標上，以方便計算推導，之后再通過jacobian轉(zhuǎn)換到global上，這點和連續(xù)介質(zhì)力學的reference轉(zhuǎn)換是同一道理。3 w& z! a& ! c2 % r- k5 p- b. c/ v% x* d + $ w3.3 運動方程與各種矩陣+ z% i, f+ k; z- k0 v得到了單個單元的8節(jié)點test function 或 gred

20、iant of test function的積分值以后（積分的計算用gauss法），就需要聯(lián)系所有的單元，裝配成為一個整體的矩陣，這個矩陣就是stiffness matrix,如果是一個4單元簡單正方形區(qū)域，那么裝配好的stiffness matrix就是一個21x21矩陣，以k標記，除此以外，如果是瞬態(tài)問題，也會有質(zhì)量矩陣存在，多半是一個對角矩陣，其值一般是test function的積分值，如果存在damping那么還會存在damping matrix,一個有限元系統(tǒng)一般只存在這3個矩陣，然后通過一個運動方程將其連立起來，即 m*u_tt+d*u_t+k*u=f,f是source。這就是將

21、pde轉(zhuǎn)化為弱解再轉(zhuǎn)化為有限元方程的最后形式。7 j9 , r9 v4 q/ l: y+ z4 n x0 l6 i& d) c1 k; t3.4 ax=b求解# g; 3 u: d g. o: f有了 m*u_tt+d*u_t+k*u=f 方程，接下來要做得就是求解他，如果是一個2x2的矩陣，手工即可計算得到，實際應(yīng)用中，往往都是上萬階的矩陣。也許有人會問了u_tt和u_t是怎么解得的？瞬態(tài)問題由于有了時間變量的加入，所有必須要有對應(yīng)的時間積分求解器，這點在求解器部分會詳述，經(jīng)過時間求解器的計算后，運動方程還可以化簡為 k_tildeu=f的形式，也就是線代求解器需要解的最后方程，求解后，各節(jié)

22、點的u值得到。完畢。nl- k$ z. n4 f0 v8 k0 j% x% $ l0 c( i- x+ t3.5 多場耦合方法& s. s! z! l& v* p如果有多個場存在怎么辦呢？道理很簡單，比如一個固體場一個溫度場，兩個pde出來的運動方程是這樣的 m1*u_tt+d1*u_t+k1*u=f1和 m2*u_t+k2*u=f2,將兩個場的運動方程線性進行疊加（線性耦合），得到 m1*u_tt+(d1+m2)*u_t+(k1+k2)*u=f1+f2 ,再化簡，得到 k_tildeu=f3，使用求解器求解既得結(jié)果。這里只是簡單的線性耦合，對于復(fù)雜物理現(xiàn)象的非線性耦合都是在這個基礎(chǔ)之上進行變

23、化。而且要注意的是，最后所得的k_tilde不一定是對稱矩陣，也就意味著求解器必須要有解unsymmetric matrix的能力。1 l$ lx7 d) w7 b9 , r5 s- i0 k8 y5 p; ( b/ r, , e3.6 邊界條件加載2 n7 $ c8 h: 4 _6 d邊界條件的加載，往往都是在單元矩陣裝配完畢以后進行的，往往是variable或是gradiant of variable的值被限定住了，如果pde存在3階grediant，那么還會存在laplace operator of veriable的邊界條件。具體編程的實現(xiàn)我能完全總結(jié)出來，先欠著回頭再寫，以免誤人子弟

24、。0 x) c0 p7 t9 g9 q0 j- h# i& j) rq$ l) l* a1 g帖子是想到什么寫什么，難免凌亂沒有章法，也有不少遺漏之處，想到了再回來補ch4_常用固體單元 by caoer ; u3 p9 t3 n+ u0 c& |4 f記得自己剛學ansys的時候就被自帶的100多個單元模型搞的暈頭轉(zhuǎn)向，到底應(yīng)該選擇什么樣的單元？這些單元有什么不同？這些問題一直困擾著我，其實把每一種單元都搞透是一件不太可能的事情，但有件事情可以做得就是對于幾個大類的單元有個底層數(shù)值方法上的了解，這對于單元的選擇與開發(fā)是至關(guān)重要的。這里僅以3d單元作為例子。) s g; b* q% i i$

25、s; e/ k2 c8 n8 d- u6 o$ v; b% z7 m. 有限元方法中以單個單元為基礎(chǔ)，所有的單元都有相同的屬性，這些單元組成了整個domain,可以說了解了單元也就了解了整個模型，現(xiàn)代有限元軟件都將pde整合在了單元信息里面，還句話說，pde所推導出的弱解形式中非邊界條件term都體現(xiàn)在了單元中。) j7 b, b3 # d6 j8 t: + k6 t( v, a7 l# l4.1 固體單元, 變量：位移u1,u2,u3. a; n: l; l6 j- s6 工程力學中最常用的單元，常用于連續(xù)介質(zhì)的力學計算，一般分為small deformation 和 finite defo

26、rmation 兩個區(qū)域，記得ansys里面有個大變形開關(guān)，一打開后計算變得慘不忍睹，所以選擇small還是finite要看具體的問題，常見工程材料一般都是small deformation,此外對于不同的材料，如超彈，粘彈，彈塑材料都有不同的數(shù)學模型，這里選擇的時候一定要慎重，不要想當然，最好要看看手冊和理論，計算方法上常用的有displacement,mixed,enhanced strain方法，displacement是最原始的，收斂效果不好，可以用于解決一般基礎(chǔ)問題，推薦后面兩種來解非常規(guī)材料。此外，對于同樣的pde模型，單個單元節(jié)點越多計算越精確，單元數(shù)目相同情況下，八面體單元比6

27、面體單元精度高。, ?% ei% y, ?0 , s2 _9 o7 j8 y) ( b4.2 熱單元，變量：溫度t.g7 f& w! o! u( g7 * b6 n! n是相對簡單的一種單元，pde本身也很簡單，就是換熱方程，節(jié)點自由度就是t,由于溫度t沒有方向性，所以t只有1維量，計算量小。另外heat flux = gradient of t, 重點參看一下fourier heat conduction equation.; g, l- ( b- h3 - x9 c, : p3 m& h+ x; j4 a% u4.3 殼單元，變量：u1 , u2 , u3 , 1 , 2 , 3; ! y

28、+ m2 u4 u: q, y% k有些具有曲面外殼的材料，其一個方向的變形要遠遠小于其他方向的，如人的骨頭表面，就是一層非常硬的皮質(zhì)骨，所以生物力學的人都用shell單元作表面單元.也有一種大變形的殼單元，只含有5個變量,少一個或是u,但是有可能在計算的時候不收斂，所以在使用不同的shell單元時，一定要多看看說明，遇到不收斂的情況也不用慌張，多從手冊分析解決問題。3 e$ x/ e2 h2 # v: g$ z% p m4 a y, t+ |. y4 i/ v4.4 框架單元,變量:u1,u2,u3,1,2,33 n( d8 7 o9 l7 s4 i7 _常用于結(jié)構(gòu)計算，如彎曲，剪切變形。也

29、就是材料力學里面各種梁的計算，這里pde方程是關(guān)于u的4階grediant,解的方法是將二階gradiant of u 看作是moment,3階看作是shear stress，這類單元通常是2節(jié)點單元，一頭一尾相互連接。7 b( p7 r0 n: * i2 u. c. o6 h3 jb; _( 索單元和板單元就不贅述了，可以參看相關(guān)資料，與框架單元大同小異。索單元甚至更簡單，和熱單元類似。還有一些薄膜單元點單元什么的應(yīng)用很少，就不多說了。. n: z) k. a- l* g! v8 t8 s1 i4 8 d9 |9 e7 r) z w( k# h; y看到simwe上很多人開口閉口二次開發(fā)，其

30、實所謂二次開發(fā)很大程度上都集中于新單元的開發(fā)，如果你有新的pde，要想計算實現(xiàn)它，就必須寫出新的單元代碼，從而實現(xiàn)計算。其他方面的二次開發(fā)無外乎一些后處理或是mesh上面的新功能，而這些商用有限元基本成熟，所以再提二次開發(fā)之前，先想想現(xiàn)有的單元庫里面有沒有我需要的單元，如果沒有再二次開發(fā)它，而這個過程是漫長而檢苦的。ch5_有限元的求解器 by caoer n4 最后的問題都圍繞求解ax=b這個方程組了，也就是要求解它，那么高效的求解器是必要的。其實很多商業(yè)有限元的使用者都忽略求解器的選擇，實際上求解器直接決定了求解的正確與否，選擇正確有效的求解器也是所有分析人員必須了解的問題。有人抱怨有限元

31、計算太費時，或是老報錯，很有可能選擇了不正確的求解器，這里僅對主流一些求解起作一些介紹。畢竟solver成千上萬，很多人也喜歡編寫自己的求解器來解決特定的問題，這樣他們認為更加有效率且誤差小。本節(jié)主要介紹線代求解器和時間求解器，線代求解器又分為直接求解和迭代求解器。! z( z3 e, o3 j6 l& e6 b8 l& l0 z o3 ; _, g+ i3 + 2 v5.1 常用直接求解器(從中仿科技ppt中拷貝)& 7 v; f/ l* s c& i1 umfpack, spooles, taucs, pardiso等2 9 9 w( y+ u8 k5 g 易于使用,魯棒性,占用內(nèi)存大$

32、a+ z& w7 o) s d 適于處理小規(guī)模問題,高度非線性和多物理場問題6 g/ & r7 f$ 1 v6 n umfpack4 n& 7 h1 m+ s: m& a 對一般的非對稱矩陣是魯棒和高效的 要么計算成功,要么運算內(nèi)存不足z0 r b3 v5 kn5 l spooles+ w; + r3 a) j1 | 利用對稱矩陣 內(nèi)存使用比umfpack有效,但計算速度較慢 n w% n& f. p- c y pardiso k, 1 e2 l6 c0 e 利用對稱矩陣和umfpack類似,但使用內(nèi)存比spooles少共享內(nèi)存式并行處理 在矩陣分解過程中不需要選主元從而節(jié)省內(nèi)存,這導致不精確

33、的因子 由于支持并行的折中處理,不是100%的魯棒性( % w1 _+ d% z$ q3 a) c . y, , y. u0 y1 a, f taucs 非常適合于對稱,正定矩陣+ i. v, t6 x6 z+ z8 u) r( h/ v+ q, l5 t. y/ _2 d. e5.2 常用迭代求解器(從中仿科技ppt中拷貝) i+ u- z4 u- p o. s# t w gmres, fgmres, conjugate gradient, bicgstab等( x/ e/ _7 lq 占用內(nèi)存少,更多的選擇,調(diào)整比較困難# y. w0 a) w& 3 x 應(yīng)用于特定的物理場,如,em,cf

34、d等3 y# d % w6 g* x e u 需要預(yù)處理器,網(wǎng)格框架,平滑器等& p) ) xt# y% t# j, b/ f; b v7 t5 o: b1 l1 y$ m gmres 在前面所有搜索方向上最小化殘差,直到重新開始 如何調(diào)整重新求解前迭代步數(shù)(默認為50) 更節(jié)省內(nèi)存 - 減小 得到較好的魯棒性 - 增加5 g1 u5 k/ ?$ q- p4 x fgmres4 8 b/ t1 q2 mq gmres的一個靈活的變種 能有效地處理更多類的預(yù)處理器 比gmres開銷2倍多的內(nèi)存3 w r( w+ f% * y3 u conjugate gradient 對稱正定問題 在計算時比g

35、mres更快、內(nèi)存使用效率更高/ h4 r6 ym0 j1 x0 d7 3 . : mr a% y8 % q9 k! o) v3 5.3 常用時間求解器* h( n5 g/ qq對于無時間求導的pde也就是穩(wěn)態(tài)問題,時間求解器有 quasi-static method 和 midpoint static method。一階時間求導的pde，如thermal or diffusion equation, 有backward euler implicit method, backward difference formular methed (bdf),和generalized midpoint

36、method, 其中bdf方法收斂快精度好，推薦使用。二階時間求導的pde方法很多，比較代表性的是newmark method和hht alpha method。當然也可以編寫自己定義的求解器，好的求解器痕量標準就是準確度高速度快。 v8 u t1 p6 w3 + h! , t2 o% w% c4 s3 |6 o# 8 pt這里只是簡單提及了常用的求解器，具體的理論和方法在網(wǎng)上和教材上都有，就不贅述了。想要說的是求解器是數(shù)學背景人非常關(guān)心的問題，而放到的工程應(yīng)用領(lǐng)域卻被極大的忽視了，方便了使用者，但這也許是商用有限元黑盒子帶來的弊端。這里直接引用了中仿科技關(guān)于comsol solver的介紹，介紹的很全面我不用費力大字了，偷個懶。上面有很多求解器都是開源免費的，如果自己編寫程序，可以直接從網(wǎng)上下載并使用。ch6_有限元的未來 by cao