計(jì)算方法常微分方程求解

1、 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a, b r1 上連續(xù)，且關(guān)于上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足滿足 lipschitz 條條件件，即存在與，即存在與 x, y 無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù) l 使使對(duì)任意定義在對(duì)任意定義在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，則上述問(wèn)題都成立，則上述問(wèn)題存存在唯一解在唯一解。| ),(),(|2121yylyxfyxf ),., 1()(nixyyii 節(jié)點(diǎn)間距節(jié)點(diǎn)間距 為步長(zhǎng)，通常采用為步長(zhǎng)，通常采用等距節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)，即取即取 hi = h (常數(shù)常數(shù))。) 1,., 0(1

2、nixxhiii1 歐拉方法歐拉方法 歐拉公式：歐拉公式：),()()()()()(000000110yxfhyxyhxydxxyxyxyxx1y記為記為)1,., 0(),(1 niyxfhyyiiii定義定義在假設(shè)在假設(shè) yi = y(xi)，即第，即第 i 步計(jì)算是精確的前提下，考步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差慮的截?cái)嗾`差 ri = y(xi+1) yi+1 稱(chēng)為稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差定義定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為若某算法的局部截?cái)嗾`差為o(hp+1)，則稱(chēng)該算法有，則稱(chēng)該算法有p 階精度。階精度。 歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法的局部截?cái)嗾`差：),()()()()()(32

3、112iiiihiiiiiyxhfyhoxyxyhxyyxyr )()(322hoxyih 歐拉法具有歐拉法具有 1 階精度。階精度。 隱式歐拉法隱式歐拉法)(,()(1101xyxfhyxy )1,., 0(),(111 niyxfhyyiiii由于未知數(shù)由于未知數(shù) yi+1 同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱(chēng)為稱(chēng)為隱式隱式 歐拉公式，而前者稱(chēng)為歐拉公式，而前者稱(chēng)為顯式顯式 歐拉公式。歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代迭代求解。求解。 隱式隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法的局部截?cái)嗾`差：11)(iiiyxyr)(

4、)(322hoxyih 即隱式歐拉公式具有即隱式歐拉公式具有 1 階精度。階精度。),()()()()()(110100110yxfhyxyhxydxxyxyxyxx 梯形公式梯形公式 顯、隱式兩種算法的顯、隱式兩種算法的平均平均)1,., 0(),(),(2111 niyxfyxfhyyiiiiii 局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差 ， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是但注意到該公式是隱式隱式公式，計(jì)算時(shí)不得不用到公式，計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法，計(jì)算量大。迭代法，計(jì)算量大。)()(311hoyxyriii 改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉法st

5、ep 1: 先用先用顯式顯式歐拉公式作歐拉公式作預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)，算出，算出),(1iiiiyxfhyy step 2: 再將再將 代入代入隱式隱式梯形公式的右邊作梯形公式的右邊作校正校正，得到，得到1 iy),(),(2111 iiiiiiyxfyxfhyy注：注：此法亦稱(chēng)為此法亦稱(chēng)為預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)-校正法校正法 ?？梢宰C明該算法具有。可以證明該算法具有 2 階精階精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步單步遞推格式，比隱式公式的遞推格式，比隱式公式的迭代求解過(guò)程迭代求解過(guò)程簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單。另外，它的。另外，它的穩(wěn)定性高穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。于顯式歐拉法。 )1,., 0(),(,),(211 niy

6、xfhyxfyxfhyyiiiiiiii 龍格龍格 - 庫(kù)塔法庫(kù)塔法建立高精度的單步遞推格式。建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的單步遞推法的基本思想基本思想是從是從 ( xi , yi ) 點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以某一斜某一斜率率沿直線達(dá)到沿直線達(dá)到 ( xi+1 , yi+1 ) 點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為能達(dá)到的最高精度為2階階?？疾旄倪M(jìn)的歐拉法，可以將其改寫(xiě)為：考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫(xiě)為：),(),(2121121211hkyhxfkyxfkkkhyyiiiiii 首先希望能確定系數(shù)首先希望能確定系數(shù) 1、 2、p，使得到的算法格式有，使得到

7、的算法格式有2階階精度，即在精度，即在 的前提假設(shè)下，使得的前提假設(shè)下，使得 )(iixyy )()(311hoyxyriii step 1: 將將 k2 在在 ( xi , yi ) 點(diǎn)作點(diǎn)作 taylor 展開(kāi)展開(kāi))(),(),(),(),(2112hoyxfphkyxphfyxfphkyphxfkiiyiixiiii )()()(2hoxyphxyii 將改進(jìn)歐拉法推廣為：將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(12122111phkyphxfkyxfkkkhyyiiiiii step 2: 將將 k2 代入第代入第1式，得到式，得到 )()()()()()()()(322212211hoxyp

8、hxyhyhoxyphxyxyhyyiiiiiiii step 3: 將將 yi+1 與與 y( xi+1 ) 在在 xi 點(diǎn)的點(diǎn)的泰勒泰勒展開(kāi)作比較展開(kāi)作比較)()()()(322211hoxyphxyhyyiiii )()(2)()()(321hoxyhxyhxyxyiiii 要求要求 ，則必須有：，則必須有：)()(311hoyxyriii21,1221 p 存在存在無(wú)窮多個(gè)解無(wú)窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱(chēng)為。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱(chēng)為2階龍格階龍格 - 庫(kù)庫(kù)塔格式塔格式。21, 121 p注意到，注意到， 就是改進(jìn)的歐拉法。就是改進(jìn)的歐拉法。 為獲得更高的精度，進(jìn)一步推廣為獲得更高的

9、精度，進(jìn)一步推廣其中其中 i ( i = 1, , m )， i ( i = 2, , m ) 和和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i 1 ) 均為待定均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。步驟與前面相似。 ).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 mm mmmmimiiiiiimmiihkhkhkyhxfkhkhkyhxfkhkyhxfkyxfkkkkhyy 最常用為四級(jí)最常用為四級(jí)4階階經(jīng)典龍格經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法庫(kù)塔法 ：),(),(),(),()22(63422231222143211hkyhxfkky

10、xfkkyxfkyxfkkkkkhyyiihihihihiiiii 收斂性與穩(wěn)定性收斂性與穩(wěn)定性 收斂性收斂性定義定義 若某算法對(duì)于任意固定的若某算法對(duì)于任意固定的 x = xn = x0 + n h，當(dāng)，當(dāng) h0 ( 同時(shí)同時(shí)n ) 時(shí)有時(shí)有 yn y( xn)，則稱(chēng)該算法是，則稱(chēng)該算法是收斂收斂的。的。 例：例：就初值問(wèn)題就初值問(wèn)題 考察歐拉顯式格式的收斂性。考察歐拉顯式格式的收斂性。 0)0(yyyy 解：解：該問(wèn)題的精確解為該問(wèn)題的精確解為 xeyxy 0)( 歐拉公式為歐拉公式為iiiiyhyhyy)1 (1 0)1 (yhyii 對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的 x = xi = i h ，有，有iixhhxihyhyy )1()