測量學(xué)5章誤差

1、1 第五章第五章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識 5 51 1測量誤差概述測量誤差概述 一誤差來源一誤差來源： 儀器誤差儀器誤差 觀測誤差觀測誤差 外界條件外界條件 觀測條件觀測條件 觀測條件相同的為等精度觀測觀測條件相同的為等精度觀測 直接觀測直接觀測: :對未知量直接測量對未知量直接測量 間接觀測間接觀測: :通過觀測量與未知量的函數(shù)關(guān)系計算未知量通過觀測量與未知量的函數(shù)關(guān)系計算未知量2 二誤差分類二誤差分類 1.1.粗差粗差: :錯誤錯誤, ,測錯測錯. .讀錯讀錯. .聽錯聽錯. .計錯造成計錯造成. . 2. 2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差: :在相同的觀測條件下在相同的觀測條件下, ,

2、對某量進行多次觀對某量進行多次觀 測測, ,若誤差大小若誤差大小. .符號均一致或有規(guī)律變化符號均一致或有規(guī)律變化. . 或保持常數(shù)或保持常數(shù). . 特點特點: :累積性、規(guī)律性累積性、規(guī)律性 削弱方法削弱方法: :計算中加改正數(shù)計算中加改正數(shù). .觀測方法觀測方法. .誤差限制誤差限制 3.3.偶然誤差偶然誤差: :在相同的觀測條件下在相同的觀測條件下, ,對某量多次觀測對某量多次觀測, , 若誤差大小若誤差大小. .符號均不一符號均不一 致致. .從表面上從表面上 看沒有任何規(guī)律?？礇]有任何規(guī)律。3 偶然誤差特性曲線偶然誤差特性曲線01.0 2.03.0-1.0-2.0-3.0誤差分布曲線

3、頻率/組距4 三三. .偶然誤差特性偶然誤差特性 偶然誤差偶然誤差-隨機誤差隨機誤差-統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律 1.1.在相同的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值在相同的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值 （誤差范圍）（誤差范圍） 2.2.絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多 （分布規(guī)律）（分布規(guī)律） 3.3.絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會均等絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會均等 （符號規(guī)律）（符號規(guī)律） 4.4.偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測次數(shù)的增加趨于零（抵償性）偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測次數(shù)的增加趨于零（抵償

4、性） 精度精度: : 誤差分布的密集與離散程度誤差分布的密集與離散程度 思考題思考題：水準尺傾斜、水準管氣泡不居中、讀數(shù)、瞄準、水準尺傾斜、水準管氣泡不居中、讀數(shù)、瞄準、 定線、拉力、鋼尺不水平屬哪類誤差定線、拉力、鋼尺不水平屬哪類誤差5 5.3 5.3 衡量精度的指標衡量精度的指標 一一中誤差中誤差：m=m=(/n)(/n) 真誤差真誤差= =真值真值- -觀測值觀測值( (=l-l)=l-l) 二二. . 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 當(dāng)觀測次數(shù)趨于無窮大時當(dāng)觀測次數(shù)趨于無窮大時, ,觀測值的算術(shù)平均值趨觀測值的算術(shù)平均值趨 于真值。于真值。 當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均值最可靠當(dāng)觀測次數(shù)有

5、限時，觀測值的算術(shù)平均值最可靠 三觀測值的改正數(shù)三觀測值的改正數(shù) v vi i=l=ll li i= =算術(shù)平均值算術(shù)平均值- -觀測值觀測值 v =o v =o6 四白塞爾公式四白塞爾公式 m=m=(vv/n-1)(vv/n-1) 五相對誤差五相對誤差 相對誤差相對誤差 k=|dk=|d往往-d-d返返|/d|/d平平=1/ =1/ 相對中誤差相對中誤差 k km m=|m|/d=|m|/d平平=1/ =1/ 六允許誤差與極限誤差六允許誤差與極限誤差 允允=2m =2m 極極=3m=3m7 5 54 4誤差傳播定律誤差傳播定律 定律定律：闡述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤：闡述觀測值的中誤差

6、與觀測值函數(shù)中誤 差之間的關(guān)系差之間的關(guān)系 一一倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù) z=kx z=kx m mz z= =kmkmx x 二二和差函數(shù)和差函數(shù) z=x+y mz=x+y m2 2z z=m=m2 2x x+m+m2 2y y 三三線性函數(shù)線性函數(shù) z=kz=k1 1x x1 1+k+k2 2x x2 2+k+k3 3x x3 3+ + m m2 2z z=k=k2 21 1m m2 2x1x1+k+k2 22 2m m2 2x2x2+k+k2 23 3m m2 2x3x3 算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值中誤差 m ml l= m / n = m / n vv/n(n-1)vv/n(n-1)8算術(shù)平均

7、值中誤差算術(shù)平均值中誤差m ml l與觀測次數(shù)與觀測次數(shù)n n的關(guān)系的關(guān)系15o0.20.45 ml0.61.020n100.89 四四一般函數(shù)：一般函數(shù)：z=f(xz=f(x1 1.x.x2 2.x.x3 3) ) 1 1列函數(shù)式列函數(shù)式z=f(xz=f(x1 1.x.x2 2.x.x3 3) ) 2 2求全微分求全微分 3 3線性函數(shù)線性函數(shù) 4 4誤差形式誤差形式 10例例1. 1. 已知已知aa誤差誤差m ma a b b邊誤差邊誤差m mb b c c邊誤差邊誤差m mc c 求三角形面積中誤差求三角形面積中誤差解: s=1/2ch=s=1/2ch=bcbc* *sinasina d

8、sds=1/2c=1/2c* *sinadb+1/2bsinadb+1/2b* *sinasina* *dc+1/2bcdc+1/2bc* *cosadacosada ms ms2 2=1/4c=1/4c2 2sinsin2 2amam2 2b b+1/4b+1/4b2 2sinsin2 2amam2 2c+c+ 1/4b 1/4b2 2c c2 2coscos2 2amam2 2a a/ /2 2ab cbch11 例例2.2.等精度觀測一個三角形三個內(nèi)角等精度觀測一個三角形三個內(nèi)角a a.b.b.c.c，誤差均為，誤差均為m m，三角形閉合差三角形閉合差= a= a+b+b+c+c1801

9、80，為消除閉合，為消除閉合 差差, , 將閉合差反號平均分配將閉合差反號平均分配, ,得得 a=aa=a-1/3-1/3,b,b=b=b-1/3-1/3，c= cc= c-1/3-1/3， 求求m m，m ma a 解：由= a= a+b+b+c+c180180得得 m m2 2=m=m2 2a a+m+m2 2b b+m+m2 2c c=3m=3m2 2m m=3=31/21/2m m 由由a=aa=a-1/3-1/3=a=a-1/3-1/3（a a+b+b+c+c180180） /3/3a a1/31/3b b1/31/3c c0 0 m m2 2a a= =/ /m m2 2a a+

10、+1/1/m m2 2b b+ +1/1/m m2 2c c= =/3/3m m2 2 m ma a= =（3 3）1/2 1/2 m m a=aa=a-1/3-1/3 m m2 2a a =m=m2 2+1/9+1/9* *(3m(3m2 2)=4/3m)=4/3m2 2a與相關(guān)，故不能相關(guān)，故不能用此法算用此法算12例例3. 3. 根據(jù)三角形內(nèi)角和閉合差，計算測角中誤差根據(jù)三角形內(nèi)角和閉合差，計算測角中誤差解：解： 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和 li=li=ai+bi+ciai+bi+ci 閉合差閉合差 ii=li-180=li-180 根據(jù)中誤差概念根據(jù)中誤差概念mm= =(/n)(/n)

11、又又ii=li-180=li-180 =ai+bi+ci-180=ai+bi+ci-180 m m2 2=m=m2 2a a+m+m2 2b b+m+m2 2c c=3m=3m2 2角角 或或m m角角=m/3=m/31/21/2= =(/3n)(/3n) 菲列羅公式菲列羅公式 由真誤差計算測角中誤差由真誤差計算測角中誤差 13例例4. 4. 有一長方形測量四邊長有一長方形測量四邊長1010，1515，1010，1515米，米，誤誤 差分別為差分別為4 4，5 5，4 4，5 5毫米，求周長毫米，求周長及及 中誤差中誤差, , 面積及中誤差。面積及中誤差。 解：周長解：周長c=lc=l1 1+

12、l+l2 2+l+l3 3+l+l4 4= =.50.50米米 m m2 2c c= =m m2 2l1l1+m+m2 2l2l2+m+m2 2l3l3+m+m2 2l4l4=4=42 2+5+52 2+4+42 2+5+52 2=82=82 m mc c= =9.19.1毫米毫米 c=50c=50米米9.19.1毫米毫米 s=s=l l1 1l l2 2=10=1015=150 15=150 平方米平方米 dsds= =l l2 2d dl l1 1+l+l1 1d dl l2 2 m m2 2s=s=l l2 22 2m m2 2l l1 1+l+l2 21 1m m2 2l l2 2=1

13、5000=150002 24 42 2+1000+10002 25 52 2 m ms=s=0.0780.078平方米平方米 s=s=150150平方米平方米0.0780.078平方米平方米 14 例例5. 5. 一直線測量六次結(jié)果為一直線測量六次結(jié)果為246.535246.535（545 520 545 520 529 550 537 529 550 537）米，求）米，求l l m ml l kmkm 解解: : l=( l=(l l1 1+l+l2 2+l+l3 3+l+l4 4+l+l5 5+l+l6 6)/6=246.536)/6=246.536米米 vi=l-livi=l-li v

14、 v1 1=1.v=1.v2 2=-9.v=-9.v3 3=16.v=16.v4 4=7.v=7.v5 5=-14.v=-14.v6 6=-1=-1 v v1 1v v1 1=1. v=1. v2 2v v2 2=81. v=81. v3 3v v3 3=256. =256. v v4 4v v4 4=49. v=49. v5 5v v5 5=196. v=196. v6 6v v6 6=1=1 vv=584 vv=584 m ml l=vv/n(n-1)=vv/n(n-1)= = =4.44.4毫米毫米 km=km=m/m/l l平平=4.4/246536=1/56000=4.4/24653

15、6=1/5600015例量得一圓的半徑例量得一圓的半徑. .，其誤差，其誤差 . .，求面積和面積中誤差，求面積和面積中誤差解：解： =r r2 2 = = 50.450.42 2=7976 =7976 2 2 d ds s=2=2rdrrdr msms2 2= =（22r r）2 2mrmr2 2 = =（2 250.450.4）2 2（. .）2 2 msms=158 =158 2 2 s=7976 s=7976158 158 2 2 16例例7 7在在a ab b兩點間進行水準測量，共設(shè)個兩點間進行水準測量，共設(shè)個站，若每個站的中誤差都為站，若每個站的中誤差都為，計算，計算a,ba,b兩

16、點間的高差中誤差兩點間的高差中誤差解：解： + + + m m2 2= = m m2 21 1+ + m m2 22 2+ + m m2 26 6 = 6= 6m m2 2 m m= 6= 61/2 1/2 m m = 6= 61/21/2（）= = 4.9 4.9 17例例8 8三角形中，觀測三角形中，觀測a a45451010”， b b0 0“，計算，計算 c c及及mcmc， 要使要使m mc c”，用，用j6j6儀觀測幾個測回儀觀測幾個測回解：解： c= 18c= 18-a-b= 65-a-b= 65 m m2 2c c= = m m2 2a a+ +m m2 2b b =10 =102 2+20+202 2=500=500 m mc c= =2.42.4 由算術(shù)平均值中誤差由算術(shù)平均值中誤差 m ml l= m / n = m / n 得得n= mn= m2 2/m/m2 2l l = 8.5 = 8.52 2/6/62 2=2=2( (測回測回) )18例例9 9 觀測五邊形的內(nèi)角，均為兩個測回，一測回的觀測五邊形的內(nèi)角，均為兩個測回，一測回的 角值誤差角值誤差”，計算，計算m m2 2 要使要使m m 1 1“，需幾個測回測角，需幾個測回測角 解：解： =1 1+ +2 2+ +5 5-540-540 m m