2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)五第七章含解析北師大版必修1

1、單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(五)(第七章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.下列事件是隨機(jī)事件的是()同種電荷,互相排斥;明天是晴天;自由下落的物體做勻速直線運(yùn)動(dòng);函數(shù)y=ax(a0且a1)在定義域上是增函數(shù).a.b.c.d.【解析】選c.是隨機(jī)事件,是必然事件,是不可能事件.2.從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球,則與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是以下事件:“兩球都不是白球;兩球恰有一白球;兩球至少有一個(gè)白球”中的()a.b.c.d.【解析】選a.從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球,所有的樣本點(diǎn)為:白白,白紅,白黑,紅紅,紅黑,黑黑.除“

2、兩球都不是白球”外,還有其他事件如白紅可能發(fā)生,故與“兩球都為白球”互斥但不對(duì)立.除“兩球都為白球”和“兩球恰有一白球”外,還有其他事件,如無(wú)白球,故與“兩球都為白球”互斥但不對(duì)立.兩球至少有一個(gè)白球,其中包含兩個(gè)都是白球,故不互斥.3.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例,勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年,我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)(a,b,c)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25

3、),(15,36,39)這幾組勾股數(shù)中隨機(jī)抽取1組,則被抽出的這組勾股數(shù)滿足2b=a+c的概率為()a.25b.79c.78d.910【解析】選a.從這10組勾股數(shù)隨機(jī)抽取1組,共10種抽取方法,其中滿足2b=a+c的有:(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4種,故所求概率為p=410=25.4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察擲出的點(diǎn)數(shù),設(shè)事件a為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,事件b為“出現(xiàn)2點(diǎn)”,已知p(a)=12,p(b)=16,則“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率為()a.16b.13c.12d.23【解析】選d.因?yàn)椤俺霈F(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”兩事件互斥,所以p=p(

4、a)+p(b)=12+16=23.5.下列試驗(yàn)屬于古典概型的有()從裝有大小、形狀完全相同的紅、黑、綠各一球的袋子中任意取出一球,取出的球?yàn)榧t色的概率;在公交車站候車不超過(guò)10分鐘的概率;同時(shí)拋擲兩枚硬幣,觀察出現(xiàn)“兩正”“兩反”“一正一反”的次數(shù);a.0個(gè)b.1個(gè)c.2個(gè)d.3個(gè)【解析】選b.古典概型的兩個(gè)基本特征是有限性和等可能性,符合兩個(gè)特征,是古典概型;中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限多;對(duì)于,出現(xiàn)“兩正”“兩反”“一正一反”的可能性不相等,故不是古典概型.6.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等,則甲或乙被錄用的概率為()a.23b.25c.35d.910

5、【解析】選d.事件“甲或乙被錄用”的對(duì)立事件是“甲和乙都未被錄用”,從五位學(xué)生中選三人的總的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10,“甲和乙都未被錄用”只有1種情況,根據(jù)古典概型和對(duì)立事件的概率公式可得,甲或乙被錄用的概率p=1-110=910.7.某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間,從來(lái)自a大學(xué)的2名志愿者和來(lái)自b大學(xué)的4名志愿者中隨機(jī)抽取2人到體操比賽場(chǎng)館服務(wù),至少有一名a大學(xué)志愿者的概率是()a.115b.25c.35d.1415【解析】選c.用列舉法可得樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)為15,所求概率的事件包括的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9,所以p=915=35.8.一位家長(zhǎng)送孩子去幼兒園的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)有紅綠燈的路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相

6、互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是13,遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min.則這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率為()a.13b.227c.427d.527【解析】選c.設(shè)“這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈”為事件a,因?yàn)槭录等于事件“這位家長(zhǎng)送孩子在第一個(gè)路口和第二個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈,在第三個(gè)路口遇到紅燈”,所以事件a的概率為p(a)=1-131-1313=427.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.在一個(gè)古典概型中,若兩個(gè)不同的隨機(jī)事件a,b發(fā)生的概率相等,則稱a和b是“等概率事件”,如:隨機(jī)拋擲一枚骰子一次,事

7、件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”和“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”是“等概率事件”.關(guān)于“等概率事件”,以下判斷正確的是()a.在同一個(gè)古典概型中,所有的樣本點(diǎn)之間都是“等概率事件”b.若一個(gè)古典概型的事件總數(shù)大于2,則在這個(gè)古典概型中除樣本點(diǎn)外沒(méi)有其他“等概率事件”c.因?yàn)樗斜厝皇录母怕识际?,所以任意兩個(gè)必然事件都是“等概率事件”d.同時(shí)拋擲三枚硬幣一次,則事件“僅有一個(gè)正面”和“僅有兩個(gè)正面”是“等概率事件”【解析】選ad.對(duì)于a,由古典概型的定義知,所有樣本點(diǎn)的概率都相等,故所有樣本點(diǎn)之間都是“等概率事件”,故a正確;對(duì)于b,如在1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù),所得和為8和10這兩個(gè)事件發(fā)生的概率相等,故b

8、錯(cuò)誤;對(duì)于c,由題可知“等概率事件”是針對(duì)同一個(gè)古典概型的,故c不正確;對(duì)于d,同時(shí)拋擲三枚硬幣一次共有8種不同的結(jié)果,其中“僅有一個(gè)正面”包含3種結(jié)果,其概率為38,“僅有兩個(gè)正面”包含3種結(jié)果,其概率為38,故這兩個(gè)事件是“等概率事件”,故d正確.10.某超市隨機(jī)選取1 000位顧客,記錄了他們購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成統(tǒng)計(jì)表,其中“”表示購(gòu)買(mǎi),“”表示未購(gòu)買(mǎi).商品顧客人數(shù)甲乙丙丁1002172003008598根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論正確的是()a.顧客購(gòu)買(mǎi)乙商品的概率最大b.顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率約為0.2c.顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率約為0.3d.顧客

9、僅購(gòu)買(mǎi)1種商品的概率不大于0.3【解析】選bcd.對(duì)于a,由于購(gòu)買(mǎi)甲商品的顧客有685位,購(gòu)買(mǎi)乙商品的顧客有515位,故a錯(cuò)誤;對(duì)于b,因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1 000位顧客中,有200位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了乙和丙,所以顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率可以估計(jì)為2001 000=0.2,故b正確;對(duì)于c,因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1 000位顧客中,有100位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、丙、丁,另有200位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙、丙,其他顧客最多購(gòu)買(mǎi)了2種商品,所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率可以估計(jì)為100+2001 000=0.3,故c正確;對(duì)于d,因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1 000位顧客中,

10、有183位顧客僅購(gòu)買(mǎi)1種商品,所以顧客僅購(gòu)買(mǎi)1種商品的概率可以估計(jì)為0.1830.2,故d正確.11.某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如表:投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中,“投中兩分球”為事件a,“投中三分球”為事件b,“沒(méi)投中”為事件c,用頻率估計(jì)概率的方法,得到的下述結(jié)論中,正確的是()a.pa=0.55b.pb=0.18c.pc=0.27d.pb+c=0.55【解析】選abc.由題意可知,pa=55100=0.55,p(b)=18100=0.18,事件a+b與事件c為對(duì)立事件,且事件a,b,c互斥,所以pc=1-pa+b=1-pa

11、-pb=0.27,p(b+c)=pb+pc=0.45.12.一個(gè)袋子中裝有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件產(chǎn)品,其中結(jié)論正確的是()a.任取2件,則取出的2件中恰有1件次品的概率是12b.每次抽取1件,不放回抽取兩次,樣本點(diǎn)總數(shù)為16c.每次抽取1件,不放回抽取兩次,則取出的2件中恰有1件次品的概率是12d.每次抽取1件,有放回抽取兩次,樣本點(diǎn)總數(shù)為16【解析】選acd.記4件產(chǎn)品分別為1,2,3,a,其中a表示次品.a選項(xiàng),樣本空間=(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a),“恰有1件次品”的樣本點(diǎn)為(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率p=36=

12、12,a正確;b選項(xiàng),每次抽取1件,不放回抽取兩次,樣本空間=(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1)(a,2),(a,3),因此n()=12,b錯(cuò)誤;c選項(xiàng),“取出的2件中恰有1件次品”的樣本點(diǎn)數(shù)為6,其概率為12,c正確;d選項(xiàng),每次抽取1件,有放回抽取兩次,樣本空間=(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),因此n()=16,d正確.三、填空題(每小題5分,共20

13、分)13.若a,b是相互獨(dú)立事件,且p(a)=12,p(b)=23,則p(ab)=,p(ab)=.【解析】因?yàn)閜(a)=12,p(b)=23,所以p(a)=1-p(a)=1-12=12,p(b)=1-23=13.因?yàn)閍,b相互獨(dú)立,所以a與b,a與b相互獨(dú)立,所以p(ab)=p(a)p(b)=1213=16,p(ab)=p(a)p(b)=1213=16.答案:161614.九章算術(shù)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著,全書(shū)采用問(wèn)題集的形式,收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題,其中“均賦粟”問(wèn)題講的是古代勞動(dòng)人民的賦稅問(wèn)題.現(xiàn)擬編試題如下:已知甲、乙、丙、丁四縣向國(guó)家交稅,則甲必須第一個(gè)交且乙不是第三個(gè)

14、交的概率為.【解析】依題意,所有的樣本點(diǎn)為:甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁丙乙,甲丁乙丙,乙、丙、丁第一個(gè)交的情況也各有6種,故總的樣本點(diǎn)數(shù)有24種,其中滿足條件的樣本點(diǎn)為:甲乙丁丙,甲乙丙丁,甲丙丁乙,甲丁丙乙,共4種,故所求概率為424=16.答案:1615.用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色,每個(gè)矩形只涂一種顏色,則3個(gè)矩形顏色都相同的概率是,3個(gè)矩形顏色都不同的概率是.【解析】以“紅黃藍(lán)”表示從左到右三個(gè)矩形所涂的顏色,則所有的樣本點(diǎn)有:紅紅紅、紅紅黃、紅紅藍(lán)、紅黃紅、紅黃黃、紅黃藍(lán)、紅藍(lán)紅、紅藍(lán)黃、紅藍(lán)藍(lán)、黃紅紅、黃紅黃、黃紅藍(lán)、黃黃紅、黃黃黃、黃黃藍(lán)、黃

15、藍(lán)紅、黃藍(lán)黃、黃藍(lán)藍(lán)、藍(lán)紅紅、藍(lán)紅黃、藍(lán)紅藍(lán)、藍(lán)黃紅、藍(lán)黃黃、藍(lán)黃藍(lán)、藍(lán)藍(lán)紅、藍(lán)藍(lán)黃、藍(lán)藍(lán)藍(lán),共27個(gè)樣本點(diǎn),事件“3個(gè)矩形顏色都相同”所包含的樣本點(diǎn)有:紅紅紅、黃黃黃、藍(lán)藍(lán)藍(lán),共3個(gè),所以3個(gè)矩形顏色都相同的概率是327=19.事件“3個(gè)矩形顏色都不同”所包含的樣本點(diǎn)有:紅黃藍(lán)、紅藍(lán)黃、黃紅藍(lán)、黃藍(lán)紅、藍(lán)黃紅、藍(lán)紅黃,共6個(gè),所以3個(gè)矩形顏色都不同的概率是627=29.答案:192916.在一次數(shù)學(xué)考試中,第22題和第23題為選做題,規(guī)定每名學(xué)生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名學(xué)生選做這兩題的可能性均為12.則其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為;甲、乙2名學(xué)生都選做第22題的概率為.【解

16、析】設(shè)事件a表示“甲選做第22題”,事件b表示“乙選做第22題”,則甲,乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“ab+ab”,且事件a,b相互獨(dú)立,所以p(ab+ab)=p(a)p(b)+p(a)p(b)=1212+1-121-12=12.所以甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為12;因?yàn)閜(a)p(b)=1212=14,所以甲、乙2名學(xué)生都選做第22題的概率為14.答案:1214四、解答題(共70分)17.(10分)某校在教師外出培訓(xùn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中,在一個(gè)月派出的培訓(xùn)人數(shù)及其概率如表所示:派出人數(shù)2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4個(gè)人或5個(gè)人培訓(xùn)的概率;(2)求至

17、少有3個(gè)人培訓(xùn)的概率.【解析】(1)設(shè)“有2人及以下培訓(xùn)”為事件a,“有3人培訓(xùn)”為事件b,“有4人培訓(xùn)”為事件c,“有5人培訓(xùn)”為事件d,“有6人及以上培訓(xùn)”為事件e,所以“有4個(gè)人或5個(gè)人培訓(xùn)”的事件為事件c或事件d,a,b,c,d,e為互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式可知p(cd)=p(c)+p(d)=0.3+0.1=0.4.(2)“至少有3個(gè)人培訓(xùn)”的對(duì)立事件為“有2人及以下培訓(xùn)”,所以由對(duì)立事件的概率可知p=1-p(a)=1-0.1=0.9.18.(12分)用一臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一批螺母,從中抽出100個(gè)逐個(gè)進(jìn)行直徑(單位:cm)檢驗(yàn),結(jié)果如表:直徑(單位:cm)個(gè)數(shù)直徑(單位:cm

18、)個(gè)數(shù)6.88,6.891(6.93,6.9426(6.89,6.902(6.94,6.9515(6.90,6.9110(6.95,6.968(6.91,6.9217(6.96,6.972(6.92,6.9317(6.97,6.982從這100個(gè)螺母中任意取一個(gè),檢驗(yàn)其直徑的大小,求下列事件的頻率:(1)事件a:螺母的直徑在(6.93,6.95內(nèi);(2)事件b:螺母的直徑在(6.91,6.95內(nèi);(3)事件c:螺母的直徑大于6.96.【解析】(1)螺母的直徑在(6.93,6.95內(nèi)的頻數(shù)為na=26+15=41,所以事件a的頻率為41100=0.41.(2)螺母的直徑在(6.91,6.95內(nèi)的

19、頻數(shù)為nb=17+17+26+15=75.所以事件b的頻率為75100=0.75.(3)螺母的直徑大于6.96的頻數(shù)為nc=2+2=4,所以事件c的頻率為4100=0.04.19.(12分)甲、乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.(1)若以a表示和為6的事件,求p(a);(2)現(xiàn)連玩三次,若以b表示甲至少贏一次的事件,c表示乙至少贏兩次的事件,試問(wèn)b與c是否為互斥事件?為什么?(3)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說(shuō)明理由.【解析】(1)甲、乙出手指都有5種可能,因此樣本點(diǎn)的總數(shù)為55=25,事件a包括甲、乙出的手指的情況有(1,5),(5,1),(2,4),(

20、4,2),(3,3)共5種情況,所以p(a)=525=15.(2)b與c不是互斥事件.因?yàn)槭录與c可以同時(shí)發(fā)生,如甲贏一次,乙贏兩次的事件.(3)這種游戲規(guī)則不公平.和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為13個(gè),(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).所以甲贏的概率為1325,乙贏的概率為1225.所以這種游戲規(guī)則不公平.20.(12分)a,b兩個(gè)箱子分別裝有標(biāo)號(hào)為0,1,2的三種卡片,每種卡片的張數(shù)如表所示.標(biāo)號(hào)張數(shù)箱012a213b212(1)從a,b箱中各取1張卡片,用x表示取出的2張

21、卡片的數(shù)字之積,求x=2的概率;(2)從a,b箱中各取1張卡片,用y表示取出的2張卡片的數(shù)字之和,求x=0且y=2的概率.【解析】(1)記事件a=從a,b箱中各取1張卡片,2張卡片的數(shù)字之積等于2.樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為65=30,事件a包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.由古典概型的概率公式得p(a)=530=16.則x=2的概率為16.(2)記事件b=從a,b箱中各取1張卡片,其數(shù)字之和為2且積為0.事件b包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.由古典概型的概率公式得p(b)=1030=13.則x=0且y=2的概率為13.21.(12分)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)s=x+y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí).若s4

22、,則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質(zhì)量指標(biāo)如表:產(chǎn)品編號(hào)a1a2a3a4a5質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號(hào)a6a7a8a9a10質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用表中提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;(2)在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品.用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;設(shè)事件b為“在取出的2件產(chǎn)品中,每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)s都等于4”,求事件b發(fā)生的概率.【解析】(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)s,如表:產(chǎn)品編號(hào)a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10s4463454535其中s4的有a1,a2,a4,a5,a7,a9,共6件,故該樣本的一等品率為610=0.6,從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為a1,a2,a1,a4,a1,a5,a1,a7,a1,a9,a2,a4,a2,a5,a2,a7,a2,a9,a4,a5,a4,a7,a4,a9,a5