2020_2021學年新教材高中數(shù)學第1章預備知識2常用邏輯用語2.1必要條件與充分條件學案含解析北師大版必修第一冊

1、- 1 -2 2常用邏輯用語常用邏輯用語2.1必要條件與充分條件學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.結合具體實例，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義(重點、難點)2會求(判斷)某些問題的必要條件、充分條件與充要條件(重點)1通過必要條件、充分條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)2借助必要條件、充分條件的應用，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)1命題(1)命題的定義：可以判斷真假，用文字或符號表述的陳述句(2)命題的兩種形式：“若p，則q”和“p是q”(3)“”的意義：當命題“若p，則q”是真命題時，就說由條件p推出結論q，記作pq.思考 1：命題可以是疑問句嗎？提示：不可以，疑問句不涉及真假，更無法判斷真假2必要條件與

2、充分條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系pqpq條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件思考 2： (1)“p是q的充分條件”與“q是p的必要條件”所表示的推出關系是否相同？(2)以下五種表述形式：pq；p是q的充分條件；q的充分條件是p；q是p的必要條件；p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？提示：(1)相同，都是pq(2)等價3充要條件(1)一般地，如果有pq，且qp，就記作pq.此時，我們說，p是q的充分且必要條件，簡稱充要條件(2)若pq，但qp，則稱p是q的充分不必要條件(3)若qp，但pq，則稱p是q的必要不充分條件

3、(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件思考 3：如果一個命題及其逆命題均成立，那么原命題中的條件是結論的充要條件嗎？- 2 -提示：是1下列語句是命題的是()a正方形是矩形b作直線abcx是整數(shù)d明天會下雨嗎a ad 不是陳述句，b、c 無法判斷真假2 “同位角相等”是“兩直線平行”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件答案c c3使x1 成立的一個充分條件是()ax0bx2dx2x1，其他選項均不能推出x1.4如圖所示的電路圖中， “閉合開關 a”是“燈泡 b 亮”的什么條件？解如圖(1)，閉合開關 a 或者閉合開關 c 都可能使燈泡 b 亮反

4、之，若要燈泡 b 亮，不一定非要閉合開關 a.因此“閉合開關 a”是“燈泡 b 亮”的充分不必要條件如圖(2)，閉合開關 a 而不閉合開關 c，燈泡 b 不亮反之，若要燈泡 b 亮，則開關 a 必須閉合，說明“閉合開關 a”是“燈泡 b 亮”的必要不充分條件如圖(3)，閉合開關 a 可使燈泡 b 亮，而燈泡 b 亮，開關 a 一定是閉合的，因此“閉合開關 a”是“燈泡 b 亮”的充要條件如圖(4)，閉合開關 a 但不閉合開關 c，燈泡 b 不亮反之，燈泡 b 亮也可不必閉合開關a，只要閉合開關 c 即可，說明“閉合開關 a”是“燈泡 b 亮”的既不充分又不必要條件- 3 -必要條件、充分條件的

5、判斷【例 1】指出下列各題中p是q的什么條件(1)p：x1，q：x21；(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(3)p：ab，q：acbc.思路點撥求解本題需注意以下兩點：(1)分清條件和結論；(2)準確判斷命題“若p，則q”及其逆命題的真假解(1)x1x21，但x21x1，故p是q的充分不必要條件(2)兩個三角形相似兩個三角形全等，但兩個三角形全等兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件(3)abacbc，acbcab，故p是q的既不充分也不必要條件用定義判斷必要條件、充分條件要注意(1)分清條件與結論；(2)既要考慮由條件能否推出結論， 即充分性； 也要考慮由結論能否推出條件， 即

6、必要性跟進訓練1指出下列各題中p是q的什么條件(1)在abc中，p：abac，q：bc；(2)p：x2，q：x1；(3)p：ab，q：ab1.解(1)由等腰三角形的性質定理與判定定理知，p是q的充要條件(2)x2x1，但x1x2，故p是q的充分不必要條件(3)當bb，可得ab1，可得a1m1m1m1m21m10，解得m9.所以實數(shù)m的取值范圍是m9.1把本例中的“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求實數(shù)m的取值范圍解由p是q的必要不充分條件，得集合x|1mx1m是集合x|2x10的真子集，當x|1mx1m ，即m21m10，或m01m21m10，解得 0m

7、3.綜上得，實數(shù)m的取值范圍是m3.2本例中，是否存在實數(shù)m，使p是q的充要條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由解若p是q的充要條件，則x|1mx1mx|2x10，即1m21m10，由于該方程組無解，所以實數(shù)m不存在- 5 -利用必要條件與充分條件求參數(shù)的取值范圍(1)化簡p與q；(2)把p與q之間的關系轉化為相應集合之間的關系；(3)利用集合之間的關系建立不等式；(4)解不等式求參數(shù)的取值范圍充要條件的探求與證明【例 3】求證：一元二次方程ax2bxc0 有一正根和一負根的充要條件是ca0.思路點撥從“充分性：條件結論”與“必要性：結論條件”兩個方面證明證明必要性：因為方程ax2bxc0 有一正根和一負根，所以兩根之積小于零，即ca0.充分性：由ca0，得ac0，所以方程ax2bxc0 有兩個相異實根，設這兩個實根分別為x1，x2，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得x1x2ca0，所以兩根異號綜上所述，一元二次方程ax2bxc0 有一正根和一負根的充要條件是ca5，q：2x35bp：a2，bbcp:四邊形的對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形dp：a0，q：關于x的方程ax1 有唯一解d d若a0，則方程ax1 有唯一解x1a；若方程ax1 有唯一解，則a0.選項 a、b、c 可舉