241拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： 我們知道我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面內(nèi)與一個(gè)在平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)定點(diǎn)的距離和一條的距離和一條定直線定直線的距離的比是的距離的比是常數(shù)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. .mfl0e 1(2) 當(dāng)當(dāng)e1時(shí)，是雙曲線時(shí)，是雙曲線;(1)當(dāng)當(dāng)0e0) )想一想想一想? 這種坐標(biāo)這種坐標(biāo)系下的拋物系下的拋物線方程形式線方程形式怎樣怎樣? ?設(shè)設(shè)kf= p則則f（ ，0），），l：x = - p2p2設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x，y），）， 由定義可知由定義可知 |mf|=|mn| 即：即：22)2(p

2、xypx2解：設(shè)取過焦點(diǎn)解：設(shè)取過焦點(diǎn)f f且垂直于準(zhǔn)線且垂直于準(zhǔn)線l的的直線為直線為x x軸軸，線段，線段kfkf的中垂線為的中垂線為y y軸軸 化簡得化簡得 y2 = 2px（p0）yoxnfmkly y軸軸x x軸軸y y2,0py yy yx xx xy yy2=2px ( (p0) )0(22ppyx 一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式種形式.圖圖 像像方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn) 準(zhǔn)準(zhǔn) 線線 220ypxp 220ypxp 220 xpyp 220 xpyp)0

3、,2(pf)2 , 0(pf) 0 ,2(pf )2 , 0 (pf2px2px 2py2py xoyfxyofxylofxfyloxoyf 220ypxpxyof 220ypxpxfylo 220 xpypxylof 220 xpyp相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：（1）頂點(diǎn)為原點(diǎn)）頂點(diǎn)為原點(diǎn);（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p/2.不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：（1）一次項(xiàng)變量為）一次項(xiàng)變量為x(y)，則對(duì)稱軸為，則對(duì)稱軸為x(y)軸軸;（2）一次項(xiàng)系數(shù)為正（負(fù)），則開口方向坐標(biāo)軸的正（負(fù)）方向）一次項(xiàng)系數(shù)為正（負(fù)），則開口方向坐

4、標(biāo)軸的正（負(fù)）方向.記憶方法：記憶方法：p永正，一次變量定焦點(diǎn)，永正，一次變量定焦點(diǎn)，開口方向看負(fù)正開口方向看負(fù)正（三）例題講解（三）例題講解例例1.(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程程; (2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是f(0,-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解解: :(1)(1)由方程可知由方程可知, ,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸正半軸上，坐標(biāo)為軸正半軸上，坐標(biāo)為 ，2 2p=6=6，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是，準(zhǔn)線方程是 . .(,0)2p3( ,0)232x (2) 拋物線焦點(diǎn)

5、坐標(biāo)為拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(0,-2)(0,-2)， 拋物線焦點(diǎn)在拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為軸負(fù)半軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2 2py,并且并且 2 2p=8=8， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8=-8y.22p變式訓(xùn)練1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)是（0，-3） ；(2)準(zhǔn)線是 ；2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；12x x2= -12yy2=2x焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線1(0,)32132y 焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線(0, 2)2y 感悟感悟 ：求拋物線的焦點(diǎn)坐

6、標(biāo)和準(zhǔn)線方程要先化成：求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程要先化成拋物拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。線的標(biāo)準(zhǔn)方程。感悟感悟：用用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)先確定拋物先確定拋物線的形式線的形式，再求再求p p值。值。強(qiáng)化提高根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；(2)焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上。關(guān)鍵：理解關(guān)鍵：理解p的幾何意義，的幾何意義，熟記標(biāo)準(zhǔn)方程四種形式熟記標(biāo)準(zhǔn)方程四種形式關(guān)鍵：標(biāo)準(zhǔn)方程表示的關(guān)鍵：標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線為坐標(biāo)軸的拋物線解：解：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2 p=2 又又焦點(diǎn)的位

7、置不確定焦點(diǎn)的位置不確定 該拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式該拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式 y2=2px ， x2=2py 此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情況：此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情況： y2=4x ， x2=4y 解：解：標(biāo)準(zhǔn)方程表示的拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸標(biāo)準(zhǔn)方程表示的拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；上； 又又拋物線的焦點(diǎn)在直線拋物線的焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，上， 焦點(diǎn)就是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線焦點(diǎn)就是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線3x-4y-12=0與與x軸的交點(diǎn)是軸的交點(diǎn)是（4，0），），與與y軸的交點(diǎn)是軸的交點(diǎn)是（0，3），）， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）或或（0，3）；）； 當(dāng)焦點(diǎn)為當(dāng)焦點(diǎn)為（4

8、，0）時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程為時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x , 當(dāng)焦點(diǎn)為當(dāng)焦點(diǎn)為（0，3）時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程為時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= 12y , 綜上，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為綜上，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=16x或或 x2= 12y （四）課堂小結(jié)（四）課堂小結(jié)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f的距離和一條定直線的距離和一條定直線l 的距離的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。一個(gè)定義：兩類問題：三項(xiàng)注意：四種形式：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；已知方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。已知方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。定義的前提條件：直線定義的前提條件：直線l 不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)f; p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；的

9、幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線。的拋物線。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0)回顧復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f的距離和一條定直線的距離和一條定直線l 的距離的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。一個(gè)定義：兩類問題：三項(xiàng)注意：四種形式：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；已知方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。已知方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。定義的前提條件：直線定義的前提條件

10、：直線l 不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)f; p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線。的拋物線。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0)圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0 ,2p2px 2,0p2py2,0p2py 記憶方法：記憶方法：p永正，一次變量定焦點(diǎn)，開口方向看負(fù)正永正，一次變量定焦點(diǎn)，開口

11、方向看負(fù)正例例1:已知拋物線方程為已知拋物線方程為x=ay2（a0)，討論拋物，討論拋物線的開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？線的開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：解：拋物線的方程化為：y2= x1a即2p=1 a4a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0），準(zhǔn)線方程是： x=4a1當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí), ,拋物線的開口向右拋物線的開口向右p2=14a拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式：)0(2) 1 (2mmxyx軸上，可設(shè)為焦點(diǎn)在)0(2)2(2mmyxy軸上，可設(shè)為焦點(diǎn)在練習(xí)：練習(xí)：p73 4.(1)例例2.設(shè)設(shè)p是拋物線是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)p到點(diǎn)到

12、點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)的距離與點(diǎn)p到直線到直線x1的距離之和的最小值；的距離之和的最小值；(2)若若b(3,2)，求，求|pb|pf|的最小值的最小值例例2.設(shè)設(shè)p是拋物線是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)p到點(diǎn)到點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)的距離與點(diǎn)p到直線到直線x1的距離之和的最的距離之和的最小值；小值；(2)若若b(3,2)，求，求|pb|pf|的最小值的最小值注意判斷點(diǎn)注意判斷點(diǎn)a與拋物線的位置關(guān)系與拋物線的位置關(guān)系(2)如圖，自點(diǎn)如圖，自點(diǎn)b作作bq垂直準(zhǔn)線于垂直準(zhǔn)線于q，交拋物線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)p1，則，則|p1q|p1f|.則有則有|pb|pf|p1b|p1q|

13、bq|4.即即|pb|pf|的最小值為的最小值為4.例例2.設(shè)設(shè)p是拋物線是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)p到點(diǎn)到點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)的距離與點(diǎn)p到直線到直線x1的距離之和的最的距離之和的最小值；小值；(2)若若b(3,2)，求，求|pb|pf|的最小值的最小值若將本例若將本例(2)中的中的b點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)改為改為(3，4)，則如何求，則如何求|pb|pf|的最小值的最小值.例例2.設(shè)設(shè)p是拋物線是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)p到點(diǎn)到點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)的距離與點(diǎn)p到直線到直線x1的距離之和的最的距離之和的最小值；小值；(2)若若b(3,2)

14、，求，求|pb|pf|的最小值的最小值練習(xí)：練習(xí)：創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 變式變式2 2例例3. 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示衛(wèi)一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處已知接收天接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處已知接收天線的口徑為線的口徑為4.8m，深度為，深度為0.5m，求拋物線的標(biāo)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)oyxabfoyxabf解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2=2px(p0).易知易知a (0.5,2.4)，代入方程得，代入方程得p=5.76.2.42=2p0.5所以，所求拋物線為所以，所求拋物線為y2=11.52x, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2.88,0).例例4.4.已知點(diǎn)已知點(diǎn)h h（-3-3，0 0），點(diǎn)），點(diǎn)p p在在y y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)q q在在x x軸正半軸上，點(diǎn)軸正半軸上，點(diǎn)m m在在直線直線pqpq上，且上，且當(dāng)點(diǎn)當(dāng)