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文檔簡介
1、- 1 -2 2. .1.21.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解一元二次方程的定義, 并會(huì)求一元二次方程的解集(重點(diǎn))2掌握一元二次方程的根的判別式,并會(huì)用其判斷根的個(gè)數(shù)(重點(diǎn))3掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,并會(huì)用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)2通過求一元二次方程的解集,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)從前有一天,某人拿一竹竿對著大門比畫:竹竿橫著比門框?qū)?4 尺,豎著比門框高 2 尺,斜著與門框的對角線長度相等問題你知道竹竿有
2、多長嗎?1一元二次方程的定義形如ax2bxc0 的方程為一元二次方程,其中a,b,c是常數(shù),且a0.2一元二次方程的解法(1)直接開平方法: 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法(2)配方法:通過方程的簡單變形,將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式,若右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù),則可以運(yùn)用直接開平方法求解, 這種解一元二次方程的方法叫做配方法(3)公式法:將一元二次方程中的系數(shù)a,b,c的值代入式子xbb24ac2a中,就求得方程的根,這種解一元二次方程的方法叫做公式法3一元二次方程根的判別式- 2 -式子b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判別式,通常用
3、表示,即b24ac.當(dāng)0 時(shí),一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0時(shí),一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0 時(shí),一元二次方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2bxc0(a0)的兩根是x1,x2,那么x1x2ba,x1x2ca,即兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù),兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比思考:利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí),需要注意什么條件?提示先把方程化為ax2bxc0 的形式, 然后驗(yàn)證, 是否滿足a0,b24ac0這兩個(gè)條件,同時(shí)滿足這兩個(gè)條件才能用根與系數(shù)關(guān)系解題1思考辨
4、析(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)用公式法解一元二次方程 3x22x3 時(shí),a3,b2,c3,再代入公式即可()(2)方程x220 的解是x 2.()(3)若x1,x2是一元二次方程x22x30 的兩個(gè)根,則x1x22.()答案(1)(2)(3)2用配方法解方程x28x50,將其化為(xa)2b的形式,正確的是()a.(x4)211b(x4)221c.(x8)211d(x4)211d dx28x50,x28x5,x28x16516,(x4)211,故選d.3用公式法解方程 6x85x2時(shí),a,b,c的值分別是()a.5,6,8b5,6,8c.5,6,8d6,5,8c c原方程可化為 5x2
5、6x80,a5,b6,c8,故選 c.4(教材 p51 練習(xí) b改編)已知一元二次方程 2x22x10 的兩個(gè)根為x1,x2,且x1x2,下列結(jié)論正確的是()a.x1x21bx1x21c.|x1|x2|dx21x112d d根據(jù)題意,得x1x2221,x1x212,所以 a,b 選項(xiàng)錯(cuò)誤x1x20,x1x20,x1,x2異號(hào),且負(fù)數(shù)的絕對值大,所以 c 選項(xiàng)錯(cuò)誤x1為一元二次方程 2x22x1- 3 -0 的根,2x212x110,x21x112,d 選項(xiàng)正確故選 d.一元二次方程的解法角度一直接開平方法【例 1】用直接開平方法求下列一元二次方程的解集(1)4y2250;(2)3x2x15x.
6、思路點(diǎn)撥可將方程轉(zhuǎn)化為x2p(p0)的形式,再兩邊開平方進(jìn)行降次,化為一元一次方程解(1)移項(xiàng),得 4y225.兩邊都除以 4,得y2254.解得y152,y252,所以原一元二次方程的解集是52,52 .(2)移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得 3x215.兩邊都除以 3,得x25,解得x1 5,x2 5.所以原一元二次方程的解集是 5, 5應(yīng)用直接開平方法求一元二次方程解集的主要步驟(1)化為x2p(p0)的形式;(2)直接開平方;(3)解兩個(gè)一元一次方程,寫出方程的兩個(gè)根;(4)總結(jié)寫成解集的形式跟進(jìn)訓(xùn)練1用直接開平方法求下列一元二次方程的解集(1)(x1)212;(2)(6x1)2250.解(1)直
7、接開平方,得x12 3,x12 31,x22 31.原一元二次方程的解集是2 31,2 31- 4 -(2)移項(xiàng),得(6x1)225.開平方,得 6x15,x11,x223.原一元二次方程的解集是1,23 .角度二配方法【例 2】用配方法求下列方程的解集(1)x24x10;(2)4x28x10.解(1)x24x10,x24x1,x24x414,(x2)25,x2 5,x12 5,x22 5.原一元二次方程的解集是2 5,2 5(2)移項(xiàng),得 4x28x1.二次項(xiàng)系數(shù)化為 1,得x22x14,配方,得x22x121214,即(x1)234.x132.x1132,x2132,原一元二次方程的解集是
8、132,132 .利用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0),先把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?1,即方程兩邊都除以a,然后把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊,再把方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,把方程的一邊配方化為一個(gè)完全平方式,另一邊化為非負(fù)數(shù),然后用直接開平方法求解(若另一邊為負(fù)數(shù),則此方程無實(shí)數(shù)根).跟進(jìn)訓(xùn)練2用配方法求下列方程的解集(1)x232 3x;- 5 -(2)2x25 2x0.解(1)移項(xiàng),得x22 3x3.配方,得x22 3x( 3)23( 3)2,即(x 3)20.x1x2 3,原一元二次方程的解集是 3(2)移項(xiàng),得 2x2 2x5.二次項(xiàng)系數(shù)化為 1,得x222x52.配方,得x222x
9、24252242.x242218.x24424.x1 2 424,x2 2 424,原一元二次方程的解集是 2 424, 2 424角度三公式法【例 3】用公式法求下列方程的解集(1)x24 3x100;(2)12x212x180.思路點(diǎn)撥先化成一元二次方程的一般形式,再求,然后根據(jù)求根公式求解解(1)a1,b4 3,c10,b24ac(4 3)2411080,x(4 3) 8214 32 222 3 2,x12 3 2,x22 3 2.原一元二次方程的解集是2 3 2,2 3 2(2)方程兩邊都乘以 8,得 4x24x10.a4,b4,c1,b24ac424410,- 6 -x4 02412
10、,x1x212.原一元二次方程的解集是12 .利用公式法解一元二次方程時(shí),首先將方程化為一般形式,找出二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng),計(jì)算b24ac的值;當(dāng)b24ac0 時(shí),把a(bǔ),b,c的值代入求根公式即可求出原方程的解,然后總結(jié)寫出解集跟進(jìn)訓(xùn)練3用公式法求下列方程的解集(1)x232 2x;(2)3x26x1.解(1)將方程化為一般形式為x22 2x30.a1,b2 2,c3,b24ac(2 2)241340,原方程沒有實(shí)數(shù)根原一元二次方程的解集是.(2)將方程化為一般形式為 3x26x10,a3,b6,c1,b24ac62431240,x6 24233 63,x13 63,x23 63.原
11、一元二次方程的解集是3 63,3 63.一元二次方程的根的判別式【例 4】不解方程,判斷下列一元二次方程的解集情況(1)3x22x10;(2)2x2x10;- 7 -(3)4xx2x22.解(1)(2)243(1)160,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,方程的解集中有兩個(gè)元素(2)(1)242170,方程沒有實(shí)數(shù)根,方程的解集為空集(3)方程整理為x22x10, (2)24110, 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,方程的解集中有一個(gè)元素一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式b24ac.當(dāng)0 時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0 時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0 時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根跟進(jìn)訓(xùn)練4下列一元二次
12、方程中,解集為空集的是()a.x22x0bx24x10c.2x24x30d3x25x2c c利用根的判別式b24ac分別進(jìn)行判定即可a.(2)241040,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故此選項(xiàng)不合題意;b.4241(1)200, 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故此選項(xiàng)不合題意; c.(4)242380,沒有實(shí)數(shù)根,故此選項(xiàng)符合題意;d.(5)243210,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故此選項(xiàng)不合題意故選 c.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系探究問題1怎樣用x1x2和x1x2表示x21x22?提示x21x22(x1x2)22x1x2.2當(dāng)x1x2時(shí),x2x1可以用x1x2與x1x2表示嗎?提示x2x1 (x1x2)24
13、x1x2.【例 5】(教材 p50 例 2 改編)設(shè)x1,x2是方程 2x29x60 的兩個(gè)根,求下列各式的值(1)1x11x2;(2)x21x22;(3)(x13)(x23);(4)x1x2.- 8 -思路點(diǎn)撥先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1x2與x1x2的值,再將所求值的式子化為關(guān)于x1x2與x1x2的表達(dá)式,最后整體代入求值解由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x292,x1x23.(1)1x11x2x1x2x1x292332.(2)x21x22(x1x2)22x1x292223574.(3)(x13)(x23)x1x23(x1x2)93392932.(4)(x1x2)2(x1x2)24x1x
14、292243334,x1x2332.利用根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)代數(shù)式的值的一般方法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2,x1x2的值;(2)將所求的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為含x1x2,x1x2的代數(shù)式的形式;(3)將x1x2,x1x2的值整體代入,求出待求代數(shù)式的值本例中條件不變,求x31x32的值解x31x32(x1x2)(x21x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2928149- 9 -4058.與一元二次方程相關(guān)的求未知字母的值或范圍問題【例 6】已知關(guān)于x的一元二次方程 2x2kx30 的解集中只有一個(gè)元素,則k的值為()a.2 6b 6c.3 或 4d2 或 3a aa2,bk,
15、c3,b24ack2423k224,方程的解集中只有一個(gè)元素,k2240, 解得k2 6.根據(jù)已知條件求一元二次方程中字母系數(shù)的取值或取值范圍問題,常見情況為根據(jù)方程解的情況判定字母系數(shù)的情況跟進(jìn)訓(xùn)練5若關(guān)于x的一元二次方程x2(2a1)xa20 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍解關(guān)于x的一元二次方程x2(2a1)xa20 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,(2a1)24a24a10,a14.知識(shí):一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2bxc0(a0)的兩根是x1,x2,那么x1x2ba,x1x2ca.利用這個(gè)關(guān)系,可以求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值的問題注意:一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系需滿足的前提條件是:a0;0.方法:一元二次方程的解法:(1)直接開平方法;(2)配方法;(3)公式法- 10 -1一元二次方程x290 的解集是()a.3b3c.3,3d9,9c cx290,x29,x3,故選 c.2一元二次方程x23x的解集是()a.0b3c3d0,3d dx23x,x23x0,x(x3)0,解
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