2015年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)90條

1、天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院37:8080/006/index.htmzelinxus第七章第七章 分析時(shí)代分析時(shí)代 在18世紀(jì)，微積分得到了進(jìn)一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用交織在一起，刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。 18世紀(jì)可以說是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時(shí)期。 7.1.1 7.1.1 積分技術(shù)與橢圓積分積分技術(shù)與橢圓積分 7.1.2 7.1.2 微積分向多元函數(shù)的推廣微積分向多元函數(shù)的推廣 7.1.3 7.1.3 無窮級(jí)數(shù)理論無窮級(jí)數(shù)理論 7.1.4 7

2、.1.4 函數(shù)概念的深化函數(shù)概念的深化7.1.5 7.1.5 微積分嚴(yán)格化的嘗試微積分嚴(yán)格化的嘗試7.2.1 7.2.1 常微分方程常微分方程 7.2.2 7.2.2 偏微分方程偏微分方程7.2.3 7.2.3 變分法變分法 7.3.1 7.3.1 微分幾何的形成微分幾何的形成 7.3.2 7.3.2 方程論及其他方程論及其他7.3.3 7.3.3 數(shù)論的進(jìn)展數(shù)論的進(jìn)展 微積分算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進(jìn)行的。大不列顛的數(shù)學(xué)家們在劍橋、牛津、倫敦和愛丁堡等著名的大學(xué)里教授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，他們中的優(yōu)秀代表有泰勒、麥克勞林、棣莫弗、斯特林等。泰勒在自己的正的和反的增量方法

3、中，陳述了他早在1712年就已獲得的那個(gè)著名定理:brook taylorcolin maclaurin3322321211)(zvxzvxzvxxvzx其中v為獨(dú)立變量 z 的增量， 和 為流數(shù)。泰勒假定隨時(shí)間均勻變化，故為常數(shù)，從而上述公式相當(dāng)于現(xiàn)代形式的“泰勒公式”： 泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)成為可能，是微積分進(jìn)一步發(fā)展的有力武器。但泰勒對該定理的證明很不嚴(yán)謹(jǐn)，也沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性。)( ! 2)( )()(2xfhxhfxfhxfxz 泰勒公式在零點(diǎn)的特殊情況后來被愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教材中一直把這一特殊情形稱為麥克勞林公式。麥克勞林是牛頓微積分學(xué)說的

4、竭力維護(hù)者，他曾試圖對牛頓流數(shù)論進(jìn)行嚴(yán)密的形式化推演，但因囿于幾何傳統(tǒng)而并不成功。 麥克勞林之后，英國數(shù)學(xué)陷入了長期停滯的狀態(tài)。微積分發(fā)明權(quán)的爭論滋長了大不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情結(jié)，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說中弱點(diǎn)的束縛。而在英吉利海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茲的后繼者們的推動(dòng)下蓬勃發(fā)展起來 。推廣萊布尼茲學(xué)說的任務(wù)，在從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過渡時(shí)期，主要是由雅各布伯努利和約翰伯努利兩兄弟擔(dān)當(dāng)。他們的工作，構(gòu)成了現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容。18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步應(yīng)歸于歐拉。他于1748年出版的無限小分析引論以及隨后發(fā)表的微分學(xué)和積分學(xué)是微積分史上里程碑式的著作。它們在很長時(shí)間里被當(dāng)

5、作分析課本的典范而普遍使用著。jacob bernoulli 1654-1705johann bernoulli 1667-1748這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)的分析學(xué)符號(hào)，對分析表述的規(guī)范化起了重要作用。此外，法國學(xué)派的代表人物克萊洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日和勒讓德等，也為微積分及其應(yīng)用在歐陸的推廣做出了卓越貢獻(xiàn)。 18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步應(yīng)歸于歐拉。他于1748年出版的無限小分析引論以及隨后發(fā)表的微分學(xué)和積分學(xué)是微積分史上里程碑式的著作。它們在很長時(shí)間里被當(dāng)作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)

6、的分析學(xué)符號(hào)，如：對分析表述的規(guī)范化起了重要作用。 歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如（1736年），sin和cos（1748年），tg（1753年），x（1755年）等 leonhard euler)(xf e i 歐拉1707年出生在瑞士的巴塞爾（basel）城，13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家約翰伯努利（johann bernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo) 歐拉淵博的知識(shí)，無窮無盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個(gè)多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文到今幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，

7、多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清他對數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨(dú)具匠心，無窮小分析引論一書便是他劃時(shí)代的代表作，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們稱他為分析學(xué)的化身 歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計(jì)他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。 歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱

8、著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，使他在雙目失明以后， 也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，在失明后的17年間，他還口述了幾本書和400篇左右的論文19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯（gauss，1777-1855年）曾說：“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法” 歐拉的父親保羅歐拉（paul euler）也是一個(gè)數(shù)學(xué)家，原希望小歐拉學(xué)神學(xué)，同時(shí)教他一點(diǎn)教學(xué)由于小歐拉的才人和異常勤奮的精神，又受到約翰伯努利的賞識(shí)和特殊指導(dǎo)，當(dāng)他在19歲時(shí)寫了一篇關(guān)于船桅的論文，獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金后，他的父親就不再反對他攻讀數(shù)學(xué)了 1725年約翰伯努利的兒子丹尼爾伯努利赴俄國，并向沙

9、皇喀德林一世推薦了歐拉，這樣，在1727年5月17日歐拉來到了彼得堡1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授1735年，歐拉解決了一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算慧星軌道），這個(gè)問題經(jīng)幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了然而過度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時(shí)他才28歲1741年歐拉應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，直到1766年，后來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然

10、他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了 沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子a歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久 歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代筆記的內(nèi)容，心算并不限于簡單的運(yùn)算，高等數(shù)學(xué)一樣可以用心算去完成有一個(gè)例子足以說明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個(gè)單位，

11、歐拉為了確定究竟誰對，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來.歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復(fù)雜的分析問題 歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈贊揚(yáng)，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，并謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年青的拉格朗日的工作得以發(fā)表和流傳，并贏得巨大的聲譽(yù)他晚年的時(shí)候，歐洲所有的數(shù)學(xué)家都把他當(dāng)作老師，著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（laplace）曾說過：歐拉是我們的導(dǎo)師 歐拉充沛的精力保

12、持到最后一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計(jì)算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時(shí)天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，歐拉寫出了計(jì)算天王星軌道的要領(lǐng)，還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中落下，口里喃喃地說：我死了，歐拉終于停止了生命和計(jì)算 歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的 歐拉在數(shù)學(xué)上的建樹很多，對著名的哥尼斯堡七橋問題的解答開創(chuàng)了圖論的研究。歐拉還發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)v、棱數(shù)e、面數(shù)f之間總有v-e+f=2這個(gè)關(guān)系。v-e+f被稱為歐拉示性數(shù)，成為拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)概念。在數(shù)論中

13、，歐拉首先引進(jìn)了重要的歐拉函數(shù)(n)，用多種方法證明了費(fèi)馬小定理。以歐拉的名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見, 與此同時(shí)，他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面取得了輝煌的成就。alexis clairaut 1713-1765jean le rond dalembert 1717-1783 此外，法國學(xué)派的代表人物克萊洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日和勒讓德等，也為微積分及其應(yīng)用在歐陸的推廣做出了卓越貢獻(xiàn)。joseph-louis lagrange 1736-1813gaspard monge 1746-1818adrien-marie legendre 1752-1833pier

14、re-simon laplace 1749-1827 18世紀(jì)這些數(shù)學(xué)家雖然不象牛頓、萊布尼茨那樣創(chuàng)立了微積分，但他們在微積分發(fā)展史上同樣功不可沒，假如沒有他們的奮力開發(fā)與仔細(xì)耕耘，牛頓和萊布尼茨草創(chuàng)的微積分領(lǐng)地就不可能那樣春色滿園，相反也許會(huì)變得荒蕪凋零。我們不可能逐一介紹18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和他們的工作，以下概要論述這一時(shí)期微積分深入發(fā)展的幾個(gè)方面。 18世紀(jì)的這些數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茲的無限小算法施行到各類不同的函數(shù)上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠(yuǎn)的新發(fā)現(xiàn)。在這方面，積分技術(shù)的推進(jìn)尤為明顯。 約翰伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多

15、困難的積分，這些方法已經(jīng)成為今天微積分教材中求函數(shù)積分的常用方法。 當(dāng)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們考慮無理函數(shù)的積分時(shí)，他們正在打開一片新天地。因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來表示，例如雅可布伯努利在求雙紐線（極坐標(biāo)下方程為 r 2 = a2 cos2 ）弧長時(shí)，得到弧長積分：7.1.1 7.1.1 積分技術(shù)與橢圓積分積分技術(shù)與橢圓積分drraasr0442在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長計(jì)算則引導(dǎo)到積分：歐拉在1744年處理彈性問題也得到積分：ttktdttkas022222)1)(1 ()1 (xxxadxxx02242)()(所以這些積分都屬于后來所謂的“橢圓積分”范疇，它們既不能用代數(shù)

16、函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)（如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）表示出來。橢圓積分的一般形式是：dxxrxp)()(（其中p(x)是 x 的有理函數(shù)， r(x)則是一般的四次多項(xiàng)式） 勒讓德后來將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種基本形式。在18世紀(jì)，法尼亞諾、歐拉、拉格朗日和勒讓德等都為特殊類型的橢圓積分積累了大量結(jié)果。而對橢圓函數(shù)的一般研究在19世紀(jì)20年代被阿貝爾和雅可比分別獨(dú)立地從反演的角度發(fā)展為深刻的橢圓函數(shù)論。guillaume de lhpital 雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家。 1720年

17、，尼古拉伯努利證明了二元函數(shù)在一定條件下，對兩個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果與求導(dǎo)順序無關(guān)。即相當(dāng)于：nicolaus(ii) bernoulli 1687-17597.1.2 7.1.2 微積分向多元函數(shù)的推廣微積分向多元函數(shù)的推廣 歐拉在1734年的一篇文章中證明了同樣的事實(shí)。在此基礎(chǔ)上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導(dǎo)數(shù)理論。達(dá)朗貝爾在1743年的著作動(dòng)力學(xué)和1747年關(guān)于弦振動(dòng)的研究中，也推進(jìn)了偏導(dǎo)數(shù)演算。不過當(dāng)時(shí)一般都用同一個(gè)記號(hào) d 表示通常導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)，專門的偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)xyyxfyxyxf),(),(22到19世紀(jì)40年代才由雅可比在其行列式理論中正式創(chuàng)用并逐漸普及，雖然拉格朗日在1786

18、年曾建議使用這一符號(hào)。、yx 牛頓關(guān)于多重積分的幾何論述，也在18世紀(jì)被以分析的形式推廣。1748年，歐拉用累次積分算出橢圓薄片對其中心正上方一質(zhì)點(diǎn)的引力的重積分： 到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計(jì)算二重定積分的一般程序。拉格朗日在關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球的引力的著作中，用三重積分表示引力，并開始了多重積分變換的研究。2/3222)(yxccdxdycc，積分區(qū)域由橢圓 圍成 。12222byax 微積分的發(fā)展與無窮級(jí)數(shù)的研究密不可分。由于泰勒級(jí)數(shù)提供了將函數(shù)展成無窮級(jí)數(shù)的一般方法。 在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具。 雅各布伯努利在16

19、89-1704年間撰寫了5篇關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的論文，成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題也是關(guān)于函數(shù)的級(jí)數(shù)表示及其在求函數(shù)的微分與積分、求曲線下面積和曲線長等方面的應(yīng)用。這些構(gòu)成了雅各布伯努利對微積分算法的重要貢獻(xiàn)。但就級(jí)數(shù)理論本身而言，其中最具啟發(fā)性的工作是其關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)之和為無窮的證明。7.1.3 7.1.3 無窮級(jí)數(shù)理論無窮級(jí)數(shù)理論james gregory4131211 這就意味著可將原級(jí)數(shù)中的項(xiàng)分組并使每一組的和都大于1，于是我們總可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的有限多項(xiàng)的和，使它大于任何給定的量。 調(diào)和級(jí)數(shù)的討論引起了學(xué)者們對發(fā)散級(jí)數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是一些著名的數(shù)值逼近公式。例如

20、，斯特林在1730年得到一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)表示：它相當(dāng)于 。利用它可以作 n!的近似計(jì)算。當(dāng) n 很大時(shí)， 稱之為斯特林公式，雖然這一極限情形是由棣莫弗得到的。上述斯特林級(jí)數(shù)系數(shù)中出現(xiàn)的b1 、 b4 、b6 、 、 b2n 、 叫做貝努利數(shù)。 關(guān)于無窮級(jí)數(shù)斂散性的研究也開始得到了數(shù)學(xué)家們的注意。他首先指出了 ，故有 11211112nnnnnnnnnnn111)(121112221223421)2)(12(1431212loglog)21(!logkknkkbnbnbnnnn1)2)(12(121exp2)(!1222kknnkkbnbnennnennn2)(! 18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個(gè)歷史性轉(zhuǎn)

21、折，是將函數(shù)放到了中心的地位，而以往數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主要對象。這一轉(zhuǎn)折歸功于歐拉，歐拉在無限小分析引論中明確宣布：“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”，微積分被看作是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論。 首先使用“函數(shù)”這一術(shù)語的是萊布尼茲。最先將函數(shù)概念公式化的是約翰伯努利。歐拉則將伯努利的思想進(jìn)一步解析化，大大豐富了函數(shù)概念的本質(zhì)。歐拉明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)，還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等。通過一些積分問題的求解，一系列新的超越函數(shù)被納入了函數(shù)的范疇，如橢圓函數(shù)、-函數(shù)和-函數(shù)：它們對于函數(shù)概念的拓廣有很大影響。7.1.4 7.1.4 函數(shù)概念的深化函數(shù)概念的深化1011)

22、1 ()1 (),(dxxxnmnmdxexdxxnnxnn100)log(!)1( 此外，受積分計(jì)算的激發(fā)，已有的初等函數(shù)還被推廣到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域。1748年，歐拉再次發(fā)現(xiàn)著名的“棣莫弗公式”:(cos i sin ) n = cos n i sin n .它不僅使人們能正確回答什么是復(fù)數(shù)的對數(shù)，更重要的是揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的深刻聯(lián)系而形成了初等函數(shù)的統(tǒng)一理論。abraham de moivre第二次數(shù)學(xué)危機(jī)!7.1.5 7.1.5 微積分嚴(yán)格化的嘗試微積分嚴(yán)格化的嘗試 運(yùn)動(dòng) 微分: 速度、切線、極值 積分: 距離、面積、體積運(yùn)動(dòng)是不存在的ts ,時(shí)刻t2)(ttss222)

23、(2ttttst2)(2ttts自由落體: 2ts 牛頓isaac newton (1642-1727)2)(2tttsttts2ttsv20t貝克萊主教bishop george berkeley(1685-1753) 最令人震撼的抨擊是來自英國哲學(xué)家、牧師伯克萊（g.berkeley,1685-1753），伯克萊在1734年擔(dān)任克羅因(今愛爾蘭境內(nèi))主教，同年發(fā)表一本小冊子分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家,副標(biāo)題中“不信神的數(shù)學(xué)家”是指幫助牛頓出版原理的天文學(xué)家哈雷（e.halley）.伯克萊在書中認(rèn)為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們以歸納代替演繹，沒有為他們的方法提供合法性證明。他集中攻擊了牛頓流數(shù)論中關(guān)

24、于無限小量的混亂假設(shè)，例如在首末比方法中，為了求冪 xn 的流數(shù)，牛頓假設(shè) x 有一個(gè)增量o，并以它去除 xn 的增量，得oxnnnxnn212)1( 然后又讓 o “消失” ，得到 xn 的流數(shù) nxn-1 ,伯克萊指出這里關(guān)于增量 o 的假設(shè)前后矛盾，是“分明的詭辯”。 1695年荷蘭數(shù)學(xué)家紐文蒂（b.nieuwentyjt）在其著作無限小分析中指責(zé)牛頓的流數(shù)術(shù)敘述“模糊不清”，萊布尼茲的高階微分“缺乏根據(jù)”。 微分與積分: 無窮級(jí)數(shù)的形式 微積分的應(yīng)用 牛頓求積分: 二項(xiàng)式定理86422111xxxxx432111xxxxx1）11（1)(11)(1111111211684211(x=-

25、2)(x=1)011) 11 () 11 (）（危機(jī)的加劇 達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 達(dá)朗貝爾在他為科學(xué)，藝術(shù)和工藝百科全書撰寫的“微分”等條目中，討論了他所謂的“微分演算的形而上學(xué)”，即微積分的基礎(chǔ)。他在這里發(fā)展了牛頓的首末比方法，但用極限概念代替了含糊的“最初比”“最末比”。達(dá)朗貝爾是這樣定義的：如果量 y 可任意逼近 x ，就是說 y 與 x 之間的差可任意小 ，則稱量 y 的極限為 x 。 證明的嚴(yán)密性 函數(shù)概念的模糊 無窮級(jí)數(shù)的發(fā)散1800年前后: 龐大的分析學(xué)陷入困境 什么是連續(xù)？ 羅爾羅爾(法國法國, michel rolle, 16521719) 微積分只是一些精巧的謬誤的集合微積分只

26、是一些精巧的謬誤的集合克萊洛（法國）alexis-claide clairaut(17131765) 歐幾里得自找麻煩地去證明是不足為怪的。這位幾何學(xué)家必須去說服那些冥頑不化的詭辯論者，而這些人是以拒絕最明顯的真理而自豪的。因此，象邏輯那樣，集合必須依賴形式推理去反駁他們。 但是，一切都倒了個(gè)個(gè)，所有那些涉及到常識(shí)且早已熟知的事情的推理，只能掩蓋真理，使讀者厭倦，在今天人們對它已不屑一顧了。西爾維斯特西爾維斯特（英國）（英國）james sylvester (18141897) 我還沒有證明這個(gè)結(jié)果，但是，我能像肯定任何必然事物一樣肯定它。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們證明 對不起，上節(jié)課假定的結(jié)果錯(cuò)了。

27、讓我們重新假設(shè)雅可比雅可比（德國）（德國）jakob jacobi (18041851) 要達(dá)到像高斯那樣的嚴(yán)密，我們沒有時(shí)間！ 高斯(1812年): 無窮級(jí)數(shù)的收斂性 嚴(yán)密性使數(shù)學(xué)家們喪失了興趣 數(shù)學(xué)危機(jī)- 無窮小是什么？ 分析學(xué)需要嚴(yán)格化! 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們一方面努力探索完善牛頓和萊布尼茲微積分的途徑；另一方面又往往不顧基礎(chǔ)問題的含混而大膽前進(jìn)，大大擴(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍。尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，已成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的特征之一。當(dāng)時(shí)幾乎所有數(shù)學(xué)家都不同程度地同時(shí)也是力學(xué)家。歐拉的名字同剛體運(yùn)動(dòng)和流體力學(xué)的基本方程相聯(lián)系；拉格朗日最負(fù)盛名的著作是分析力學(xué)；拉普拉斯許多最重要的數(shù)學(xué)成果包含在他

28、的五大卷天體力學(xué)中。分析學(xué)的廣泛應(yīng)用成為新思想的源泉，一系列新的數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)很快成長壯大起來。 常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的。從17世紀(jì)末開始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問題引出了一系列常微分方程。比較有名的如懸鏈線方程、等時(shí)曲線方程、正交軌線方程等。在經(jīng)過一段對特殊技巧的探索之后，數(shù)學(xué)家們逐漸開始尋找適合這些方程的普遍解法。 經(jīng)達(dá)萊布尼茲、歐拉和克萊洛的有關(guān)工作，到1740年左右，幾乎所有求解一階方程的初等方法都已知道。在常微分方程早期研究中出現(xiàn)的一類重要的非線性方程是“黎卡提方程”： .黎卡提基于變量替換的降階法后來成為處理高階方程的主要手段.1728年，歐拉引進(jìn)

29、了著名的指數(shù)代換將三類相當(dāng)廣泛的二階常微分方程化為一階,這是二階常微分方程系統(tǒng)研究的開始。 1743年，歐拉關(guān)于n階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法：對于n階常系數(shù)方程： 歐拉利用指數(shù)代換 （ q為常數(shù)）得到所謂特征方程 :7.2.1 7.2.1 常微分方程常微分方程 )()(2xfyxadxdy03322nndxydldxydddxydcdxdybayqxey 02nlqcqbqa 當(dāng)q是該方程的一個(gè)實(shí)單根時(shí)，則 是原微分方程的一個(gè)特解。當(dāng)q 是特征方程的k重根時(shí)，歐拉用代換 , 求得)(xueyqxqxae為包含k 個(gè)任意常數(shù)的解。歐拉指出： n階方程的通解是其n個(gè)特解的線性組合。他是最早明確

30、區(qū)分“通解”與“特解”的數(shù)學(xué)家。 這種完整解法實(shí)現(xiàn)了高階常微分方程求解的重要突破。18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是，拉格朗日在1774-1775年間用參數(shù)變易法解出了一般n階變系數(shù)非齊次常微分方程。 由解決一些具體物理問題而發(fā)展起來的常微分方程，在18世紀(jì)，已經(jīng)成為有自己的目標(biāo)與方法的新數(shù)學(xué)分支。)(12321kkqxxxxey 微積分在弦振動(dòng)等力學(xué)問題中的應(yīng)用則引導(dǎo)出另一門新的數(shù)學(xué)分支：偏微分方程。一般將達(dá)朗貝爾1747年發(fā)表的論文張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究看作為偏微分方程論的發(fā)端。該文明確推導(dǎo)出弦振動(dòng)所滿足的偏微分方程:7.2.2 7.2.2 偏微分方程偏微分方程22222xuctu

31、 1753年，丹尼爾丹尼爾伯努利伯努利也發(fā)表了他的弦振動(dòng)問題新思考，他假定所有可能的初始曲線均可表為正弦級(jí)數(shù)，從而弦振動(dòng)問題所有可能的解都是正弦周期模式的迭加：, 并給出了形如 的通解。)()(),(txtxxtulxnlxnaxtunncossin),(1歐拉、拉格朗日等在研究鼓膜振動(dòng)與聲音傳播時(shí)還導(dǎo)出了二維和三維波動(dòng)方程。 18世紀(jì)獲得的另一類重要的偏微分方程是位勢方程。拉普拉斯拉普拉斯在1785年發(fā)表的論文球狀物體的引力理論與行星形狀中，引進(jìn)了與引力分量具有偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系的標(biāo)量函數(shù)v，它與引力分量fx 、fx、fx之間有關(guān)系： ，并在球zvfyvfxvfzyx,坐標(biāo)下推導(dǎo)了該標(biāo)量函數(shù)v 滿足

32、的方程。稍后在1787年，他又給出了該方程的直角坐標(biāo)形式: ,也就是所謂的“位勢方程”，現(xiàn)在通常也稱為“拉普拉斯方程”。拉普拉斯還用球調(diào)和函數(shù)解出了位勢方程。位勢理論主要是經(jīng)拉普拉斯的工作才引起普遍關(guān)注，并由格林、高斯等發(fā)展為數(shù)學(xué)物理的重要部分。0222222zvyvxv7.2.3 7.2.3 變分法變分法21)()(1212xxdxxyxygj21),()(xxdxxyyfyj0 yfyfffyyyyxyy 18世紀(jì)新的數(shù)學(xué)分支中，變分法的誕生最富有戲劇性。它緣起于“最速降線”和其他一些類似的問題。最速降線最速降線本是一個(gè)由約翰伯努利提出來以向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)的問題，牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)、雅

33、各布伯努利以及約翰伯努利本人都曾給出正確解答。該問題實(shí)際相當(dāng)于求一個(gè)未定積分式的最小值。用現(xiàn)代符號(hào)表示，最速降線問題相當(dāng)于求函數(shù) y(x) ,使表示質(zhì)點(diǎn)從 a(x1，y1) 到b(x2，y2)下降時(shí)間的積分: 取最小值，其中g(shù) 是重力加速度,是與初始坐標(biāo)及速度有關(guān)的常數(shù)= (y1 v1 /2g2 )。 重要的是，牛頓和雅各布伯努利等人所給出的結(jié)論，揭示了該問題區(qū)別于普通極值問題的特征。因此他們的工作與同時(shí)期出現(xiàn)的等周問題、測地線問題等一道成為變分法誕生的標(biāo)志。 變分法處理的是一個(gè)全新的課題：求變量 的極大或極小值，這個(gè)變量（積分）與通常函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，即它的極值依賴于未知函數(shù)而不是未知實(shí)數(shù).歐

34、拉對于變分問題給出了一般的處理.1744年他借助一個(gè)二階常微分方程： 給出了變分問題的解應(yīng)滿足的必要條件，這就是后來所謂的“歐拉方程歐拉方程”，至今仍為變分法的基本方程。歐拉的工作為變分法這門新學(xué)科奠定了獨(dú)立的基礎(chǔ)。 a(x1，y1)b(x2，y2) 歐拉的變分法在許多地方還依賴于幾何論證。變分法的另一位奠基人拉格朗日則在純分析的基礎(chǔ)上建立變分法。他在1760年首創(chuàng)了函數(shù)的變分概念，給出了專門的記號(hào)，并導(dǎo)出了與歐拉方程一致的必要條件。拉格朗日還第一次成功地處理了端點(diǎn)變動(dòng)的極值曲線問題及重積分情形。1770年以后又研究了被積函數(shù)中含有高階導(dǎo)數(shù)的變分問題，這些后來都成為變分法的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容。拉格朗日拉

35、格朗日的工作使由最速降線等特殊問題發(fā)展起來的變分法名符其實(shí)地成為分析的一個(gè)獨(dú)立分支。 在18世紀(jì)，微分方程、變分法等新分支與微積分本身一起，形成了被稱之為“分析”的廣大領(lǐng)域，與代數(shù)、幾何并列為數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，并且在這個(gè)世紀(jì)里，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了代數(shù)和幾何。18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們不僅大大開拓了分析的疆域，而且賦予它與幾何相對的意義，他們力圖用純分析的手法以擺脫幾何論證的束縛，這種傾向成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的又一大特征。 分析的光芒使18世紀(jì)綜合幾何的發(fā)展暗然失色，但分析方法的應(yīng)用卻開拓出了一個(gè)嶄新的幾何分支，即微分幾何，從而改變了18世紀(jì)幾何學(xué)的面貌?！按鷶?shù)”在18世紀(jì)數(shù)學(xué)家心目中則是“分析”的同義語，他

36、們將分析看作是代數(shù)的延伸。在這種情況下，18世紀(jì)的代數(shù)學(xué)為下個(gè)世紀(jì)的革命性發(fā)展做出了必要準(zhǔn)備。 7.3.1 7.3.1 微分幾何的形成微分幾何的形成 微積分的創(chuàng)始人已經(jīng)利用微積分研究曲線的曲率、拐點(diǎn)、漸伸線、漸屈線等而獲得了屬于微分幾何范疇的部分結(jié)果。但微分幾何成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支主要是在18世紀(jì)。1731年法國數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表了關(guān)于雙重曲率曲線的研究，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的重要一步。 歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，即以曲線弧長作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。在無限小分析引論第2卷中則引進(jìn)了曲線的參數(shù)表示： x = x(s), y = y(s),

37、z = z(s),歐拉將曲率定義為曲線的切線方向與一固定方向的交角相對于弧長的變化率,并推導(dǎo)了空間曲線任一點(diǎn)曲率半徑的解析表達(dá)式歐拉的曲率定義是對克萊洛引進(jìn)的空間曲線的兩個(gè)曲率之一的標(biāo)準(zhǔn)化（另一個(gè)曲率,現(xiàn)在叫“撓率”，其解析表示到19世紀(jì)初才得到）。歐拉關(guān)于曲面論的經(jīng)典工作關(guān)于曲面上曲線的研究（1760）被公認(rèn)為微分幾何史上的一個(gè)里程碑。歐拉在其中2222222)()()(zdydxdds將曲面表示為z = f ( x, y ), 并引進(jìn)了相當(dāng)于 22222,yztyxzsxzryzqxzp的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)外，歐拉還正確地建立了曲面的曲率概念，引進(jìn)了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的歐拉公式 2

38、221sincos（其中 是主曲率，是一法截面與主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，歐拉還率先對可展曲面理論進(jìn)行了研究，導(dǎo)出了曲面可展性的充分必要條件。 18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年發(fā)表的關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文是第一部系統(tǒng)的微分幾何著述。他將空間曲線與曲面理論與微分方程緊密結(jié)合，在曲面簇、可展曲面及直紋面研究方面獲得了大量深刻的結(jié)果。與大多數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家不同的是，蒙日不僅將分析應(yīng)用于幾何，同時(shí)也反過來用幾何去解釋微分方程，從而推動(dòng)后者的發(fā)展。他開創(chuàng)了偏微分方程的特征理論，引進(jìn)了探討偏微分方程的幾何工具：特征曲線與特征錐（現(xiàn)稱“蒙日錐”）等，它們至今仍是

39、現(xiàn)代偏微分方程論中的重要概念。 21, 18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程。在這個(gè)世紀(jì)的最后一年，年青的高斯在他的博士論文中公布了代數(shù)基本定理的第一個(gè)實(shí)質(zhì)性證明。高斯的這一成果可以看作是18世紀(jì)方程論的一個(gè)漂亮的總結(jié)。代數(shù)基本定理斷言n次代數(shù)方程恰有n個(gè)根。它最早是由荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾于1629年提出，后經(jīng)笛卡爾、牛頓等眾多學(xué)者反復(fù)陳述、應(yīng)用，但均未給出證明。高斯的思想具有深刻的意義，因?yàn)槠渥C明是純粹存在性的。在此之前，幾乎所有的數(shù)學(xué)家都習(xí)慣于通過實(shí)際構(gòu)造來證明問題解的存在。 相對于代數(shù)基本定理而言，高次方程根式可解性問題顯得并不怎么幸運(yùn)。盡管未能在18世紀(jì)奏響解決的凱歌, 但這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們

40、還是為此做出了歷史性貢獻(xiàn)，其中以拉格朗日的工作最為重要。他在1770年的一篇長文中探討了一般三、四次方程能根式求解的原因，并猜測高次方程一般不能根式求解。1799年，拉格朗日的部分猜測被意大利的魯菲尼所證實(shí)?？梢哉f，他們已經(jīng)走到了成功的邊緣，雖然未能達(dá)到目標(biāo)，卻為下一世紀(jì)的最終沖刺指明了方向。 方程組理論也是頗受關(guān)注的代數(shù)方程問題。首先是線性方程組與行列式理論。瑞士數(shù)學(xué)家克拉姆在其代數(shù)曲線分析引論（1750）中提出了由系數(shù)行列式來確定線性代數(shù)方程組解的表達(dá)式的法則，即“克拉姆法則”。行列式理論在1772年被法國數(shù)學(xué)家范德蒙德系統(tǒng)化，自此成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對象。范德蒙德用二階子行列式及其余子式來展開

41、行列式的法則，后來被拉普拉斯推廣到一般情形而稱為“拉普拉斯展開”。 7.3.2 7.3.2 方程論及其他方程論及其他 與方程論相聯(lián)系的是人們對數(shù)的認(rèn)識(shí)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還談不上有完整的數(shù)系概念和建立數(shù)系的企圖。雖然在接受負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)方面還存有疑慮與爭議，但在弄清復(fù)數(shù)的意義方面卻也有些功績。隨著微積分的發(fā)展，復(fù)數(shù)幾乎進(jìn)入了所有的初等函數(shù)領(lǐng)域，并且在應(yīng)用上卓有成效。達(dá)朗貝爾在1747年關(guān)于一切復(fù)數(shù)均可以表示成形式 a + b i 的斷言開始被多數(shù)人接受。1797年，丹麥數(shù)學(xué)家韋塞爾創(chuàng)造了復(fù)數(shù)的幾何表示，并發(fā)展了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。等到1806年瑞士人阿爾岡、1831年高斯各自獨(dú)立發(fā)表了關(guān)于復(fù)數(shù)幾何表示的

42、研究之后，籠罩著虛數(shù)的疑云終于被驅(qū)散開來。18世紀(jì)數(shù)學(xué)家在澄清無理數(shù)邏輯基礎(chǔ)方面沒有進(jìn)展，但他們以相對平靜的態(tài)度接受了一些數(shù)的無理性。歐拉在1737年證明了e是無理數(shù)。他的證明以連分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，他得到 e 的連分?jǐn)?shù)展開：61111141111121112e 因?yàn)樗呀?jīng)證明了每一個(gè)有理數(shù)都能表示成一個(gè)有限的連分?jǐn)?shù)，所以e必定是無理數(shù)。1761年，蘭伯特用類似方法證明了圓周率是無理數(shù)。稍后勒讓德甚至猜測說可能不是任何有理系數(shù)方程的根。這促使數(shù)學(xué)家們將無理數(shù)區(qū)分為代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。1844年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾第一次真正地顯示了超越數(shù)的存在，他證明了形如 ! 33! 221101010aaa的數(shù)（a1 ,

43、 a2 , a3 , 為從0到9的任意整數(shù)）都是超越數(shù)。1873年和1882年，法國數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國數(shù)學(xué)家林德曼又分別證明了e和 的超越性。 ,321aaa 雖雖然古希臘、中國與印度的數(shù)學(xué)著作中早就給出了不少問題和結(jié)果，但近代意義上的數(shù)論研究還得從費(fèi)馬開始。費(fèi)馬提出了大量定理或猜想，讓全世界的數(shù)學(xué)家們忙碌了好幾個(gè)世紀(jì)，有的至今仍為現(xiàn)代數(shù)論饒有興趣的課題。 (1)費(fèi)馬小定理：如果 p是素?cái)?shù)， a與p互素，則 ap - a可以被 p 整除。 1640年10月18日,費(fèi)馬給德貝西（b.frenicle de bessy）的信中提出。 (2)費(fèi)馬大定理：對于任意大于 2的自然數(shù) n，方程xn +

44、yn = zn 沒有整數(shù)解。 費(fèi)馬閱讀巴歇（c.-g.bachet）校訂的丟番圖算術(shù)時(shí)的批注。1670年費(fèi)馬及其子薩繆爾（samuel）的批注連同巴歇校訂的算術(shù)再版，此問題公諸于世。 (3)平方數(shù)問題：i）每個(gè)4n + 1形的素?cái)?shù)和它的平方都只能以一種方式表示為兩個(gè)平方數(shù)之和；每個(gè)4n + 1形的素?cái)?shù)的三次方和它的四次方都只能以兩種方式；其五次方和六次方都能以三種方式，如此等等，以至無窮。如 n = 1時(shí)， 5 = 22 + 12 ， 52 = 32 + 42， 53 = 22 + 112 = 52 + 102 ，等等；ii）每個(gè)正整數(shù)可表示成四個(gè)或少于四個(gè)平方數(shù)之和。 (4)費(fèi)馬數(shù)：形如 fn =