數列與極限課件

1、數列與極限第二節(jié)第二節(jié) 數列的極限數列的極限一、數列極限的概念一、數列極限的概念二、收斂數列的性質二、收斂數列的性質三、小結三、小結數列與極限“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1.1.割圓術：割圓術：播放播放劉徽劉徽一、數列極限的概念一、數列極限的概念數列與極限R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS數列與極限2.2.截丈問題：截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”11;2X

2、第第一一天天截截下下的的杖杖長長為為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1數列與極限按自然數按自然數, 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數編號依次排列的一列數 ,21nxxx (1) 稱為稱為無窮數列無窮數列,簡稱簡稱數列數列.其中的每個數稱為數列其中的每個數稱為數列的的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數列數列(1)記為記為nx. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n數列與極限注意：注意： 1.數列對應著數軸上一個點列數列對應著數軸

3、上一個點列.可看作一可看作一動點在數軸上依次取動點在數軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數列是整標函數數列是整標函數).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 數列與極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數數列列 nnn播放播放數列與極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近

4、無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數學語言如何用數學語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:數列與極限,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有數列與極限定義定義1 設有數列設有數列 ，如果，如果 時，時， 無限接近于無限接近于某個確定的常數某個確定的常數 ，那么就稱數列，那么就稱數列 收斂，稱收斂，稱是數列是數列 的極限。或者稱數列的極限?；蛘叻Q數列

5、收斂于收斂于 ，記為，記為 nx nnxa nxa nx nxa naxaxnnn或或者者lim 如果這樣的常數如果這樣的常數 不存在，就稱數列不存在，就稱數列 沒有極沒有極限，或者稱數列限，或者稱數列 發(fā)散，習慣上也常常表達為發(fā)散，習慣上也常常表達為不存在不存在a nx nxnnx lim數列與極限例例1 給出數列的一般項如下，觀察它們的變化趨勢，判斷哪些數列收斂，哪些數列發(fā)散；如果收斂，指出其極限： ;111nnxnn ;212222nnnnxn ;11)3(1 nnx.)4(2nxn 解解 （1）因為 ，而當 時， 無限接近于0，從而 無限接近于1，所以 nnnxnnn11111 n n

6、n 11 nx 11lim1 nnnn數列與極限（2）因為 nnnnnnnnnnxn2121121212122222 當 時， 無限接近于 。所以 nn2121;2121lim222 nnnnn（3）因為數列是 2，0，2，0，, , 111 n在 時， 始終輪流地取得值2與0，并不接近于任何一個確定的常數，所以 nnx數列與極限 ;11lim1不存在不存在 nn（4） 因為當 時，這個數列的一般項 的值無限地增大，也不接近于任何一個確定的常數，所以 nnx.lim2不存在不存在nn 數列與極限1.唯一性唯一性定理定理1 1 每個收斂的數列只有一個極限每個收斂的數列只有一個極限. .二、二、收

7、斂數列的性質收斂數列的性質數列與極限2.有界性有界性定定義義: 對對數數列列nx, 若若存存在在正正數數M, 使使得得一一切切自自然然數數n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數數列列nx有有界界,否否則則, 稱稱為為無無界界.例如例如,1nnxn 數數列列2nnx 數數列列數數軸軸上上對對應應于于有有界界數數列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界;無界無界.數列與極限定理定理2 2 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .注意：注意：有界性是數列收斂的必要條件有界性是數列收斂的必要條件.推論推論 無界數列必定發(fā)散無界數列必定發(fā)散. .數列與極限例例2.)1(1是

8、是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數數列列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.1,1,nx 而而無無休休止止地地反反復復取取兩兩個個數數不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的的區(qū)間內區(qū)間內., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx數列與極限3.收斂數列的保號性收斂數列的保號性定理定理3（收斂數列的保號性）（收斂數列的保號性） 如果如果(或或 N，都有，都有0,lim aaxnn且且a0 nx 0 nx或或這個性質的一個直接推論是：如果從某一項起數列這個性質的一個直接推論是：如果從某一項起數列 的各項都非負（或都非正），且的各項都非負（或都非正），且