定積分基本計算公式定積分的計算公式

1、一一 定積分計算的基本公式定積分計算的基本公式 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記( )( ).xaxf t dt 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)4. 定積分的計算定積分的計算abxyoxx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得( ),fx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x.xxx 在在 與與之之間間補充補充 ( )( )( )( )f b

2、x b xf a x a x 證證: dttfxfxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxf ()()( )( )b xa xdfxf t dtdx 例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，應(yīng)用洛必達法則.證證 xdtttfdxd0)(),(xxf

3、 xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf證證, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)( xfxf, 1)( xf, 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 令令基本公式基本公式cxxf )()(,bax 證證令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()()(a

4、fxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba )()()(afbfdxxfba 基本公式表明基本公式表明 bafx 注意注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式202sincosxxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 10

5、2152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx dxx 12112ln|x . 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxa0cos x . 2 二二 定積分的換元公式定積分的換元公式定理定理證證),()()(afbfdxxfba ( )( ),tft 令令dtdxdxdft )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dttt

6、f)()( )()( ff ),()(afbf ( )( )( )baf xdxf bf a )()( .)()(dtttf 應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）例例9 9 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例10 10 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20c

7、ossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf例例1111 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有 )(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 aadxxf0)(. 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例12 12 計算計算解解.11c

8、os21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積證證tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112x

9、dx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式證證 ,vuvuuv (),bbaauv dxuv ,bbbaaauvu vdxuv dx.bbbaaaudvuvvdu例例1414 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則例例1515 計算計算解解.2cos140 xxd

10、x,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 401tan2xx xdxtan2140 401lnsec82x .42ln8 例例1616 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 解解例例1717 設(shè)設(shè) 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21x

11、fx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例1818 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxn

12、dun ,cos xv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式ni4223 nninni,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止,214365223221202immmmim ,3254761222122112immmmim ), 2 , 1( m,2200 dxi, 1sin201 xdxi,221436522322122 mmmmim.325476122212212 mmmmim于是于是四、雜例四、雜例例例19 19 計算極限計算極限111lim12nnnnn1111