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1、數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法 1北師大版選修2數(shù)學歸納法對于某類事物,由它的一些特殊事對于某類事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情況,歸納出一般例或其全部可能情況,歸納出一般結(jié)論的推理方法,叫歸納法結(jié)論的推理方法,叫歸納法歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法2北師大版選修2數(shù)學歸納法一、不完全歸納法一、不完全歸納法特點特點:由特殊由特殊 一般一般 a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d3北師大版選修2數(shù)學歸納法二、數(shù)學歸納法的概念:二、數(shù)學歸納法的概念:證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它
2、們的正確性來證明它們的正確性: :(1)(1)驗證驗證當當n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時命題成立時命題成立, ,(2)(2)假設假設當當n=k(kn=k(k n n* * ,k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立完成這兩步,就可以斷定這個命題對從完成這兩步,就可以斷定這個命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立這種證明方法叫做都成立這種證明方法叫做數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法驗證驗證n=nn=n0 0時命時命題成立題成立若若當當n=k(n=k(k k n n
3、0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立命題對從命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立都成立4北師大版選修2數(shù)學歸納法111111證明:證明:1)當n =1式,a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立1)當n =1式,a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假設n = k式結(jié)論成立,即a = a +(k-1)d2)假設n = k式結(jié)論成立,即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +
4、(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 綜合1)、2)知a = a +(n-1)d成立. 綜合1)、2)知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1時結(jié)論也成立時結(jié)論也成立那么那么nn1例:已知數(shù)列a 為等差,公差為d, :通項公式為a =a +(n-1)d求證求證5北師大版選修2數(shù)學歸納法注意注意 1.1.用數(shù)學歸納法進行證明時用數(shù)學歸納法進行證明時, ,要分兩個步驟要分兩個步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎是遞推的基礎. . 找準找準n n0 0(2)
5、(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件運用,而命題成立作為必用的條件運用,而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設利用假設及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明6北師大版選修2數(shù)學歸納法證明:證明:當當n=1n=1時,左邊時,左邊=1=1,右邊,右邊=1=1,等式成立,等式成立 假設假設n=k(kn ,k1)n=k(kn ,k1)時等式成立時等式成立, ,即:即: 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2, 當當n=k+1n=k+1時:時: 1+3+5+1+3+5+(2k-1
6、)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2, 所以當所以當n=k+1n=k+1時等式也成立時等式也成立 由由和和可知,對可知,對nn nn ,原等式都成立,原等式都成立例例1 1、用數(shù)學歸納法證明、用數(shù)學歸納法證明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2(nn nn ). . 請問:請問:第第步中步中“當當n=k+1n=k+1時時”的證明可否改換為:的證明可否改換為:1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?為什么?為什么?(k+1)1+(2k+1)27北師大版選修2數(shù)學歸納法312111nnnn31109nn題型二、用數(shù)學歸納法證明不等式例2、歸納法證明+ (n1,且)8北師大版選修2數(shù)學歸納法)(*nn22 nn題型三、用數(shù)學歸納法證明幾何問題例4平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于
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