大學文科數(shù)學1

1、大大 學學 文文 科科 數(shù)數(shù) 學學目錄l前言l第一章 微積分的基礎(chǔ)和研究對象l1極限、實數(shù)與集合在微積分中的作用l2微積分的研究對象函數(shù)l第二章 微積分的直接基礎(chǔ)極限l1 從阿基里斯追趕烏龜談起數(shù)列極限l2 函數(shù)極限l3 極限應(yīng)用的一個例子連續(xù)函數(shù)數(shù)學數(shù)學發(fā)展的五個時期發(fā)展的五個時期 數(shù)學的萌芽時期 初等數(shù)學時期 變量數(shù)學時期 近代數(shù)學時期 現(xiàn)代數(shù)學時期數(shù)學的萌芽時期數(shù)學的萌芽時期（至公元前六、五世紀）（至公元前六、五世紀）l大約在三百萬年前，人類還處于茹毛飲血的原始時代，以采集野果，圍獵野獸為生. 在集體勞動和“平均”分配的體制下，他們學會了在捕獲一頭獵物后用一塊石子、一根木頭來代表如此等等

2、. 后來，人類在日常生活和生產(chǎn)實踐中漸漸產(chǎn)生了計數(shù)的意識，并摸索出了多種計數(shù)方法，開始了結(jié)繩計數(shù)，擲石數(shù)羊和土地測量. 這也就是數(shù)學的源起.l巴比倫，古埃及，古印度初等數(shù)學時期初等數(shù)學時期古希臘數(shù)學（公元前古希臘數(shù)學（公元前6 6世紀至公元世紀至公元6 6世紀）世紀）（公元前6世紀至公元17世紀）第一個時期：從伊奧尼亞學派到柏第一個時期：從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約為公元前七世紀拉圖學派為止，約為公元前七世紀中葉到公元前三世紀中葉到公元前三世紀 l伊奧尼亞學派（伊奧尼亞學派（泰勒斯泰勒斯，幾何論證之父），幾何論證之父）開始了命題的證明，它標志著人們對客觀事物的認識從感性上升到理性，這在數(shù)

3、學史上是一個不尋常的飛躍.l畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯學派“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”，勾股定理，勾股定理l柏拉圖學派柏拉圖學派 “不懂幾何者不得入內(nèi)不懂幾何者不得入內(nèi)” 重視數(shù)學的嚴謹性，在教學中，堅持準確地定義數(shù)學概念，強調(diào)清晰地闡述邏輯證明，系統(tǒng)地運用分析方法和推理方法.第一次數(shù)學危機第一次數(shù)學危機l希帕索斯，的發(fā)現(xiàn)l否定了畢達哥拉斯學派的信條 l直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的. 從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學體系，這不能不說是數(shù)學思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物.l第一次數(shù)學危機的產(chǎn)物古典邏輯與歐氏幾何學2第一章第一章 微積分的

4、基礎(chǔ)微積分的基礎(chǔ)和研究對象和研究對象進入封建時代后，數(shù)學的發(fā)展經(jīng)歷了一個黑暗的時期. 直到歐洲文藝復興，數(shù)學重新進入了一個偉大的時代！1 1 微積分的基礎(chǔ)集合、實數(shù)和極限微積分的基礎(chǔ)集合、實數(shù)和極限l1.1 從牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學危機談起（1 1）微積分的建立）微積分的建立 進入進入17世紀，科技發(fā)展給數(shù)學提出了四世紀，科技發(fā)展給數(shù)學提出了四類問題：類問題： 瞬時速度問題； 曲線的切線； 函數(shù)極值問題；a. 求積問題(曲線長度、圖形面積等)。b. 英國數(shù)學家牛頓（英國數(shù)學家牛頓（Newton,1642-1727）和德國數(shù)學家萊布尼茲和德國數(shù)學家萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)

5、分別獨立地建立了微積分。分別獨立地建立了微積分。牛頓 萊布尼茨c.牛頓、萊布尼茨對微積分的主要貢獻牛頓、萊布尼茨對微積分的主要貢獻 澄清概念澄清概念特別是建立導數(shù)（變化率）特別是建立導數(shù)（變化率）的概念；的概念； 提煉方法提煉方法從解決具體問題的方法中提從解決具體問題的方法中提煉、創(chuàng)立出普遍適用的微積分方法；煉、創(chuàng)立出普遍適用的微積分方法； 改變形式改變形式把概念與方法的幾何形式變把概念與方法的幾何形式變成解析形式，使其應(yīng)用更廣泛；成解析形式，使其應(yīng)用更廣泛； 確定關(guān)系確定關(guān)系確定微分和積分互為逆運算。確定微分和積分互為逆運算。 （2 2）微積分的特點）微積分的特點 與以往的數(shù)學相比：微積分的

6、突出與以往的數(shù)學相比：微積分的突出特點是可以研究不斷變化的事物現(xiàn)特點是可以研究不斷變化的事物現(xiàn)象象 運動，是變量數(shù)學的標志。運動，是變量數(shù)學的標志。（3 3）微積分的應(yīng)用）微積分的應(yīng)用 從從17世紀末到世紀末到19世紀初，微積分理世紀初，微積分理論被廣泛而有效地應(yīng)用于物理、天論被廣泛而有效地應(yīng)用于物理、天文等領(lǐng)域。文等領(lǐng)域。（4 4）微積分存在的問題）微積分存在的問題理論體系粗糙，極不嚴密。它的一理論體系粗糙，極不嚴密。它的一些定理和公式在推導過程前后出現(xiàn)些定理和公式在推導過程前后出現(xiàn)邏輯矛盾，使人們感到難以理解，邏輯矛盾，使人們感到難以理解，這種矛盾集中體現(xiàn)在對這種矛盾集中體現(xiàn)在對“無窮小量

7、無窮小量”的理解與處理中。的理解與處理中。第二次數(shù)學危機第二次數(shù)學危機l無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導致矛盾. 牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替. 但是，他始終無法解決上述矛盾. 萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁. l英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)(導數(shù)) “是消失了的量的鬼魂”他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤， “是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結(jié)果” . 很顯然，貝克萊抓住了

8、當時微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，盡管他是出自對科學的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學的追求和探索，事實上大大地促進了數(shù)學發(fā)展.l羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集.”在那個勇于創(chuàng)造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象. 1919世紀初，法國數(shù)學家柯西建立了嚴格世紀初，法國數(shù)學家柯西建立了嚴格的極限理論，后來德國數(shù)學家魏爾斯特的極限理論，后來德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯等加以完善，從而形成了拉斯等加以完善，從而形成了嚴密的實嚴密的實數(shù)理論數(shù)理論。由此把微積分的無矛盾性問題。由此把微積分的無矛盾性問題歸結(jié)為實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾問題。歸結(jié)為實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾問題。（

9、5 5）微積分的嚴密化）微積分的嚴密化微積分得以嚴密化的基礎(chǔ)是：微積分得以嚴密化的基礎(chǔ)是：實數(shù)系統(tǒng)的完備性（或連續(xù)性）實數(shù)系統(tǒng)的完備性（或連續(xù)性）對象：函數(shù)內(nèi)容：微分、積分，以及連接微分與積分的橋梁微積分基本定理。工具：極限微積分研究的對象、內(nèi)容及工具微積分研究的對象、內(nèi)容及工具函數(shù)：函數(shù)：物質(zhì)世界的基本模型物質(zhì)世界的基本模型世界是物質(zhì)的，物質(zhì)是運動的，運動是世界是物質(zhì)的，物質(zhì)是運動的，運動是相互聯(lián)系的。這種相互聯(lián)系的物質(zhì)運動大都相互聯(lián)系的。這種相互聯(lián)系的物質(zhì)運動大都可以被數(shù)學家抽象為以可以被數(shù)學家抽象為以數(shù)量之間的變化關(guān)系數(shù)量之間的變化關(guān)系為基本特征為基本特征的的數(shù)學模型數(shù)學模型函數(shù)函數(shù)。數(shù)

10、學模型。數(shù)學模型是人類認識與改造世界的一個基本手段。是人類認識與改造世界的一個基本手段。有些事物的變化是離散的有些事物的變化是離散的比如：比如：隨著時間的推移，中國奧運金牌的數(shù)量；隨著時間的推移，中國奧運金牌的數(shù)量；隨著時間的推移，母雞下蛋的數(shù)量；隨著時間的推移，母雞下蛋的數(shù)量；隨著重量的增加，郵局郵寄包裹的價格；隨著重量的增加，郵局郵寄包裹的價格；隨著路程的增大，乘坐出租車的費用；隨著路程的增大，乘坐出租車的費用；0 xy0 xy0 xy有些事物的變化則是連續(xù)的有些事物的變化則是連續(xù)的比如：比如：隨著時間的推移，一輛汽車行走距離、速度隨著時間的推移，一輛汽車行走距離、速度的變化；人的動作；的

11、變化；人的動作；隨著時間的推移，某地氣溫的變化；隨著時間的推移，某地氣溫的變化；隨著半徑的增大，圓盤面積的變化；隨著半徑的增大，圓盤面積的變化；隨著氣壓的增高，水的沸點的變化；隨著氣壓的增高，水的沸點的變化；0 xy0 xy0 xy常值函數(shù)；常值函數(shù)；冪函數(shù)與根式函數(shù)；冪函數(shù)與根式函數(shù)；三角函數(shù)與反三角函數(shù)；三角函數(shù)與反三角函數(shù)；指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)通過它們的有限次四則運算、復合運算所得到的函通過它們的有限次四則運算、復合運算所得到的函數(shù)及其反函數(shù)。數(shù)及其反函數(shù)。函數(shù)既有具有具體表達式的初等函數(shù)函數(shù)既有具有具體表達式的初等函數(shù)也有更多的不能具體通過代數(shù)式表示、也有更多的不能具體

12、通過代數(shù)式表示、但卻具有實際意義的函數(shù)，以及一般的但卻具有實際意義的函數(shù)，以及一般的抽象函數(shù)。抽象函數(shù)。微積分：微積分：研究連續(xù)性變化研究連續(xù)性變化連續(xù)性變化的情況涉及到每一個瞬間，連續(xù)性變化的情況涉及到每一個瞬間，涉及到涉及到“無窮小無窮小”的時間段內(nèi)的變化情況，的時間段內(nèi)的變化情況，人類是無法精確捕捉到的。如何研究？人類是無法精確捕捉到的。如何研究？動畫片如何表現(xiàn)連續(xù)動作？動畫片如何表現(xiàn)連續(xù)動作？切片！很短時間內(nèi)的一種靜止畫面。切片！很短時間內(nèi)的一種靜止畫面?！拔⑿〉牟町愇⑿〉牟町悺笔俏⒎址e分的奧秘！是微分積分的奧秘！觀察某一微小變化觀察某一微小變化 = = 微分微分連接一系列微小變化連接

13、一系列微小變化 = =積分積分微分：微分：函數(shù)的局部性質(zhì)函數(shù)的局部性質(zhì)函數(shù)表示的是因變量依賴于自變量的變化關(guān)函數(shù)表示的是因變量依賴于自變量的變化關(guān)系，函數(shù)值反映的是變化結(jié)果，但不能反映系，函數(shù)值反映的是變化結(jié)果，但不能反映變化速度。函數(shù)的微分刻畫的正是函數(shù)的瞬變化速度。函數(shù)的微分刻畫的正是函數(shù)的瞬時變化速度。時變化速度。平均速度平均速度 VS VS 瞬時速度瞬時速度積分：積分：函數(shù)的整體性質(zhì)函數(shù)的整體性質(zhì)一個運動器每一時刻都有一個瞬時速度，一個運動器每一時刻都有一個瞬時速度，從而會行走一段距離；但是在一定時間內(nèi)，從而會行走一段距離；但是在一定時間內(nèi)，速度可能在變，如何知道變速運動在一定時速度可

14、能在變，如何知道變速運動在一定時間內(nèi)的運行路程，這就是積分問題。積分問間內(nèi)的運行路程，這就是積分問題。積分問題是研究函數(shù)的整體變化性質(zhì)。題是研究函數(shù)的整體變化性質(zhì)。對于一個給定函數(shù)來說，局部與整體是對于一個給定函數(shù)來說，局部與整體是一個事物的兩個方面，二者是對立的統(tǒng)一。一個事物的兩個方面，二者是對立的統(tǒng)一。因此，微分與積分具有密切關(guān)系，積分因此，微分與積分具有密切關(guān)系，積分問題是由函數(shù)的局部性質(zhì)研究整體性質(zhì)。建問題是由函數(shù)的局部性質(zhì)研究整體性質(zhì)。建立二者關(guān)系的橋梁是立二者關(guān)系的橋梁是 微積分基本定理微積分基本定理牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式。極限：極限：人類認識無限的必要手段人類認識

15、無限的必要手段由于生理的原因，人類只能看到有限時由于生理的原因，人類只能看到有限時間、有限范圍內(nèi)的事物；只能判斷、測量在間、有限范圍內(nèi)的事物；只能判斷、測量在一定時間段內(nèi)事物的變化量與平均變化速度。一定時間段內(nèi)事物的變化量與平均變化速度。要認識無限變化的事物，要確定事物瞬時變要認識無限變化的事物，要確定事物瞬時變化的情況等，極限是一個有效工具?；那闆r等，極限是一個有效工具。平均速度平均速度 VS VS 瞬時速度瞬時速度 時刻時刻 t 之后之后 s 秒內(nèi)的平均速度秒內(nèi)的平均速度= = s 秒內(nèi)的行走路程秒內(nèi)的行走路程 d/ /s時間幅度時間幅度 s 無限趨近于無限趨近于0 0 時刻時刻 t 的

16、瞬時的瞬時速度速度直邊圖形面積直邊圖形面積 VS VS 曲邊曲邊圖形面積圖形面積 abxyoabxyo00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91微積分研究函數(shù)的基本觀點是微積分研究函數(shù)的基本觀點是以靜代動；以直代曲。以靜代動；以直代曲。p傳統(tǒng)的處理方法u視為公理；u利用實數(shù)的直觀表示：無限小數(shù)

17、；利用實數(shù)的直觀表示：無限小數(shù)；u利用戴德金分割理論。利用戴德金分割理論。1.31.3 實數(shù)系的建立及鄰域概念實數(shù)系的建立及鄰域概念什么是“數(shù)” ？數(shù)是用來反映量的，是量的抽象.自然數(shù)：0，1，2，3，. 分數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).分數(shù)都是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，反之亦然.回憶回憶有理數(shù)（有理數(shù)（rational number): 0 和正負分數(shù)和正負分數(shù).無理數(shù)（irrational number): 正負無限不循環(huán)小數(shù).實數(shù)無理數(shù)有理數(shù)整數(shù)（整數(shù)（integer)integer)：0 0， . ., 2, 1記號：u有理數(shù)集 Q；u實數(shù)集 R數(shù)系擴充的科學道理自然數(shù)中減法產(chǎn)生負數(shù)， 整

18、數(shù)系統(tǒng)；整數(shù)中除法產(chǎn)生分數(shù)， 有理數(shù)系統(tǒng)；自然數(shù)中開方產(chǎn)生無理數(shù)， 實數(shù)系統(tǒng)；負數(shù)中開方產(chǎn)生虛數(shù)， 復數(shù)系統(tǒng)。p 有理數(shù)集是最小的數(shù)域（代數(shù)性質(zhì)） 有理數(shù)的運算及其法則來源于整數(shù)；有理數(shù)的運算及其法則來源于整數(shù)；有理數(shù)集在四則運算下是封閉的，而有理數(shù)集在四則運算下是封閉的，而且加法、乘法滿足結(jié)合律與交換律，且加法、乘法滿足結(jié)合律與交換律，并且乘法對加法滿足分配律，具有這并且乘法對加法滿足分配律，具有這種性質(zhì)的數(shù)集叫做種性質(zhì)的數(shù)集叫做數(shù)域數(shù)域。有理數(shù)集的性質(zhì)有理數(shù)集的性質(zhì)p 有理數(shù)是有序的、可數(shù)的（集合性質(zhì)） 像自然數(shù)一樣，有理數(shù)可以比較大像自然數(shù)一樣，有理數(shù)可以比較大小，是有序的，因此可以在數(shù)

19、軸上小，是有序的，因此可以在數(shù)軸上排列出來?？梢耘c自然數(shù)一一對應(yīng)。排列出來?？梢耘c自然數(shù)一一對應(yīng)。-1 0 1p 有理數(shù)在數(shù)軸上是稠密的、和諧的（幾何性質(zhì)）。 稠密性：任意兩個有理數(shù)之間，必然任意兩個有理數(shù)之間，必然存在第三個有理數(shù)，而不管這兩個有存在第三個有理數(shù)，而不管這兩個有理數(shù)有多么接近。理數(shù)有多么接近。 和諧性：有理數(shù)之間相處得親密無間，有理數(shù)之間相處得親密無間，對任意一個給定的有理數(shù)，永遠找不對任意一個給定的有理數(shù)，永遠找不到一個與之最接近的有理數(shù)。到一個與之最接近的有理數(shù)。011x這里這里有有有有理數(shù)理數(shù)這兩位這兩位之間有之間有有理數(shù)有理數(shù)從代數(shù)上看，從代數(shù)上看，有理數(shù)在四則運算下

20、是封閉的，有理數(shù)在四則運算下是封閉的，構(gòu)成一個數(shù)域。構(gòu)成一個數(shù)域。從幾何上看，有理數(shù)在數(shù)軸上是稠密的，從幾何上看，有理數(shù)在數(shù)軸上是稠密的，因此，要去度量任何一件實際事物，因此，要去度量任何一件實際事物，不論要求多高的精度，不論要求多高的精度，只要有理數(shù)就夠了。只要有理數(shù)就夠了。從集合上看，有理數(shù)是有序的、可數(shù)的，從集合上看，有理數(shù)是有序的、可數(shù)的，可以在數(shù)軸上排列出來，可以在數(shù)軸上排列出來，可以與自然數(shù)一一對應(yīng)。可以與自然數(shù)一一對應(yīng)。 看看看看有理數(shù)有理數(shù)優(yōu)優(yōu) 點點說說有理數(shù)的缺陷說說有理數(shù)的缺陷從代數(shù)上看，有理數(shù)在從代數(shù)上看，有理數(shù)在開方運算下不封閉；開方運算下不封閉；從幾何上看，有理數(shù)在從

21、幾何上看，有理數(shù)在數(shù)軸上還有許多縫隙；數(shù)軸上還有許多縫隙；從分析上看，有理數(shù)對從分析上看，有理數(shù)對極限運算不封閉。極限運算不封閉。由于有理數(shù)有許多不完備的地方，如果不對有理由于有理數(shù)有許多不完備的地方，如果不對有理數(shù)進行擴充，關(guān)于極限的運算就無法進行，從而數(shù)進行擴充，關(guān)于極限的運算就無法進行，從而也就不會有微積分。也就不會有微積分。有理數(shù)擴充的直接結(jié)果是實數(shù)集。有理數(shù)擴充的直接結(jié)果是實數(shù)集。關(guān)于實數(shù)，長期以來，人們只是直覺地去認識：關(guān)于實數(shù)，長期以來，人們只是直覺地去認識：有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為限不

22、循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)實數(shù)。實數(shù)數(shù)集產(chǎn)生的必要性實數(shù)數(shù)集產(chǎn)生的必要性l如何定義實數(shù)？如何表示實數(shù)？如何定義實數(shù)？如何表示實數(shù)？l實數(shù)是否能夠填滿整個數(shù)軸？實數(shù)是否能夠填滿整個數(shù)軸？l實數(shù)是否是有序的？實數(shù)是否是有序的？l實數(shù)運算如何進行？法則如何？實數(shù)運算如何進行？法則如何？QuestionQuestion19世紀，德國數(shù)學家世紀，德國數(shù)學家康托康托（G. Cantor, 1845-1918）、）、戴德金戴德金(J. W. R. Dedekind, 18311916) 、魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 18151897 ）通過對無理數(shù)本質(zhì)進行

23、深入研究，奠定了實數(shù)構(gòu)通過對無理數(shù)本質(zhì)進行深入研究，奠定了實數(shù)構(gòu)造理論，明確解決了以上問題。造理論，明確解決了以上問題。1845年出生于圣彼得堡，猶太人后裔。11 歲時進入德國，1867 年獲柏林大學的博士學位，1872 年升為教授。1874 年開始研究比較無窮集的元素多少問題。戴德金R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德國不倫瑞克；1916 年2月12 日卒于不倫瑞克。 數(shù)學家。pWeierstrass (1815 1897)德國數(shù)學家p先修財務(wù)、管理、法律，后學數(shù)學p1854年，哥尼斯堡大學名譽博士；1856年，柏林科學院院士p數(shù)論、幾何、復分析鄰域鄰域

24、. 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設(shè)設(shè)a),( aU記作記作,稱為這鄰域的中心稱為這鄰域的中心點點a.稱稱為為這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . |),( axaxaU,鄰鄰域域的的去去心心的的點點 a.0|),( axxaU,鄰鄰域域的的稱稱為為點點數(shù)數(shù)集集 aaxx 記作記作xa a a 伽利略經(jīng)過精確的實驗，測得自由伽利略經(jīng)過精確的實驗，測得自由落體的運動方程：落體的運動方程： 221gts 在力學中，質(zhì)量為在力學中，質(zhì)量為m，速度為，速度為v的物的物體運動時所具有的能量（稱為動能）體運動時所具有的能量（稱為動能） 221mvE 在電學中，電流強度為在電學中，電流強度為I 的電流通過的電流

25、通過電阻為電阻為R的導線時，在單位時間內(nèi)所的導線時，在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量產(chǎn)生的熱量 221RIQ 2 2微積分的研究對象函數(shù)微積分的研究對象函數(shù)在幾何中半徑為在幾何中半徑為r的圓的面積的圓的面積 2rS 上述這些變量之間的關(guān)系都有一個相同的抽象形式上述這些變量之間的關(guān)系都有一個相同的抽象形式 2xky 這就是一個函數(shù)關(guān)系式。這就是一個函數(shù)關(guān)系式。 如果將這個函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)研究清楚了，那么如果將這個函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)研究清楚了，那么前面的那些實際變量之間的關(guān)系的性質(zhì)也就清楚了前面的那些實際變量之間的關(guān)系的性質(zhì)也就清楚了. . 數(shù)學的一個特點是它的高度抽象性，隨之也就數(shù)學的一個特點是它的高度抽象性

26、，隨之也就具有應(yīng)用的廣泛性具有應(yīng)用的廣泛性. . 下面給出函數(shù)的一般定義下面給出函數(shù)的一般定義. . .),()(DxxfyyDfRf 一、函數(shù)概念一、函數(shù)概念全全體體函函數(shù)數(shù)值值組組成成的的集集合合稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域,記記為為fR或或)(Df,即即 定定義義 設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)集集R D, ,D ，如如果果對對D中中的的每每一一個個x，按按照照某某個個對對應(yīng)應(yīng)法法則則f，有有唯唯一一的的數(shù)數(shù)R y與與之之對對應(yīng)應(yīng)， 則則稱稱f是是定定義義在在D上上的的一一個個函函數(shù)數(shù)， 記記為為)(xfy ，Dx 。其其中中D稱稱為為定定義義域域。 x稱為稱為自變量自變量，y稱為稱為因變量因變量. . 在函

27、數(shù)的定義中， 對于每個在函數(shù)的定義中， 對于每個)( fDx ， 對應(yīng)的對應(yīng)的函數(shù)值函數(shù)值)(xfy 是唯一的是唯一的(因此因此,也稱為也稱為單值函數(shù)單值函數(shù))， 注意：注意：例如，例如，2xy 而而對對于于每每個個)( fRy )，以以之之作作為為函函數(shù)數(shù)值值的的自自變變量量 x 不不一一定定唯唯一一. 是定義在是定義在R上的一個函數(shù)，上的一個函數(shù)，它的值域是它的值域是 0|)( yyfR對對于于每每個個函函數(shù)數(shù)值值)( fRy ，對對應(yīng)應(yīng)的的自自變變量量有有兩兩個個，即即yx 和和yx . 確定函數(shù)的兩要素：確定函數(shù)的兩要素：定義域和對應(yīng)法則。定義域和對應(yīng)法則。例例1 1 判斷下列各對函數(shù)

28、是否相同？判斷下列各對函數(shù)是否相同？ （1 1）1 , 1 tsxy （2 2）xxyxy2 , 相同相同（3 3）2 ,xyxy 不同不同 (定義域不同定義域不同)（4 4）33 ,xyxy 不同不同 (對應(yīng)法則不同對應(yīng)法則不同)（5 5）xyxyln2 ,ln2 相同相同不同不同 (定義域不同定義域不同)(1) 根據(jù)實際問題；根據(jù)實際問題；(2) 自然定義域：使算式有意義的一切實數(shù)值自然定義域：使算式有意義的一切實數(shù)值.如何求函數(shù)的自然定義域？如何求函數(shù)的自然定義域？ ( (d) )xarcsin或或xarccos, ,1 x； (a) 分式的分母不等于零；分式的分母不等于零； (b) 偶

29、次根號內(nèi)的式子應(yīng)大于或等于零；偶次根號內(nèi)的式子應(yīng)大于或等于零； (c) 對數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于零；對數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于零； ( (e) )若函數(shù)的表達式由多項組成若函數(shù)的表達式由多項組成, ,則定義域為各項則定義域為各項定義域的交集；定義域的交集；(f )分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.定義域的確定：定義域的確定：例例2 2 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的( (自然自然) )定義域。定義域。 因此，函數(shù)的定義域為因此，函數(shù)的定義域為xxy 22) 1 ()23ln(1)2( xy225151arcsin)3(xxy 解解,022) 1 ( xx，22 x即定義域為即定義域

30、為. )2, 2 ,0)23ln(023)2( xx,13/2 xx即即. ), 1 () 1,32( D225151arcsin)3(xxy ,25151)3(2 xx,5564 xxx4 65 5,54 x因此，函數(shù)的定義域為因此，函數(shù)的定義域為.54）， D1）圖象法）圖象法2）表格法）表格法3）解析法）解析法(公式法公式法).)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點集點集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxfRD y二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為

31、分段函數(shù)分段函數(shù).分段函數(shù)分段函數(shù) 0, 120, 1)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xyxyo1 21 ,11 ,1)(,22xxxxxf再如再如這也是分段函數(shù)，其定義域為這也是分段函數(shù)，其定義域為2 , 1()1 , 1()1, 2 D yOx111221解解例例3 3，設(shè)設(shè) 21 ,410 , 12)(xxxxxf 221 ),2(4120 , 1)2( 2)2(xxxxxf. )2( xf求求.01 ,212 , 52 xxxx 1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當當當當當當幾個分段函數(shù)的例子幾個分段函數(shù)的例子. .xyo1 12) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=

32、x753 ,0 1 5 . 3 .4 ,1 ，1 x表示不超過表示不超過x的最大整數(shù)的最大整數(shù). 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -3xyo1234o有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xy3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(Dirichlet) 是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy01)(函數(shù)的幾種基本特性函數(shù)的幾種基本特性一、有界性一、有界性 如如果果設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)間間,DIM Mxyoba給給定定函函數(shù)數(shù))(xfy ,Dx . ,)(Mxf 有有使使得得對對常常數(shù)數(shù), 0IxM 則稱函數(shù)則稱函數(shù)上上在在區(qū)區(qū)間間Ixf)(有界。有界。xyoba函數(shù)的

33、有界性還可以細分為：函數(shù)的有界性還可以細分為： ,)(1Mxf 有有使得對使得對如果存在常數(shù)如果存在常數(shù),1IxM 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x) 在在I上上下有界下有界 .M2 M1 M1稱為稱為 f(x) 在在I上的上的下界下界。M2稱為稱為 f(x) 在在I上的上的上界上界。定理定理：函數(shù)：函數(shù) f(x) 有界當且有界當且僅當僅當 f(x) 上有界且下有界。上有界且下有界。即即可可。取取 ,max 21MMM ,)(2Mxf 有有使使得得對對如如果果存存在在常常數(shù)數(shù),2IxM 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x) 在在I上上上有界上有界 . 因為存在因為存在 M 1，使對任意，使對任意x ( , )，

34、有，有|sin x| 1，所以所以 y sinx是是( , )內(nèi)的有界函數(shù)。內(nèi)的有界函數(shù)。y sinx 有界嗎有界嗎?xyo 2 2 11 函函數(shù)數(shù)xy1 在在），（10上上是是無無界界的的， ？有有界界嗎嗎xy1 xyo在在）， 1上上是是有有界界的的。 二、單調(diào)性二、單調(diào)性 ,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo.)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間

35、間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo例如例如, 函數(shù)函數(shù) y x 3 在在( , )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。xyo3xy 而函數(shù)而函數(shù) y x 2 在區(qū)間在區(qū)間( , 0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0, )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。2xy xyo三、奇偶性三、奇偶性,()(DxODxf 即即若若對對稱稱關(guān)關(guān)于于原原點點的的定定義義域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(xfxf ;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)則稱則稱xf有有如果對于如果對于,Dx ,)Dx 則則有有如果對

36、于如果對于,Dx )()(xfxf .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)則稱則稱xf例例1 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： 4243xx xx 23 偶函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶非奇非偶xx 22 即即得得 )()(xfxf ， 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)xx2121 )(xf 1212)( xxxf1212 xxxx 22）（xx 21ln )()(xfxf)1ln(2 xx)1ln(2 xx,01ln 例例2 2設(shè)設(shè))(xf是是定定義義在在),(aa 上上的的任任意意函函數(shù)數(shù)。證證明明： ),( , )()()(aaxxfxfxg 是偶函數(shù)；而是偶函數(shù)；而),( , )(

37、)()(aaxxfxfxh 是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。證明是容易的。證明是容易的。 由此可證：定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)必可表由此可證：定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)必可表示為一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)之和：示為一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)之和：)()(21)()(21)(xfxfxfxfxf 偶函數(shù)的圖形關(guān)于偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對稱。軸對稱。yx),(yxP )(xfy ox-x),(yxP具有奇偶性的函數(shù)的圖形有某種具有奇偶性的函數(shù)的圖形有某種對稱性對稱性：),(yxP yxox-x)(xfy ),(yxP奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。若若)(xf是奇函數(shù)，且在是奇函數(shù)，且在0 x處有定

38、義處有定義, ,則則0)0( f, ,即過原點即過原點. . 例例3 3判判斷斷函函數(shù)數(shù) 0 ,320 ,32)(xxxxxf 的的奇奇偶偶性性。 解解 0 ,320 ,32)(xxxxxf 0 ,320 ,32xxxx, )(xf 故故 f(x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù). xyo2- -11四、周期性四、周期性(通常周期函數(shù)的周期是指其通常周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期).,R)(的的定定義義域域為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xf使得使得如果如果,0 T)R( )()( xxfTxf.)(,)(的的周周期期稱稱為為為為周周期期函函數(shù)數(shù)則則稱稱xfTxf如如 sinx, cosx 都都是是周周期期為為

39、2 的的周周期期函函數(shù)數(shù)， tanx，|sinx|的的周周期期為為 . 注意注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期. 是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy01)(如狄利克雷函數(shù)如狄利克雷函數(shù)任何正有理數(shù)都是它的周期任何正有理數(shù)都是它的周期, 但并不存在最小的正有理數(shù)但并不存在最小的正有理數(shù)。 2.22.2逆向思維的一例逆向思維的一例 反函數(shù)反函數(shù) 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域為的定義域為D，值域為，值域為Z。如果對。如果對于每個于每個 y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f (x) y，則，則 x是一個定是一個定義在義在

40、Z上的函數(shù)，稱為上的函數(shù)，稱為 y f (x) 的反函數(shù)，記為的反函數(shù)，記為x f 1(y)。函數(shù)函數(shù)y f (x)與函數(shù)與函數(shù)x f 1(y)是互為反函數(shù)。是互為反函數(shù)。將將x與與y互換，就得所求反函數(shù)為互換，就得所求反函數(shù)為例例1 1 求求y 3x 1的反函數(shù)。的反函數(shù)。解解，由由13 xy，得得31 yx.31 xy)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy ),(baP)(1xfy 反函數(shù)反函數(shù)xy 例如，在例如，在( , )內(nèi)，內(nèi)，y x2 不是一一對應(yīng)的函數(shù)不是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，所以它沒有反函數(shù)。關(guān)

41、系，所以它沒有反函數(shù)。一個函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。一個函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 在在(0, )內(nèi)內(nèi)y x2有反函數(shù)有反函數(shù) 在在( , 0)內(nèi)，內(nèi)，y x2有反函數(shù)有反函數(shù) .xy .xy x-x yxyo2xy xyoxy xy 解解例例2 2 求函數(shù)求函數(shù))(21xxaay )(21xxaay xyO) 1( a) 1, 0,R( aax的反函數(shù)。的反函數(shù)。,02 yaaxx,0122 xxyaa,1)(22yyax ,12yyax ）（略略去去21yyax , )1(log2yyxa 所以所求反函數(shù)為所以所求反函數(shù)為. )1(log2xxya 例例

42、3 3)R( 2 xyx與與)0( log2 xxy互為反函數(shù)。互為反函數(shù)。xy2log 1xyo1xy2 1.1.常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù)CCy oxy2.3 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)C 常函數(shù)的定義域常函數(shù)的定義域為為( , )，圖形為，圖形為平行于平行于x軸軸, 在在y軸上軸上截距為截距為C的直線。的直線。 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過經(jīng)過 (1, 1)點。點。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo

43、2xy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過經(jīng)過 (1, 1)點。點。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyoxy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過經(jīng)過 (1, 1)點。點。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo3xy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域

44、隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過經(jīng)過 (1, 1)點。點。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo3xy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過經(jīng)過 (1, 1)點。點。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyoxy1 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為

45、何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過經(jīng)過 (1, 1)點。點。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo32xy 3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx 定義域為定義域為( , )，值域為值域為(0, )，都通過點都通過點(0, 1),當當a1時，函數(shù)單調(diào)增加；時，函數(shù)單調(diào)增加；當當0a1 時時, 函數(shù)單調(diào)增加；函數(shù)單調(diào)增加；當當 0a1時時, 函數(shù)單調(diào)減少。函數(shù)單調(diào)減少。對數(shù)的基本性質(zhì)：對數(shù)的基本性質(zhì)：, 0, 0 NM設(shè)設(shè)1, 0 aaNMMNaaaloglog)(log NM

46、NMaaalogloglog MpMapaloglog 換底公式換底公式aNNbbalogloglog )1, 0( bb對數(shù)恒等式對數(shù)恒等式,logxaxa xaxa log5.5.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) y sin x與與y cos x的定義域均為的定義域均為( , )，均以，均以2 為周期。為周期。y sin x為為奇函數(shù)奇函數(shù)，y cos x為為偶函數(shù)偶函數(shù)。它們都是它們都是有界函數(shù)有界函數(shù)。xyo 2 2 1 1xyo 2 2 1 1定義域定義域: x (2n 1) /2 。周期周期: 。奇函數(shù)。奇函數(shù)。正切函數(shù)正切函數(shù)xytan 定

47、義域定義域: x n 。周期周期: 。奇函數(shù)。奇函數(shù)。余切函數(shù)余切函數(shù)xycot xyo2 23 23 2 xyo 2 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù))cos1(x )sin1(x 6.6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin 反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)2 xyo1 12 oxy1 12 2 定義域：定義域： 1, 1 值域：值域：2,2 單調(diào)增加函數(shù)；單調(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù).xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù) xyo1 1oxy1 1 定義域：定義域： 1, 1 值域：值域：, 0 單調(diào)減少函數(shù)；單調(diào)減少函數(shù)；無奇偶性無奇偶性.xxarccos)arccos( 2

48、 2 xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)xy2 2 oxy定義域：定義域：),( 值域：值域：)2,2( 單調(diào)增加函數(shù)；單調(diào)增加函數(shù)； 奇函數(shù)奇函數(shù).反余切函數(shù)反余切函數(shù)xycotarc xyoxy 定義域：定義域：),( 值域：值域：), 0( 單調(diào)減少函數(shù)；單調(diào)減少函數(shù)； 無奇偶性無奇偶性.xxcotarc)cot(arc 反三角函數(shù)值的確定：反三角函數(shù)值的確定：求求 arcsin x 值的方法：值的方法： ,0 x若若,sinx 使使；則則 xarcsin)21arcsin( 21arcsin ,2, 0 內(nèi)內(nèi)確確定定則則在在,0 x若若.arcsin)arcsin(xx 則則利利用用例例1 1.6 )21arccos( 21arccos 例例2 23 .32 類似地有類似地有.arccos)arccos(xx 2.4 2.4 復合函數(shù)復合函數(shù)例如例如：2arcsinxy 可看作由可看作由uyarcsin 復合而成。復合