定積分與微積分

1、第3課時(shí) 定積分與微積分 基本定理定積分與微積分1定積分的概念定積分的概念(1)定積分的定義和相關(guān)概念定積分的定義和相關(guān)概念如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上連上連續(xù)，用分點(diǎn)續(xù)，用分點(diǎn)ax0 x1xi1xixnb將區(qū)間將區(qū)間a，b等分成等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)i(i1,2，基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理，n)，作和式，作和式 ，定積分與微積分當(dāng)當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近時(shí)，上述和式無限接近 ，這個(gè)這個(gè) 叫做函數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的定上的定基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理某個(gè)常數(shù)某個(gè)常數(shù)常數(shù)常數(shù)積分，記作積分，記作 ，即，即

2、baf(x)dx 定積分與微積分基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理a與與ba，b函數(shù)函數(shù)f(x)x定積分與微積分基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理定積分與微積分基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理定積分與微積分基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理定積分與微積分(3)定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)kf(x)dx f1(x)f2(x)dx .f(x)dx 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理定積分與微積分基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理你能從定積分的幾何意義解釋性你能從定積分的幾何意義解釋性質(zhì)質(zhì)嗎？嗎？【思考思考提示提示】如圖所示，設(shè)在區(qū)如圖所示，設(shè)在區(qū)間間a，b上恒有上恒有f(x)0，c是區(qū)間是區(qū)間(a，b)內(nèi)的內(nèi)的一點(diǎn)，那么從幾何圖形上看，直線一點(diǎn)，那么

3、從幾何圖形上看，直線xc把把大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因此，大曲邊梯形的面積此，大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形是兩個(gè)小曲邊梯形的面積的面積S1，S2之和，即之和，即SS1S2，用定積，用定積分表示就是性質(zhì)分表示就是性質(zhì).定積分與微積分基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理F(b)F(a)定積分與微積分答案答案：A三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化定積分與微積分三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化答案答案：B定積分與微積分三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化答案答案：D定積分與微積分三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化定積分與微積分答案答案：1三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化定積分與微積分求函數(shù)求函數(shù)f(x)的定積

4、分，關(guān)鍵是求的定積分，關(guān)鍵是求出函數(shù)出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，即滿，即滿足足F(x)f(x)正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系課堂互動講練課堂互動講練考點(diǎn)一考點(diǎn)一求已知函數(shù)的定積分求已知函數(shù)的定積分定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)(2)先利用定積先利用定積分的性質(zhì)將被積函數(shù)化簡再求分的性質(zhì)將被積函數(shù)化簡再求(3)先先化簡，再求定積分化簡，再求定積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分【規(guī)律總結(jié)

5、規(guī)律總結(jié)】計(jì)算簡單定積分的步驟計(jì)算簡單定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；(2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個(gè)定積分的和或差；為若干個(gè)定積分的和或差；(3)分別用求導(dǎo)公式找到分別用求導(dǎo)公式找到F(x)，使得，使得F(x)f(x)；(4)利用牛頓利用牛頓萊布尼茲公式求出各個(gè)萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；定積分的值；(5)計(jì)算所求定積分的值計(jì)算所求定積分的值課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分1分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)的定積分(1)分段函數(shù)

6、在區(qū)間分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積上的定積分可分成幾段定積分的和的形式分可分成幾段定積分的和的形式(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段的情況分，無需分得過細(xì)的情況分，無需分得過細(xì)課堂互動講練課堂互動講練考點(diǎn)二考點(diǎn)二求分段函數(shù)的定積分求分段函數(shù)的定積分定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)f(x)在在0,5上上的定積分，可按照的定積分，可按照f(x)的分段標(biāo)準(zhǔn)，的分段標(biāo)準(zhǔn)，分成分成0,1，(1,4，(4,5三段的定積分三段的定

7、積分的和；的和；課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】分段函數(shù)在區(qū)間分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積分可分成幾段定積分上的定積分可分成幾段定積分的和的形式的和的形式. 分段的標(biāo)準(zhǔn)只需依據(jù)已分段的標(biāo)準(zhǔn)只需依據(jù)已知函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)即可知函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)即可課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分利用定積分求平面圖形面積的利用定積分求平面圖形面積的關(guān)鍵是畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位關(guān)鍵是畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的積分表達(dá)式，再利從而得到面積的積分表

8、達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值用微積分基本定理求出積分值課堂互動講練課堂互動講練考點(diǎn)三考點(diǎn)三定積分的幾何意義定積分的幾何意義定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練利用定積分的性質(zhì)和定義表示下利用定積分的性質(zhì)和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積列曲線圍成的平面區(qū)域的面積(2)yx2，xy2.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】先將區(qū)域面積表先將區(qū)域面積表示成若干個(gè)定積分的和或差，再運(yùn)用示成若干個(gè)定積分的和或差，再運(yùn)用牛頓牛頓萊布尼茲公式計(jì)算萊布尼茲公式計(jì)算定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖曲線所圍成的平面區(qū)域如圖(2)所示：所示：SA1A2.課堂互動講練課

9、堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分利用定積分解決變速運(yùn)動問題利用定積分解決變速運(yùn)動問題和變力做功問題時(shí)，關(guān)鍵是求出物和變力做功問題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體作變速運(yùn)動的速度函數(shù)和變力與體作變速運(yùn)動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，區(qū)間，得到積分表達(dá)式， 再利用微再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求積分基本定理計(jì)算即得所求課堂互動講練課堂互動講練考點(diǎn)四考點(diǎn)四定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】從圖上可以

10、看出從圖上可以看出物體在物體在0t1時(shí)做加速運(yùn)動，時(shí)做加速運(yùn)動，1t3時(shí)時(shí)做勻速運(yùn)動，做勻速運(yùn)動，3t6時(shí)也做加速運(yùn)動，時(shí)也做加速運(yùn)動，但加速度不同，也就是說但加速度不同，也就是說0t6時(shí)，時(shí)，v(t)為一個(gè)分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積為一個(gè)分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積分才能求出曲邊梯形的面積課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分(本題滿分本題滿分10分分)物體物體A以初速度為以初速度為2(速速度度v的單位：的單位：m/s)、加速度為、加速度為a(t)6t(t的單的單位：位：s)在一直線上運(yùn)動在此直線上

11、與物在一直線上運(yùn)動在此直線上與物體體A出發(fā)的同時(shí)，物體出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體在物體A的正前方的正前方5 m處以處以v10t1(t的單位：的單位：s，v的單位：的單位：m/s)的速度運(yùn)動的速度運(yùn)動(1)求物體求物體A的速度；的速度；(2)兩物體何時(shí)相遇？相遇地與物體兩物體何時(shí)相遇？相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是多少？的出發(fā)地的距離是多少？課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分解解：(1)設(shè)物體設(shè)物體A在時(shí)刻在時(shí)刻t的速度為的速度為v(t)，依題意有依題意有v(0)2， 2分分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分課堂互動講練課堂互動講練定積分與微積分規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)定積分與微積分規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)定積分與微積分2求定積分的常用技巧求定積分的常用技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分積分(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和分段積分再求和(