變化率與導(dǎo)數(shù)1

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一章第一章 ?.:,.?高度是多少高度是多少距水面的最大距水面的最大他他度度速速如何求他在某時刻的如何求他在某時刻的示示表表可用函數(shù)可用函數(shù)單位單位度度運(yùn)動員相對于水面的高運(yùn)動員相對于水面的高后后已知起跳已知起跳賽的瞬間賽的瞬間照片中鎖定了運(yùn)動員比照片中鎖定了運(yùn)動員比你看過高臺跳水比賽嗎你看過高臺跳水比賽嗎10569412 ttthmhs!,.化率與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)吧化率與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)吧開始變開始變題題讓我們從其中的兩個問讓我們從其中的兩個問隨處可見隨處可見豐富多彩的變化率問題豐富多彩的變化率問題1.1變化率與導(dǎo)數(shù)氣球膨脹率氣球膨脹率問題問題1?,.,.描述這種現(xiàn)象呢描述這種

2、現(xiàn)象呢如何如何從數(shù)學(xué)的角度從數(shù)學(xué)的角度的半徑增加得越來越慢的半徑增加得越來越慢氣球氣球增加增加隨著氣球內(nèi)空氣容量的隨著氣球內(nèi)空氣容量的可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)回憶一下吹氣球的過程回憶一下吹氣球的過程很多人都吹過氣球很多人都吹過氣球 ,):(:,334rrvdmrlv 之間的函數(shù)關(guān)系是位單與半徑單位氣球的體積我們知道 .,343vvrvr 那么的函數(shù)表示為體積如果把半徑 ,.,cmrrlv6200110 氣球半徑增加了時增加到從當(dāng)空氣容積 ./.ldmrr6200101 氣球的平均膨脹率為 ,.,dmrrll1601221 增加了氣球半徑時增加到當(dāng)空氣容量從類似地 ./.ldmrr1601212 氣球的

3、平均膨脹率為.,脹率逐漸變小了它的平均膨隨著氣球體積逐漸變大可以看出?,均膨脹率是多少均膨脹率是多少氣球的平氣球的平時時增加到增加到當(dāng)空氣的容量從當(dāng)空氣的容量從思考思考21vv高臺跳水高臺跳水問題問題2 .:,1056942 ttthstmh存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系單位單位與起跳后的時間與起跳后的時間單位單位面的高度面的高度運(yùn)動員相對于水運(yùn)動員相對于水在高臺跳水運(yùn)動中在高臺跳水運(yùn)動中人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)那么述其運(yùn)動狀態(tài)描時間內(nèi)的平均速度如果我們用運(yùn)動員某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 這段時間里在 ./.,smhhvt28121221 這段時間里在 ?:,狀態(tài)有什么問題嗎狀

4、態(tài)有什么問題嗎動動運(yùn)動員運(yùn)運(yùn)動員運(yùn)度描述度描述你認(rèn)為用平均速你認(rèn)為用平均速靜止的嗎靜止的嗎運(yùn)動員在這段時間里是運(yùn)動員在這段時間里是并思考下面的問題并思考下面的問題里的平均速度里的平均速度這段時間這段時間計算運(yùn)動員在計算運(yùn)動員在探究探究2149650 t ,.,1212211212xxxxxxchangeofrateaveragexxxfxxxfxfxf 即即表表示示用用習(xí)習(xí)慣慣上上的的到到從從數(shù)數(shù)我我們們把把這這個個式式子子稱稱為為函函示示表表式式子子那那么么問問題題中中變變化化率率可可用用表表示示函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系用用如如果果上上述述兩兩個個問問題題中中的的平均變化率平均變化率.,相乘相乘與與

5、而不是而不是是一個整體符號是一個整體符號xx .,;, 12211xfxffxxxxx 類似地類似地代替代替可用可用增量增量的一個的一個看作是相對于看作是相對于可把可把.,xf平平均均變變化化率率可可表表示示為為于于是是 ?,.表示什么表示什么變化率變化率平均平均圖圖的圖象的圖象觀察函數(shù)觀察函數(shù)思考思考1212111xxxfxfxfxf oxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .圖圖 ?,?,.).tan(.,時時的的瞬瞬時時速速度度是是多多少少比比如如度度呢呢如如何何求求運(yùn)運(yùn)動動員員的的瞬瞬時時速速那那么么度度在在某某時時刻刻的的瞬瞬時時速速她她他他度度不不一

6、一定定能能反反映映運(yùn)運(yùn)動動員員的的平平均均速速的的速速度度稱稱為為我我們們把把物物體體在在某某一一時時刻刻是是不不同同的的度度運(yùn)運(yùn)動動員員在在不不同同時時刻刻的的速速在在高高臺臺跳跳水水運(yùn)運(yùn)動動中中2 tvelociyeousins瞬時速度瞬時速度 .,.,;,.,.可以得到如下表格內(nèi)平均速度和區(qū)間計算區(qū)間之后在時當(dāng)之前在時當(dāng)?shù)粸橐部梢允秦?fù)值正值可以是是時間的改變量任意取一個時刻之前或之后在附近的情況我們先考察vtttttttttt 22222202200222 tthhvtt 2222220這段時間內(nèi)在時,ttt 113942.11394. t;.,.05113010 vt時當(dāng);.,.09

7、51130010 vt時當(dāng);.,.099511300010 vt時當(dāng);.,.09995113000010 vt時當(dāng);.,.0999951130000010 vt時當(dāng) 2222220 ththvtt這段時間內(nèi)在時,ttt113942. 11394. t;.,.14913010 vt時當(dāng);.,.1049130010 vt時當(dāng);.,.100491300010 vt時當(dāng);.,.10004913000010 vt時當(dāng);.,.1000049130000010 vt時當(dāng) ?,有什么樣的變化趨勢有什么樣的變化趨勢平均速度平均速度時時趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)觀察觀察vt0.,1132220 個確定的值平均速度都趨近于一

8、時一邊趨近于還是從大于的一邊從小于即無論時趨近于當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)tt./.,.,|,smttvt11322 時的瞬時速度是員在運(yùn)動因此時的瞬時速度就無限趨近于速度平均無限變小時時間間隔從物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時趨勢近于當(dāng)表示我們用為了表述方便vttththt .時的極限時的極限趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)是是我們稱確定值我們稱確定值022113tthth .,1132220 個確定的值平均速度都趨近于一時一邊趨近于還是從大于的一邊從小于即無論時趨近于當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)tt./.,.,|,smttvt11322 時的瞬時速度是員在運(yùn)動因此時的瞬時速度就無限趨近于速度平均無

9、限變小時時間間隔從物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時趨勢近于當(dāng)表示我們用為了表述方便vttththt .時的極限時的極限趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)是是我們稱確定值我們稱確定值022113tthth ?.?.示示處處的的瞬瞬時時變變化化率率怎怎樣樣表表在在函函數(shù)數(shù)的的瞬瞬時時速速度度怎怎樣樣表表示示運(yùn)運(yùn)動動員員在在某某時時刻刻探探究究0021xxxft .lim|xxfxxfyxfxxx0000 即即或或記作記作 ,limlim,derivativexxxfyxfxxfxxfxxxfyxx處的處的在在我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是在在函

10、數(shù)函數(shù)一般地一般地000000 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).|處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在關(guān)于自變量關(guān)于自變量表示函數(shù)表示函數(shù)00 xxyyxx .;:,求已知曲線的切線求已知曲線的切線二是二是數(shù)求速度和加速度數(shù)求速度和加速度體的路程關(guān)于時間的函體的路程關(guān)于時間的函一是根據(jù)物一是根據(jù)物導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生的兩類問題直接導(dǎo)致了的兩類問題直接導(dǎo)致了其中其中到的四類問題到的四類問題現(xiàn)為本章引言中提現(xiàn)為本章引言中提突出地表突出地表它們它們新的要求新的要求這些發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了這些發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了進(jìn)的發(fā)展進(jìn)的發(fā)展得了突飛猛得了突飛猛文等方面取文等方面取力學(xué)、航海、天力學(xué)、航海、天世紀(jì)世紀(jì)17.;,脹率脹率導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時膨?qū)?shù)就

11、是氣球的瞬時膨的的關(guān)于體積關(guān)于體積氣球半徑氣球半徑就是運(yùn)動員的瞬時速度就是運(yùn)動員的瞬時速度的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)于時間關(guān)于時間高度高度我們知道我們知道由導(dǎo)數(shù)的定義由導(dǎo)數(shù)的定義vrth.)pr(,的增長率等等的增長率等等的縮寫的縮寫產(chǎn)總值產(chǎn)總值效率、點(diǎn)密度、國內(nèi)生效率、點(diǎn)密度、國內(nèi)生如如的瞬時變化率的瞬時變化率導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物實(shí)際上實(shí)際上oducisticdomegrossgdp .,).(:,.,并并說說明明它它們們的的意意義義的的瞬瞬時時變變化化率率原原油油溫溫度度時時和和第第計計算算第第為為單單位位的的溫溫度度原原油油時時如如果果在在和和加加熱熱行行冷冷卻卻油油進(jìn)進(jìn)對對原原需需要要品品產(chǎn)產(chǎn)柴柴油油、塑塑膠膠等等各各種種不不同同將將原原油油精精煉煉為為汽汽油油、例例hhxxxxfcxh6280157120 ,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 xfxfxf22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時變化率時和第在第解 xxx152721527222 ,