函數(shù)展開成冪級數(shù)47878PPT課件

1、一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級級數(shù)數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn)(xRn其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項拉格朗日余項 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共23頁)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn為f (x) 的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) . 則稱當(dāng)x0

2、 = 0 時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) .1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共23頁定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), 0()U x則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要充要條件條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:.0)(limxRnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,00()xU xknkknxx

3、kxfxS)(!)()(000)(10()xU x設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共23頁定理定理2. 若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是唯一唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為2012( ),(, )nnf xaa xa xa xxR R 則112( )2;nnfxaa xna x)0(1fa22( )2!(1);nnfxan na x)0(!212fa ( )( )!;nnfxn a)0()(!1nnnfa 顯然結(jié)論成立 .)0(0fa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

4、結(jié)束 第4頁/共23頁二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知, 展開成冪級數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式0.的函數(shù)展開機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共23頁例例1. 將函數(shù)將函數(shù)xexf)(展開成 x 的冪級數(shù). 解解:由由 ( )( ),nxfxe( )(0)1 (0,1,),nfn1其收斂半徑

5、為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故231111,2!3!xnexxxxn nRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31x1!nxn故得級數(shù) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共23頁例例2. 將將xxfsin)(展開成 x 的冪級數(shù).解解: 由( )( )nfx )0()(nf得級數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為 ,R對任何有限數(shù) x , 其余項滿足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x515!x121

6、1(21)!( 1)nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,0351211113!5!(21)!( 1)nnnxxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共23頁242111cos1( 1)2!4!(2 )!nnxxxxn 類似可推出:),(x),(x35121111sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共23頁例例3. 將函將函數(shù)數(shù)mxxf)1 ()(展開成 x 的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf( )(0)(1)(2)(1),nfm mmmn于是得

7、級數(shù) mx12(1)2!m mx由于1limnnnaaRnmnn1lim1(1)(1)!nm mmnxn級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù) m, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共23頁11, )(xxF2(1)2!m mx(1)(1)!nm mmnxn11(1)(1)( )11(1)!nmmmnF xmxxn xmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F則推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為避免研究余項 , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為第10頁/共23頁)(xFm2

8、1(1)(2)( )112!mmmF xmxx)()1 (xFx21( )1mxF xmxx1mxm2(1)2!m mx(1)(1)!nm mmnxn(1)()!nmmnxn(1)(1)(1)!nmmnxn例例3 附注附注第11頁/共23頁2(1)2!m mx(1)(1)!nm mm nxn xmxm1)1 ()11(x稱為二項展開式二項展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時, 級數(shù)為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理二項式定理.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得 第12頁/共23頁對應(yīng)1,2121m的二項展開

9、式分別為xx21112421x364231x)11(x41 3 52 4 6 8x 111 x24231x3642531x)11(x41 3 5 72 4 6 8x x21111 x2x3x)11(x( 1)nnx x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 211( 11)1nxxxxx 第13頁/共23頁2. 間接展開法間接展開法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解: 因為21( 1)nnxxx )11(x把 x 換成2x211x2421( 1)nnxxx )11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù). 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

10、 結(jié)束 第14頁/共23頁例例5. 將函將函數(shù)數(shù))1ln()(xxf展開成 x 的冪級數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 域為.11x利用此題可得1111ln21( 1)2341nn 11x11x上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共23頁例例6. 將將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(

11、4421xx21231111 ()()()42!43!42xxx)(x的冪級數(shù). 2)4(!21x41()4!4x1)4(x3)4(!31x51()5!4x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共23頁例例7. 將將3412 xx展成 x1 的冪級數(shù). 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x22(1)2x(1)( 1)2nnnx 81141x22(1)4x(1)( 1)4nnnx nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共23頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.

12、函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x1,!nxn221x331x414x11) 1(nnxn式的函數(shù) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共23頁21( 1)(21)!nnxn xsinx!33x!55x77!xxcos1!22x!44x66!x2( 1)(2 )!nnxn mx)1 ( 1xm2!2) 1(xmm(1)(1)!nm mmnxn當(dāng) m = 1 時x11231( 1),nnxxxx ),(x),(x) 1, 1(x) 1,

13、1(x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共23頁思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)0)(xxf在處 “有泰勒級數(shù)” 與 “能展成泰勒級數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明, 0)(limxRnn前者無此要求.2. 如何求xy2sin的冪級數(shù) ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共23頁備用題備用題 1.將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 時, 此級數(shù)條件收斂,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共23頁)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2