矩陣的特征值和特征向量PPT精選文檔

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20211第三章第三章 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2 矩陣的對角化矩陣的對角化返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20212第1節(jié)方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20213axx定義定義3.1ann非零設(shè) 是 階方列向量x陣,如果存在 維數(shù)和滿足a稱特征值矩陣 的對應(yīng)于特征值是矩陣a的(eigenvalue)，稱x是(eigenvect的特征向量or)。3.1.13.1.1 特征值與特征向量的基本概念特征值與特征向量的基本

2、概念 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20214例例1211402324a1121x 2213x2a1驗(yàn)證x，x 是否是 的特征向量。解解1211140223241ax 363 113 231x 2211240213243ax624 是是不是不是返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20215命題命題1nn非零 維向量x是 階方陣 的的充分必要條件是：向量ax與特征向a量x共線。命題命題20kxaka（）如果x是矩陣 的對應(yīng)特征值 的特征向量，則也是 的對應(yīng)特征值 的特征向量。命題命題3矩陣矩陣a的任一特征向量所對應(yīng)的特征值是唯一的。的任一特征向量所對應(yīng)的特征值是唯一的。12

3、0 xaxaxx，x，120 xx1200 x （）x120返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20216axx()0ai x它有非零解的充分必要條件是它有非零解的充分必要條件是0ai即即1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa怎樣求矩陣怎樣求矩陣a的特征值與特征向量？的特征值與特征向量？. x實(shí)數(shù)非要零向量求與返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20217矩陣的特征方程和特征多項(xiàng)式定義矩陣的特征方程和特征多項(xiàng)式定義3.2a a的特征方程的特征方程a a的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式iaa a的特征矩陣的特征矩陣ia0ia特征方程的根稱為特征方程的根稱為a的的特征根特

4、征根，也稱為也稱為a的的特征值特征值。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20218求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣的特征值與特征向量的步驟 求矩陣求矩陣a a的特征方程的特征方程2.2.求特征方程的根，即特征值求特征方程的根，即特征值0ai3.對每個(gè)特征值對每個(gè)特征值i解方程組解方程組()0iaix求出該齊次線性方程組的通解，除去求出該齊次線性方程組的通解，除去0向量向量便得屬于便得屬于i的全部特征向量。的全部特征向量。()0i xa返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20219例例2：求矩陣的特征值和特征向量：求矩陣的特征值和特征向量211020413a解解a的特征多項(xiàng)

5、式為的特征多項(xiàng)式為211020413ai 21(2)43 22(2)(64)(2)(2) a的特征值為的特征值為2(1)(2) 1231,2 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202110110aix 當(dāng)時(shí)，解方程 （）111030414ai314rr23r 11101003012rr323rr101010000得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 0 1t（， ）1110kk 對應(yīng)于的全部特征向量為（）23220aix當(dāng)時(shí)，解方程 （）4112000411ai31rr41100000020113104 得基礎(chǔ)解得基礎(chǔ)解系系232對應(yīng)于的全部特征向量為2233230kkkk（ ， 不同時(shí)為 ）返

6、回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202111練習(xí)練習(xí):求下列矩陣的特征值和特征向量求下列矩陣的特征值和特征向量3113a解解a的特征多項(xiàng)式為311322(3)168 (2)(4)a的特征值為122,412當(dāng)時(shí)，1231012302xx 121200 xxxx12xx即111 對應(yīng)的特征向量可取為返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20211224當(dāng)時(shí)1231014304xx 12110110 xx 12xx 對應(yīng)的特征向量可取為21110kk1（）是對應(yīng)于 的全部特征向量220kk（）是對應(yīng)于 的全部特征向量返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/2021133.1.2

7、3.1.2 特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì) 定理定理1tnaa階方陣 與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值。定理定理21212121212122212012,;,;,.immiiiirrrmmmrnaiaxim11設(shè)方陣有互不相同的特征值， ， ，（）的基礎(chǔ)解系為， ，（， ， ， ）,則線性無關(guān)推論推論若若 n 階方陣有互不相同的特征值階方陣有互不相同的特征值12,m 則其對應(yīng)的特征向量則其對應(yīng)的特征向量12,mx xx線性無關(guān)線性無關(guān)。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/2021141212121122(),(), (1)(2),ijn nnnnnnnaaaaaatr a 設(shè)

8、 階方陣的n個(gè)特征值為重特征值按重?cái)?shù)算則有 （ ）定理定理3121211212(1),| ()()()()( 1)nnnnnnaia n 由于為 的特征值故 =證證12120,| ( 1)( 1),|nnnnaaa 令得即 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202115(2) 由于由于1112121222121122|,nnnnnnnnaaaaaaiaaaaaaa的行列式的展開中 主對角線的乘積 ()() ()11122()( 1) |nnnnaaaa n | i-a|=1nn是其中的一項(xiàng);再由行列式的定義可知:展開式中的其余項(xiàng)至多包含n-2個(gè)主對角線上的元素,因此| i-a|中含與

9、的項(xiàng)只能在主對角線元素乘積項(xiàng)中出現(xiàn),故有12112121121122| ()()()()( 1)nnnnnnnnniaaaa n =比較前的系數(shù)可得 =tr(a ) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202116定理定理4設(shè)設(shè) a 是是 n 階方陣，階方陣，01( ),mmaa ia aa a01( )mmaaa 是是( )a的特征值的特征值.若若 為為 a 的特征值，則的特征值，則返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/2021170011222222,mmmmxaa ixa xa axaxa a xa a xaaxaxa a xax證明：設(shè) 為 對應(yīng)于 的一個(gè)特征向量，則有(

10、 )( )( )( )a xxa 以上各式兩端求和，即是的特征值。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202118設(shè)設(shè) a 是一個(gè)三階矩陣，是一個(gè)三階矩陣，1，2，3是它的三個(gè)特征值，試求是它的三個(gè)特征值，試求（1） a的主的主 對角線元素之和對角線元素之和（2）a2(3)aai解解112233123aaa1236 123a 1 2 36 2aai的特征值依次為的特征值依次為1 1 13, 222 17, 233 113 23 7 13273aai 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202119試證試證 n 階矩陣階矩陣 a 是不可逆是不可逆(奇異奇異)矩陣的充要條件是矩陣的

11、充要條件是 a 中至少有一個(gè)特征值為中至少有一個(gè)特征值為0。證明證明因?yàn)橐驗(yàn)?212(,nna 為a的特征值的特征值）所以所以0a 的充分必要條件是至少有一個(gè)特征值的充分必要條件是至少有一個(gè)特征值為零為零。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202120第2節(jié)矩陣的對角化返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202121定定義義3.3 設(shè)設(shè) a和和b為為 n 階矩陣階矩陣,如果存在如果存在n 階可逆矩陣階可逆矩陣p，使得使得1p apb則稱則稱a相似于相似于b，或說，或說a和和b相似相似(similar) , 記做記做a b.b.性質(zhì)性質(zhì)（1）反身性）反身性 a相似于相似于a（2

12、） 對稱性對稱性 a相似于相似于b，可推出，可推出b相似于相似于a（3） 傳遞性傳遞性 a相似于相似于b，b相似于相似于c，可推出，可推出 a相似于相似于c。 3.2.1 3.2.1 相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202122容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1 1）反身性，即）反身性，即aa（2 2）對稱性，即如果）對稱性，即如果則則abba,（3 3）傳遞性，即如果）傳遞性，即如果ab,bc則則ac,1iaia證明證明1papb111()pbpa證明證明11 , papbqbqc1 ()()pqa pqc證明證明返回返

13、回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202123方陣的跡定義方陣的跡定義3.4ij11221a(a ),nn nnniiiaaaaa設(shè)方陣稱為 的跡，記作1( )niiitr aa方陣的跡是它的主對角線上的元素和方陣的跡是它的主對角線上的元素和061530942atr(a)=2+(-3)+0=-1性質(zhì)性質(zhì)： (1) tr(a+b)=tr(a)+tr(b) (2) tr(ab)=tr(ba) (性質(zhì)性質(zhì)3.1)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202124性質(zhì)性質(zhì)3.1 (2) 設(shè)設(shè)(),ijn saa()()tr abtr ba(),ijs nbb 則則證明證明1112121222

14、12ssnnnsaaaaaaaaa111212122212nnsssnbbbbbbbbb111212122212ssnnnsaaaaaaaaa111212122212nnsssnbbbbbbbbb()tr ab ()tr ba 1sijjija b1ni1njiijib a1sj 故故()()tr abtr ba返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202125相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì)若若a和和b相似，則相似，則 a和和b有相等的秩。有相等的秩。2.方陣方陣a和和b有相等的行列式有相等的行列式。(性質(zhì)3.2)1p apb1p apb1pa pb1bpp a1,bp ap p可逆。1p

15、 p aa證明（證明（1） 1p apb1()( )r p apr b( )( )r ar b返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/2021263.方陣方陣a和和b有相等的跡有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣方陣a和和b有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值。有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值。th51p apb1( )()tr btr p ap1()( )tr apptr a1p apbbi1p api1()pai p1pai pai推論推論如果矩陣如果矩陣a相似于一個(gè)對角矩陣，則對角相似于一個(gè)對角矩陣，則對角矩陣的主對角線上的元素就是矩陣的主對角線上的元素就是a的全部特的全部特征

16、值。征值。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202127易證易證對角形矩陣對角形矩陣12n 則則 12,n 是是 的全部特征值。的全部特征值。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202128定理3.6 n 階矩陣階矩陣a與與n 階對角矩陣相似的充階對角矩陣相似的充分必要條件是分必要條件是a有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量。12n 充分性充分性111,axx,nnanxx11 設(shè)的個(gè) 特 征 向 量線 性 無 關(guān) ，它 們 對 應(yīng) 的 特 征 值 分 別 是則nnnaxx,111()()nnna xxxx1()npxx記app1p ap 3.2.2 3.2.2 矩

17、陣的對角化矩陣的對角化 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202129必要性必要性設(shè)設(shè)a相似于對角矩陣相似于對角矩陣1nddd即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣b，使得，使得1b abd1(,)nbxx1b abdabbd11 1(,)(,)nnna xxd xd x11 1,nnnaxd xaxd x由由b可逆便知：可逆便知：1,nxx都是非零向量，因而都是都是非零向量，因而都是a的特征的特征向量，且向量，且1,nxx線性無關(guān)。線性無關(guān)。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202130推論如果如果n階矩陣階矩陣a的特征值的特征值1,n互不相同互不相同則則a相似于對角矩陣相似于對角

18、矩陣1n定理3.7n 階階 矩陣矩陣 a 與對角矩陣相似的充分必要條件與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個(gè)是對于每一個(gè) 重特征值重特征值 ,對應(yīng)著對應(yīng)著 個(gè)線個(gè)線性無關(guān)的特征向量性無關(guān)的特征向量.inini返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202131a121np ap 相似變換相似變換12()npxxx0aii解出特征值0iai xi求出基礎(chǔ)解系若若a有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量則個(gè)線性無關(guān)的特征向量則a相似于相似于對角陣對角陣返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202132110430102a 例例 矩陣矩陣 能否相似于對角陣能否相似于對角陣?解解a的特征方程為的特征方

19、程為110430102ea2(2)(1)得特征值為得特征值為1232,1返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202133對于對于231,解方程組解方程組解方程組解方程組()0ia x210420101ia1012100001312020 xxxx可求得特征向量可求得特征向量2( 1, 2,1) 23、是對應(yīng)于是對應(yīng)于 的全部特征向量的全部特征向量.2220kk（）不存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量不存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 由定理可知由定理可知a不能與對不能與對角陣相似角陣相似.231因?yàn)橐驗(yàn)?是二重根是二重根, 而對應(yīng)于特征根而對應(yīng)于特征根231返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/2

20、7/202134將一個(gè)方陣將一個(gè)方陣a對角化對角化,可以按可以按p88如下步驟進(jìn)行如下步驟進(jìn)行:12:| 0,.riaa 第一步 令求出 的全部特征值ii第二步:解( i-a)x=0(i=1,2, ,r),求出每個(gè)特征值對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系.1212121,(,):nnnpp ap 第三步:若如上求出a有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量令則有返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202135注注(1):若若a的全部線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)小于的全部線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)小于n 個(gè)個(gè),則不能對角化則不能對角化,此時(shí)此時(shí)a只能化為若當(dāng)標(biāo)只能化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形.ii(2):上式中和 的對應(yīng)關(guān)系以及矩陣p

21、中列向量的排列順序在無重根時(shí)不能顛倒.但一般p不唯一。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202136460350361a 例例 用相似變換化下列矩陣為對角陣用相似變換化下列矩陣為對角陣解解:a的特征方程為的特征方程為460350361ai 2(2)(1) 特征值為特征值為1232,1 對于對于12, 可求得特征向量可求得特征向量1( 1,1,1) 對于對于231可求得線性無關(guān)的特征向量可求得線性無關(guān)的特征向量23( 2,1,0) ,(0,0,1) 這三個(gè)特這三個(gè)特征向量線征向量線性無關(guān)性無關(guān)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202137123211110010p112011

22、0121p 1000000211p ap返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202138123213336a用相似變換化矩陣為對角形用相似變換化矩陣為對角形.111,110t 229,1 12t330,1 11t100090000 111111021p 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202139121np ap112mmmmnapp應(yīng)用應(yīng)用 :利用對角化計(jì)算矩陣的冪利用對角化計(jì)算矩陣的冪ma返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/20214032,34a設(shè)20a求解解:a的特征方程為的特征方程為3234ai276(1)(6)特征值為特征值為121,611對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量為1(1, 1)26對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量為2(2,3)1212,13p110,06p ap11006app202011006app2012103211306115，.例例7返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202141練習(xí)練習(xí) 已知已知 12012002aa 問問 滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)，a可對角化？可對角化？ a解解 首先首先 212| () ()ia所以，所以，a的特征值為的特征值為2（重?cái)?shù)為（重?cái)?shù)為1）和）和1（重?cái)?shù)為（重?cái)?shù)為2）。）。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄10/27/202142 考慮考慮 a的特