函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1PPT課件

1、 （一） 問(wèn)題的提出xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA若若 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b)上單調(diào)上升上單調(diào)上升)(xfy 若若 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b)上單調(diào)下降上單調(diào)下降)(xfy 0)( xf一 單調(diào)性的判別法第1頁(yè)/共32頁(yè)（二） 單調(diào)性的判別法定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 第2頁(yè)/共32頁(yè)證證),

2、(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 第3頁(yè)/共32頁(yè)例例1 1解解.20sin 上的單調(diào)性上的單調(diào)性，在在判斷函數(shù)判斷函數(shù)xxy . 0cos1 xy.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加123456123456第4頁(yè)/共32頁(yè)例例2 2解解. 的單調(diào)性的單調(diào)性判

3、斷函數(shù)判斷函數(shù)xeyx . 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注注1:1:要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(:D又又- 3- 2- 11232345注注2 2：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)第5頁(yè)/共32頁(yè)（三） 單調(diào)區(qū)間求法1、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)區(qū)間定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)若函數(shù)在其定義域的某

4、個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn).,)()(0)( 數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)的根及用方程xfxfxf2、單調(diào)區(qū)間的劃分第6頁(yè)/共32頁(yè)例例3 3解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x,

5、0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2第7頁(yè)/共32頁(yè)例例4 4解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 第8頁(yè)/共32頁(yè)（四） 單調(diào)性的應(yīng)用例例5

6、5證證.132,1成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx )1(111)(22 xxxxxxf則則, 0)(), 1(,), 1 )( xfxf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；故在故在), 1 ,0)1( f時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 xxxxf132)( 設(shè)設(shè)0)( xf.132 ,1成立成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx 第9頁(yè)/共32頁(yè)只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根。試試證證例例xx sin60:x觀察法解：先證存在性01cos)( xxfxxxf sin)(設(shè)設(shè)應(yīng)應(yīng)用用單單調(diào)調(diào)性性）再再證證唯唯一一性性第10頁(yè)/共32頁(yè)（五 ） 小結(jié)與思考判斷題1 函數(shù)單調(diào)性定義函數(shù)單調(diào)性定義2 函數(shù)單調(diào)性判定函數(shù)單調(diào)性判

7、定4 函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用證明不等式證明不等式證明根的唯一性證明根的唯一性3 單調(diào)區(qū)間的劃分單調(diào)區(qū)間的劃分第11頁(yè)/共32頁(yè)思考判斷題思考判斷題 2 若若 ，則則 在在原原點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分小小的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增0)( xf)(xf1 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,影響區(qū)間的單調(diào)性影響區(qū)間的單調(diào)性.3 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是單調(diào)函數(shù)。第12頁(yè)/共32頁(yè)二二 曲線的凹凸性曲線的凹凸性（一（一 ） 復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識(shí)（二）（二） 授課內(nèi)容授課內(nèi)容：1、凹凸性定義、凹凸性定義2、拐點(diǎn)及其求法、拐點(diǎn)及其求法 （三）（三） 小結(jié)與思

8、考判斷題小結(jié)與思考判斷題凹凸拐點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)第13頁(yè)/共32頁(yè)（一）（一） 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方221xx 221xx )2(21xxf)2(21xxf2)()(21xfxf2)()(21xfxfABMN第14頁(yè)/共32頁(yè);),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點(diǎn)兩點(diǎn)內(nèi)任意內(nèi)任意如果對(duì)如果對(duì)內(nèi)

9、連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba （二）曲線凹凸的定義（二）曲線凹凸的定義第15頁(yè)/共32頁(yè)xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA凹?。喊蓟。呵€上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的下方。曲線上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的下方。凸?。和够。?曲線上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的上方。曲線上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的上方。車軌第16頁(yè)/共32頁(yè)( (三三) ) 曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(

10、xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 第17頁(yè)/共32頁(yè)分析分析：任取兩點(diǎn)任取兩點(diǎn))(,2121xxxx 證明：證明：1）要證要證2)()()2(2121xfxfxxf 即證即證0)2()()2()(212211 xxfxfxxfxf2)()2)()2()(),2,(21121112112111xxf

11、xxxfxxfxfxxx 2)()2)()2()(),2(12221222122212xxfxxxfxxfxfxxx 第18頁(yè)/共32頁(yè)兩式相加為兩式相加為：2)()()2()()2()(1212212211xxffxxfxfxxfxf 即證：即證：)( 0)()(2112 ff事實(shí)上事實(shí)上：),( )()()(2112 fff而而0)( f同理可證明同理可證明2）第19頁(yè)/共32頁(yè)例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0

12、 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,放大圖象第20頁(yè)/共32頁(yè)(四) 曲線的拐點(diǎn)及其求法1 1 定義定義注注1:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線處穿過(guò)曲線.)()( 點(diǎn)點(diǎn)的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)叫叫做做曲曲線線的的拐拐凹凹弧弧與與凸凸弧弧）的的圖圖形形上上凸凸弧弧與與凹凹弧?。ㄉ仙线B連續(xù)續(xù)，我我們們把把在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfyIxf .)(,200不不同同于于極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的表表示示來(lái)來(lái)表表示示的的，、拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是用用坐坐標(biāo)標(biāo)（注注xfx第21頁(yè)/共32頁(yè)定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內(nèi)存在二階導(dǎo)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)數(shù), ,

13、則點(diǎn)則點(diǎn) )(,00 xfx是拐點(diǎn)的必要條件是是拐點(diǎn)的必要條件是0)(0 xf. .證證2 2 拐點(diǎn)的必要條件拐點(diǎn)的必要條件時(shí)時(shí)，圖圖形形是是凹凹弧弧，當(dāng)當(dāng)即即對(duì)對(duì)分分界界點(diǎn)點(diǎn)的的不不妨妨設(shè)設(shè)它它是是凹凹弧弧與與凸凸弧弧是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)000),(.,)(,(xxbaxxfx . 0)( xf遞遞增增；所所以以)(xf 時(shí)時(shí)，圖圖形形是是凸凸弧弧，當(dāng)當(dāng)0 xx .)(遞遞減減所所以以xf .)(的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)遞遞減減的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)，也也就就是是xf 遞遞增增與與是是函函數(shù)數(shù)因因此此點(diǎn)點(diǎn))(0 xfx 由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件，由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件，第22頁(yè)/共32頁(yè);)(,(,)()3

14、(000即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 3 3 拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法步驟：步驟：);()1(xf 求求0, 0)()2(xxf點(diǎn)點(diǎn)找找出出實(shí)實(shí)根根和和二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)令令 .)()(,(,)(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在注意：若注意：若xfyxfxxf 第23頁(yè)/共32頁(yè)例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x

15、)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(第24頁(yè)/共32頁(yè)).,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為第25頁(yè)/共32頁(yè).)(,)(32間間和和拐拐點(diǎn)點(diǎn)和和極極值值點(diǎn)點(diǎn)，以以及及凹凹凸凸區(qū)區(qū)增增減減的的區(qū)區(qū)間間求求、設(shè)設(shè)例例xfexfyx ），由由，解解：函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉椋?;0, 0212 xyxeyx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)及及22, 0),12(23,222 xyxeyx得得及及-2-1120.20.40.60.81第26頁(yè)/共32頁(yè)x),22()22, 0(0)(xf )(xf 00凹、降凹、降凸、降凸、降拐點(diǎn)拐點(diǎn)22)(xf 極大極大值值 212 e2 x)(xf )(xf)(xf )22,( 0拐點(diǎn)拐點(diǎn)22 212 e )0 ,22( 002 凹、凹、升升凸、凸、升升第27頁(yè)/共32頁(yè)例例4 4.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy 第