四邊形輔助線

1、添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形 . 在解決一些和四邊形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往需要添加輔助線 .下面介紹一 些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見(jiàn)的特殊四邊形之一， 它有許多可以利用性質(zhì)，為 了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形 .1利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1,已知點(diǎn)0是平行四邊形ABCD勺對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊 形OCD是平行四邊形.求證:0E與AD互相平分.分析：因?yàn)樗倪呅蜲CD是平行四邊形，所以O(shè)C/ED,OC二DE又由0 是AC的中點(diǎn)，得出AO/ED,AO二ED則四邊形AODE是平行四

2、邊形，問(wèn)題 得證.證明：連結(jié)AE 0D因?yàn)槭撬倪呅蜲CD是平行四邊形，所以O(shè)C/DE OC=DE因?yàn)?是AC的中點(diǎn)，所以 A0/ED, AO=ED 所以四邊形AODE平行四邊形，所以AD與 0E互相平分.說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的 性質(zhì)有關(guān)，可試通過(guò)添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.2.利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例 2 如圖 2,在厶 ABC中, E、F 為 AB上兩點(diǎn)，AE=BF ED/AC, FG/AC 交BC分別為D, G.求證:ED+FG二AC.分析：要證明ED+FG二AC因?yàn)镈E/AC,可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC然后根據(jù)

3、三角形全等，證明FG=AH.證明：過(guò)點(diǎn)E作EH/BC,交AC于 H,因?yàn)镋D/AC,所以四邊形CDEH 是平行四邊形，所以 ED=HC又 FG/AC,EH/BC,所以/ AEH2 B, / A= / BFG又 AE=BF所以厶 AEHA FBG, 所以 AH=FG所以 FG+DE=AH+HC=AC.說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)， 可通過(guò)作平行線構(gòu)造另一組 對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問(wèn)題.3.利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知AD> ABC的中線，BE交AC于 E,交AD于F,且 AE=EF求證 BF=AC.分析：要證明BF=AC 一種方法是將BF和AC變換到同一個(gè)三

4、角形中， 利用等邊對(duì)等角；另一種方法是通過(guò)等量代換，尋找和 BF、AC相等 的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形.證明：延長(zhǎng)AD到G,使DG=AD連結(jié)BG CG因?yàn)锽D=CD所以四邊形ABG（是平行四邊形，所以AC=BGAC/BG,所以/仁/4,因?yàn)锳E=EF所以/仁/2,又/ 2=2 3, 所以/仁2 4,所以BF=BG=AC.說(shuō)明：本題通過(guò)利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法.A圖3圖4二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的 判定定理或性質(zhì)定定理解決問(wèn)題.例4如圖5

5、,在厶ABC中, / ACB=90 , / BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC EF/BC交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形 CDEF 是菱形.分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判 定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形， 二是證明對(duì)角線互相垂 直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是/ BAC的平分線，AE=AC可通過(guò) 連接CE構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明 AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點(diǎn)0,由AC=AE得厶ACE是等腰三角形, 因?yàn)锳0平分/ CAE所以ACL CE且0C=0JE因?yàn)镋F/CD,所以/仁/2,又因?yàn)? E0F2 C0D

6、所以 DOC可以看成由厶FOE繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)而成, 所以O(shè)F=OD所以CE DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形. 例5如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長(zhǎng).分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長(zhǎng)，可以通過(guò)連結(jié)菱形的對(duì)角 線BD,借助菱形的對(duì)角線互相垂直平分得到 DF=BF然后結(jié)合三角形 兩邊之和大于第三邊解決問(wèn)題.證明：連結(jié)BD DF.因?yàn)锳G BD是菱形的對(duì)角線，所以AC垂直BD且平分BD所以 BF=DF 所以 EF+BF二EF+DFDE當(dāng)且僅當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到DE與 AC的交點(diǎn)G處時(shí)，上式等號(hào)成立，所以EF+BF 的最小值

7、恰好等于DE的長(zhǎng).圖6說(shuō)明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題 作輔助線的不是很多，常見(jiàn)的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高;（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線構(gòu) 造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題；（2）證明或探索題，一般連結(jié) 矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題.和矩形有關(guān)的試題 的輔助線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 ABCD點(diǎn)，PA=3 PB=4 PC=5求PD的 長(zhǎng).分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦?ABCD可過(guò)P分別作兩組對(duì)邊的 平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題.解：過(guò)點(diǎn)P

8、分別作兩組對(duì)邊的平行線 EF、GH交 AB于E,交CD于 F, 交BC于點(diǎn)H,交AD于G.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以 pF2二cHkPdPH2, dF二aE二aP-ep2, pH+pE二bP,所以 PD2=P(2-PH2+A-EP2=P(C+A-PB2=52+32-4 2=18,所以PD=3 2.圖7說(shuō)明：本題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過(guò)作平行線構(gòu)造 四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對(duì)角線得到直角三角形，利用勾股定理找到 PD與 PA PB PC之間的關(guān)系，進(jìn)而求到 PD的長(zhǎng).四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱 圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解

9、決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線， 作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線.例7如圖8,過(guò)正方形ABCD勺頂點(diǎn)B作BE/AC,且AE=AC又 CF/AE.丄求證：/ BCF=2 / AEB.分析：由BE/AC, CF/AE, AE=AC可知四邊形AEFC是菱形，作AHI BE于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形 AHBO是正方形，從1AH=OB=AC 可算出/ E二/ACF=30，/ BCF=15 .證明：連接BD交AC于Q 作AHL BE交BE于H.在正方形 ABCD中, ACL BD AQ=BQ又 BE/AC, AHL BE 所以 BQL AC1所以四邊形AQBH為正方形，所以AH=AQiA

10、C因?yàn)?AE=AC 所以/ AEH=30 ,因?yàn)?BE/AC, AE/CF,所以ACFE是菱形，所以/ AEF玄ACF=30 ,因?yàn)锳C是正方形的對(duì)角線，所以/ ACB=45 ,所以/ BCF=15，所以/ BCF=2 / AEB.說(shuō)明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性 質(zhì).通過(guò)連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形 AHBQ進(jìn)一步得到菱形，借 助菱形的性質(zhì)解決問(wèn)題.五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1） 作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu) 造矩形和直角三角形；（3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和

11、 平行四邊形；（4）延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例 8 已知，如圖 9,在梯形 ABCD, AD/BC, AB二AC/ BAC=90 , BD=BC BD交 AC于點(diǎn) 0.求證：CQ=CD.分析：要證明CO=C,可證明/ CODMCDO由于已知/ BAC=90 , 所以可通過(guò)作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.證明：過(guò)點(diǎn)A D分別作AEL BC DF丄BC,垂足分別是E、F,貝卩四邊形 AEFD為矩形，因?yàn)?AE=DF AB二AC AEL BC / BAC=90 ,1 1所以 AE=BE=CE=BC / ACB=45，所以 AE=DF ,又 DF1 BC 所以在 R

12、t DFB中 , / DBC=30 ,180 -. DBC ”75又 BD=BC 所以/ BDCh BCD= 2,所以/ DOCK DBC# ACB=30 +45° =75° .所以/ BDC# DOC 所以 C0=CD.圖9說(shuō)明：在證明線段相等時(shí)，一般利用等角對(duì)等邊來(lái)證明，本題作梯 形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形， 進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識(shí)解 決.例 9 如圖 10 ,在等腰梯形 ABC沖，AD/BC, ACLBD AD+BC=10 DEI BC于 E.求 DE的長(zhǎng).分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過(guò)平移一條對(duì)角線，把梯形轉(zhuǎn)化 為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決.

13、解：過(guò)點(diǎn)D作DF/AC ,交BC的延長(zhǎng)線于F,則四邊形ACFD為平行 四邊形，所以AC=DFAD=CF因?yàn)樗倪呅蜛BC場(chǎng)等腰梯形，所以AC=DB 丄 1丄BD=FD 因?yàn)?DEI BC 所以 BE=EF2 BF=2 (BC+CF)=2 (BC+AD)=2 x 10=5.因?yàn)?AC/DF,BD丄 AC所以 BDL DF,因?yàn)锽E=FE所以DE二BE二EF二即DE的長(zhǎng)為5.圖10說(shuō)明：當(dāng)有對(duì)角線或垂直成梯形時(shí)，常作梯形對(duì)角線的平行線，構(gòu)造 平行四邊形，等腰三角形或直角三角形來(lái)解決.六、和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11,在四邊形ABCD，AC于 BD交于點(diǎn)0, AC=BD E、F 分別是AB CD中點(diǎn)，EF分別交AC BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH. 分析：欲證OG=OH而OG OH