四邊形輔助線

1、添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形 . 在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線 .下面介紹一 些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一， 它有許多可以利用性質，為 了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形 .1利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例1如圖1,已知點0是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點，四邊 形OCD是平行四邊形.求證:0E與AD互相平分.分析：因為四邊形OCD是平行四邊形，所以OC/ED,OC二DE又由0 是AC的中點，得出AO/ED,AO二ED則四邊形AODE是平行四

2、邊形，問題 得證.證明：連結AE 0D因為是四邊形OCD是平行四邊形，所以OC/DE OC=DE因為0是AC的中點，所以 A0/ED, AO=ED 所以四邊形AODE平行四邊形，所以AD與 0E互相平分.說明：當已知條件中涉及到平行，且要求證的結論中和平行四邊形的 性質有關，可試通過添加輔助線構造平行四邊形.2.利用兩組對邊平行構造平行四邊形例 2 如圖 2,在厶 ABC中, E、F 為 AB上兩點，AE=BF ED/AC, FG/AC 交BC分別為D, G.求證:ED+FG二AC.分析：要證明ED+FG二AC因為DE/AC,可以經(jīng)過點E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC然后根據(jù)

3、三角形全等，證明FG=AH.證明：過點E作EH/BC,交AC于 H,因為ED/AC,所以四邊形CDEH 是平行四邊形，所以 ED=HC又 FG/AC,EH/BC,所以/ AEH2 B, / A= / BFG又 AE=BF所以厶 AEHA FBG, 所以 AH=FG所以 FG+DE=AH+HC=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時， 可通過作平行線構造另一組 對邊平行，得到平行四邊形解決問題.3.利用對角線互相平分構造平行四邊形例3如圖3,已知AD> ABC的中線，BE交AC于 E,交AD于F,且 AE=EF求證 BF=AC.分析：要證明BF=AC 一種方法是將BF和AC變換到同一個三

4、角形中， 利用等邊對等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和 BF、AC相等 的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構造平行四邊形.證明：延長AD到G,使DG=AD連結BG CG因為BD=CD所以四邊形ABG（是平行四邊形，所以AC=BGAC/BG,所以/仁/4,因為AE=EF所以/仁/2,又/ 2=2 3, 所以/仁2 4,所以BF=BG=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構造平行四邊形，實際上是采用了平移法構造平行四邊形當已知中點或中線應思考這種方法.A圖3圖4二、和菱形有關的輔助線的作法和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的 判定定理或性質定定理解決問題.例4如圖5

5、,在厶ABC中, / ACB=90 , / BAC的平分線交BC于點D,E是AB上一點，且AE=AC EF/BC交AD于點F,求證：四邊形 CDEF 是菱形.分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判 定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形， 二是證明對角線互相垂 直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是/ BAC的平分線，AE=AC可通過 連接CE構造等腰三角形，借助三線合一證明 AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結CE交AD于點0,由AC=AE得厶ACE是等腰三角形, 因為A0平分/ CAE所以ACL CE且0C=0JE因為EF/CD,所以/仁/2,又因為/ E0F2 C0D

6、所以 DOC可以看成由厶FOE繞點0旋轉而成, 所以OF=OD所以CE DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形. 例5如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC 上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結菱形的對角 線BD,借助菱形的對角線互相垂直平分得到 DF=BF然后結合三角形 兩邊之和大于第三邊解決問題.證明：連結BD DF.因為AG BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD所以 BF=DF 所以 EF+BF二EF+DFDE當且僅當F運動到DE與 AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF 的最小值

7、恰好等于DE的長.圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關證明題或計算題 作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高;（2）連結菱形的對角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構 造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結 矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題 的輔助線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 ABCD點，PA=3 PB=4 PC=5求PD的 長.分析：要利用已知條件，因為矩形 ABCD可過P分別作兩組對邊的 平行線，構造直角三角形借助勾股定理解決問題.解：過點P

8、分別作兩組對邊的平行線 EF、GH交 AB于E,交CD于 F, 交BC于點H,交AD于G.因為四邊形ABCD是矩形，所以 pF2二cHkPdPH2, dF二aE二aP-ep2, pH+pE二bP,所以 PD2=P(2-PH2+A-EP2=P(C+A-PB2=52+32-4 2=18,所以PD=3 2.圖7說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構造 四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到 PD與 PA PB PC之間的關系，進而求到 PD的長.四、與正方形有關輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱 圖形，有關正方形的試題較多.解

9、決正方形的問題有時需要作輔助線， 作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.例7如圖8,過正方形ABCD勺頂點B作BE/AC,且AE=AC又 CF/AE.丄求證：/ BCF=2 / AEB.分析：由BE/AC, CF/AE, AE=AC可知四邊形AEFC是菱形，作AHI BE于H,根據(jù)正方形的性質可知四邊形 AHBO是正方形，從1AH=OB=AC 可算出/ E二/ACF=30，/ BCF=15 .證明：連接BD交AC于Q 作AHL BE交BE于H.在正方形 ABCD中, ACL BD AQ=BQ又 BE/AC, AHL BE 所以 BQL AC1所以四邊形AQBH為正方形，所以AH=AQiA

10、C因為 AE=AC 所以/ AEH=30 ,因為 BE/AC, AE/CF,所以ACFE是菱形，所以/ AEF玄ACF=30 ,因為AC是正方形的對角線，所以/ ACB=45 ,所以/ BCF=15，所以/ BCF=2 / AEB.說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質，又涉及到菱形的性 質.通過連接正方形的對角線構造正方形 AHBQ進一步得到菱形，借 助菱形的性質解決問題.五、與梯形有關的輔助線的作法和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1） 作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構 造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構造直角三角形和

11、 平行四邊形；（4）延長兩腰構成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例 8 已知，如圖 9,在梯形 ABCD, AD/BC, AB二AC/ BAC=90 , BD=BC BD交 AC于點 0.求證：CQ=CD.分析：要證明CO=C,可證明/ CODMCDO由于已知/ BAC=90 , 所以可通過作梯形高構造矩形，借助直角三角形的性質解決問題.證明：過點A D分別作AEL BC DF丄BC,垂足分別是E、F,貝卩四邊形 AEFD為矩形，因為 AE=DF AB二AC AEL BC / BAC=90 ,1 1所以 AE=BE=CE=BC / ACB=45，所以 AE=DF ,又 DF1 BC 所以在 R

12、t DFB中 , / DBC=30 ,180 -. DBC ”75又 BD=BC 所以/ BDCh BCD= 2,所以/ DOCK DBC# ACB=30 +45° =75° .所以/ BDC# DOC 所以 C0=CD.圖9說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯 形的高將梯形轉化為矩形和直角三角形， 進而根據(jù)直角三角形知識解 決.例 9 如圖 10 ,在等腰梯形 ABC沖，AD/BC, ACLBD AD+BC=10 DEI BC于 E.求 DE的長.分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉化 為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決.

13、解：過點D作DF/AC ,交BC的延長線于F,則四邊形ACFD為平行 四邊形，所以AC=DFAD=CF因為四邊形ABC場等腰梯形，所以AC=DB 丄 1丄BD=FD 因為 DEI BC 所以 BE=EF2 BF=2 (BC+CF)=2 (BC+AD)=2 x 10=5.因為 AC/DF,BD丄 AC所以 BDL DF,因為BE=FE所以DE二BE二EF二即DE的長為5.圖10說明：當有對角線或垂直成梯形時，常作梯形對角線的平行線，構造 平行四邊形，等腰三角形或直角三角形來解決.六、和中位線有關輔助線的作法例10如圖11,在四邊形ABCD，AC于 BD交于點0, AC=BD E、F 分別是AB CD中點，EF分別交AC BD于點H、G.求證：OG=OH. 分析：欲證OG=OH而OG OH