利用定積分求簡單幾何體的體積PPT課件

1、1（一）、復習：（1）、求曲邊梯形面積的方法是什么？ (2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ （二）新課探析 yf xx問題：求函數(shù)，x=a,x=bx=a,x=b圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積。第1頁/共11頁2 設(shè)由曲線yf(x)，直線xa，xb與x軸圍成的平面圖形(如圖甲繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V.思考： 1簡單幾何體的體積計算第2頁/共11頁3 在區(qū)間a，b內(nèi)插入n1個分點，使ax0 x1x2xn1xn1，把曲線yf(x)，axb分割成n個垂直于x軸的“小長條”，如圖甲所示設(shè)第i個“小長條”的寬是xixixi1，i1,2，n.這個“小長條

2、”繞x軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是xi的小圓片，如圖乙所示當xi很小時，第i個小圓片近似于底面半徑y(tǒng)if(xi)的小圓柱，因此第i個小圓臺體積Vi近似為Vif2(xi)xi. 該幾何體的體積V等于所有小圓柱的體積和Vf2(x1)x1f2(x2)x2f2(xi)xif2(xn)xn 這個問題是積分問題，則有第3頁/共11頁4 (1)找準母線的表達式及被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定了被積函數(shù) (2)分清端點 (3)確定幾何體的構(gòu)造 (4)利用定積分進行體積表示2利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積問題的關(guān)鍵在于3一個以y軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積 yabox)(ygx第4頁/共11頁5例

3、1、求由曲線142 xxy,所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 例題研究 2410 dxxVxyox=1xy42 第5頁/共11頁6xye0 x 12x xx)(12e變式練習1 1、求曲線，直線， 與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。答案：例2 2、如圖，是常見的冰激凌的形狀，其下方是一個圓錐，上方是由一段拋物線弧繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所成的形狀，尺寸如圖所示，試求其體積。第6頁/共11頁7分析：解此題的關(guān)鍵是如何建立數(shù)學模型。將其軸截面按下圖位置放置，并建立坐標系。則A，B坐標可得，再求出直線AB和拋物線方程， “冰激凌”可看成是由拋物線弧OB和線段AB繞X軸旋轉(zhuǎn)一周形成的。

4、 ),(012A),( 44Bpxy22解：將其軸截面按下圖位置放置，并建立如圖的坐標系。則， ，設(shè)拋物線弧OA所在的拋物線方程為：， 第7頁/共11頁8),( 44B2pxy420y代入求得：拋物線方程為：（）12 qyx),( 44B2q621xy設(shè)直線ABAB的方程為：，代入求得：直線ABAB的方程為：所求“冰激凌”的體積為： 3401242232246212)()()(cmdxxdxx第8頁/共11頁9變式引申變式引申:某電廠冷卻塔外形如圖所示某電廠冷卻塔外形如圖所示,雙曲線的一部分雙曲線的一部分繞其中軸繞其中軸(雙曲線的虛軸雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A,A

5、是是雙曲線的頂點，雙曲線的頂點，C,C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B,B 是下底直徑的兩個端點，已知是下底直徑的兩個端點，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高塔高20m.(1)建立坐標系，并寫出該曲線方程建立坐標系，并寫出該曲線方程(2)求冷卻塔的容積（精確到求冷卻塔的容積（精確到10m3塔壁厚度不計，塔壁厚度不計， 取取3.14）22xy114998( )8822121212 Vx dyy49 dy2( )()第9頁/共11頁10課堂小結(jié)：1.1.求體積的過程就是對定積分概念的進一步理解過程，總結(jié)求繞x x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積步驟如下： 1 1）先求出 yf x 2baVfx dx2 2）代