高中物理中的臨界與極值問題

1、 高中物理中的臨界與極值問題寶雞文理學(xué)院附中 何治博一、臨界與極值概念 所謂物理臨界問題是指各種物理變化過程中，隨著條件的逐漸變化，數(shù)量積累達(dá)到一定程度就會引起某種物理現(xiàn)象的發(fā)生，即從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的變化（如全反射、光電效應(yīng)、超導(dǎo)現(xiàn)象、線端小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動臨界速度等），這種物理現(xiàn)象恰好發(fā)生（或恰好不發(fā)生）的過度轉(zhuǎn)折點(diǎn)即是物理中的臨界狀態(tài)。與之相關(guān)的臨界狀態(tài)恰好發(fā)生（或恰好不發(fā)生）的條件即是臨界條件，有關(guān)此類條件與結(jié)果研究的問題稱為臨界問題，它是哲學(xué)中所講的量變與質(zhì)變規(guī)律在物理學(xué)中的具體反映。極值問題則是指物理變化過程中，隨著條件數(shù)量連續(xù)漸變越過臨界位置時或條件數(shù)量連續(xù)漸

2、變?nèi)∵吔缰担ㄒ卜Q端點(diǎn)值）時，會使得某物理量達(dá)到最大（或最?。┑默F(xiàn)象，有關(guān)此類物理現(xiàn)象及其發(fā)生條件研究的問題稱為極值問題。臨界與極值問題雖是兩類不同的問題，但往往互為條件，即臨界狀態(tài)時物理量往往取得極值，反之某物理量取極值時恰好就是物理現(xiàn)象發(fā)生轉(zhuǎn)折的臨界狀態(tài)，除非該極值是單調(diào)函數(shù)的邊界值。因此從某種意義上講，這兩類問題的界線又顯得非常的模糊，并非涇渭分明。高中物理中的臨界與極值問題，雖然沒有在教學(xué)大綱或考試說明中明確提出，但近年高考試題中卻頻頻出現(xiàn)。從以往的試題形式來看，有些直接在題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給出了明確的暗示，審題時，要抓住這些特

3、定的詞語發(fā)掘其內(nèi)含的物理規(guī)律，找出相應(yīng)的臨界條件。也有一些臨界問題中并不顯含上述常見的“臨界術(shù)語”，具有一定的隱蔽性，解題靈活性較大，審題時應(yīng)力圖還原習(xí)題的物理情景，周密討論狀態(tài)的變化?？捎脴O限法把物理問題或物理過程推向極端，從而將臨界狀態(tài)及臨界條件顯性化；或用假設(shè)的方法，假設(shè)出現(xiàn)某種臨界狀態(tài)，分析物體的受力情況及運(yùn)動狀態(tài)與題設(shè)是否相符，最后再根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行處理；也可用數(shù)學(xué)函數(shù)極值法找出臨界狀態(tài)，然后抓住臨界狀態(tài)的特征，找到正確的解題方向。從以往試題的內(nèi)容來看，對于物理臨界問題的考查主要集中在力和運(yùn)動的關(guān)系部分，對于極值問題的考查則主要集中在力學(xué)或電學(xué)等權(quán)重較大的部分。二、常見臨界狀態(tài)及極值

4、條件 解答臨界與極值問題的關(guān)鍵是尋找相關(guān)條件，為了提高解題速度，可以理解并記住一些常見的重要臨界狀態(tài)及極值條件：1.雨水從水平長度一定的光滑斜面形屋頂流淌時間最短屋面傾角為2.從長斜面上某點(diǎn)平拋出的物體距離斜面最遠(yuǎn)速度與斜面平行時刻3.物體以初速度沿固定斜面恰好能勻速下滑（物體沖上固定斜面時恰好不再滑下）=tg。4.物體剛好滑動靜摩擦力達(dá)到最大值。5.兩個物體同向運(yùn)動其間距離最大（最?。﹥晌矬w速度相等。6.兩個物體同向運(yùn)動相對速度最大（最?。﹥晌矬w加速度相等。7.位移一定的先啟動后制動分段運(yùn)動，在初、末速及兩段加速度一定時欲使全程歷時最短中間無勻速段（位移一定的先啟動后制動分段勻變速運(yùn)動，在初

5、速及兩段加速度一定時欲使動力作用時間最短到終點(diǎn)時末速恰好為零）8.兩車恰不相撞后車追上前車時兩車恰好等速。9.加速運(yùn)動的物體速度達(dá)到最大恰好不再加速時的速度。10.兩接觸的物體剛好分離兩物體接觸但彈力恰好為零。11.物體所能到達(dá)的最遠(yuǎn)點(diǎn)直線運(yùn)動的物體到達(dá)該點(diǎn)時速度減小為零（曲線運(yùn)動的物體軌跡恰與某邊界線相切）12.在排球場地3米線上方水平擊球欲成功的最低位置既觸網(wǎng)又壓界13.木板或傳送帶上物體恰不滑落物體到達(dá)末端時二者等速。14.線（桿）端物在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動恰能到圓周最高點(diǎn)最高點(diǎn)繩拉力為零（）15.豎直面上運(yùn)動的非約束物體達(dá)最高點(diǎn)豎直分速度為零。16.細(xì)線恰好拉直細(xì)線繃直且拉力為零。17.

6、已知一分力方向及另一分力大小的分解問題中若第二分力恰為極小兩分力垂直。18.動態(tài)力分析的“兩變一恒”三力模型中“雙變力”極小兩個變力垂直。19.欲使物體在兩個力的作用下，沿與成銳角的直線運(yùn)動，已知為定值，則最小時即恰好抵消在垂直速度方向的分力。20.渡河中時間最短船速垂直于河岸，即船速與河岸垂直（相當(dāng)于靜水中渡河）。21.船速大于水速的渡河中航程最短“斜逆航行”且船速逆向上行分速度與水速抵消。22.船速小于水速的渡河中航程最短“斜逆航行”且船速與合速度垂直。23.“圓柱體”滾上臺階最省力使動力臂達(dá)最大值2r。24.機(jī)車從靜止勻加速啟動過程持續(xù)的最長時間25.損失動能最小（大）的碰撞完全彈性（完

7、全非彈性）碰撞。26.簡諧運(yùn)動速度最大位移（恢復(fù)力、加速度）為零。27.受迫振動振幅恰好達(dá)最大驅(qū)動力的頻率與振動系統(tǒng)的固有頻率相等。28.兩個同相相干波源連線上振幅最大的點(diǎn)兩邊距連線中點(diǎn)；反相波源時 n=0,1,2,329.只有機(jī)械能與電勢能相互轉(zhuǎn)化時，重力勢能與電勢能之和最小時，動能最大。30.粒子恰不飛出勻強(qiáng)磁場圓形軌跡與磁場邊界相切。31.純電阻負(fù)載時電源輸出功率最大內(nèi)外電阻阻值相等。32.滑動變阻器對稱式接法中阻值達(dá)最大滑至中點(diǎn)。33.傾斜安放的光滑導(dǎo)軌上的通電導(dǎo)體棒靜止時，所加勻強(qiáng)磁場方向若垂直于斜面的情況下磁感強(qiáng)度最小。34.光從介質(zhì)射向空氣時恰不射出入射角等于臨界角。35.剛好發(fā)

8、生光電效應(yīng)入射光頻率等于極限頻率。36.帶電粒子恰好被速度選擇器選中（霍爾效應(yīng)、等離子發(fā)電）電場力與洛力平衡。37.“地面衛(wèi)星”（氫原子處于基態(tài)）時，勢能最小、總能量最小、運(yùn)動周期、角速度均最?。凰俣?、向心力、加速度均最大。38.等量同性質(zhì)點(diǎn)電荷連線的中垂線上場強(qiáng)最大的位置求解。 三、臨界與極值問題一般解法 臨界問題通常以定理、定律等物理規(guī)律為依據(jù)，分析所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式及其變化情況，然后找出臨界狀態(tài)，臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值，再根據(jù)變化情況，直接寫出條件。求解極值問題的方法從大的方面可分為物理方法和數(shù)學(xué)方法。物理方法即用臨界條件求極值。數(shù)學(xué)方法包括（1）利用矢量圖

9、求極值（2）用正（余）弦函數(shù)求極值；（3）拋物線頂點(diǎn)法求極值；（4）用基本不等式求極值。（5）單調(diào)函數(shù)端點(diǎn)值法求極值（6）導(dǎo)數(shù)法求解。一般而言，用物理方法求極值簡單、直觀、形象，對構(gòu)建物理模型及動態(tài)分析等方面的能力要求較高，而用數(shù)學(xué)方法求極值思路嚴(yán)謹(jǐn)，對數(shù)學(xué)建模能力要求較高，若能將二者予以融合，則將相得亦彰，對增強(qiáng)解題能力大有裨益。四、典型問題剖析例題1某屋頂橫斷面是一等腰三角形abc，橫梁ac=2l（定值），欲使雨水從屋頂面上流下來時間最短，求屋面的傾斜角（摩擦忽略不計(jì)，雨水初速為0）解析：設(shè)傾斜角，ab=sf=mgsin=ma，a=gsins=當(dāng)=45°時，等號成立所以=45&#

10、176;，雨水從屋頂（光滑）上流下所用的時間最短解法2. 解得當(dāng)時 t有最小值。例題2從傾角為的固定長斜面頂點(diǎn)以初速度水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力求自拋出經(jīng)多長時間小球離斜面最遠(yuǎn)?解法一：設(shè)經(jīng)t秒小球距離斜面最遠(yuǎn)，此時速度必與斜面平行，則 所以 時小球距離斜面最遠(yuǎn)。解法二：小球遠(yuǎn)離斜面方向的初速度 遠(yuǎn)離斜面方向的加速度 所以遠(yuǎn)離斜面的速度減小至零時相距最遠(yuǎn)。令 則時相距最遠(yuǎn)。解法三：球與斜面距離顯然當(dāng)時 距離最大解法四：解析法。選初速度方向?yàn)閤軸正向，重力方向?yàn)閥軸正向，則代表該斜面的直線方程為 平拋物體軌跡方程為，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)到該直線距離 注意到 故s顯然二次函數(shù)有極大致的條件為 即例

11、題3一個質(zhì)量為3kg的物體放在長木板上，當(dāng)木板一端抬起使它與水平方向成30°的固定斜面時，物體正好可以沿斜面勻速下滑。當(dāng)木板水平固定時，用多大的水平拉力能將該物體拉動？解析：在斜面上物體所受摩擦力與重力沿斜面向下的分力平衡 即f=mgsin30° 而滑動摩擦力f=mgcos30°所以=tan30°在水平面上拉的時候壓力大小等于重力大小。則水平面上的摩擦力f=mg=mgtan30°所以拉力至少要達(dá)到這個值才能拉動物體，例題4-1某物體所受重力為200 n，放在水平地面上，它與地面間的動摩擦因數(shù)是0.38，它與地面間的最大靜摩擦力是80 n，至少要

12、用_n的水平推力，才能將此物體推動，若推動之后保持物體做勻速直線運(yùn)動，水平推力應(yīng)為_n；物體在地面上滑動過程中，若將水平推力減小為50 n，直到物體再次靜止前，它所受到的摩擦力為_n；物體靜止后，此50 n的水平推力并未撤去，物體所受的摩擦力大小為_n.解析：從靜止推物體時推力至少達(dá)到最大靜摩擦力80n才可以推動物體；推動后當(dāng)推力大小與滑動摩擦力等值（200×0.38=76n）時物體將做勻速直線運(yùn)動；在物體滑動過程中水平推力若減小至50n，物體受到的滑動摩擦力仍跟原來一樣為76n；物體靜止后此50n的水平推力并未撤去時物體受靜摩擦力大小等于此時的水平推力大小50n。例題4-2babl

13、1l2 如圖所示，u形導(dǎo)線框固定在水平面上，右端放有質(zhì)量為m的金屬棒ab，ab與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為，它們圍成的矩形邊長分別為、，回路的總電阻為r。從t=0時刻起，在豎直向上方向加一個隨時間均勻變化的勻強(qiáng)磁場b=kt，（k>0）那么在t為多大時，金屬棒開始移動。解析：當(dāng)磁場發(fā)生變化的時候，有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生，在回路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電流，ab棒會受到安培力的作用，則ab有向左運(yùn)動的趨勢，則ab就會受到向右的靜摩擦力的作用。當(dāng)ab棒受到安培力和靜摩擦力的作用平衡時，由可知，回路中感應(yīng)電動勢是恒定的，電流大小也是恒定的，但由于安培力f=bilb=ktt，所以安培力將隨時間而增大，所以ab受到的靜摩

14、擦力也增大，二者始終是等值反向的，只要安培力的大小沒有超過最大靜摩擦力，ab就始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)安培力大于最大靜摩擦力之后，ab就會運(yùn)動起來。在靜止到運(yùn)動之間就存在著一個從靜止到運(yùn)動的臨界狀態(tài)，此狀態(tài)的臨界條件就是安培力增大到等于最大靜摩擦力。此時有：例題4-3如圖3所示兩根平行的金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌平面垂直，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌間距；兩根質(zhì)量均為電阻均為的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上垂直于導(dǎo)軌滑動，與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)均為；現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行大小為的水平恒力作用于甲桿使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動，已知 求（1）分析甲、乙二桿的運(yùn)動的情況？（2）桿運(yùn)動很長時間后開始，則再

15、經(jīng)過5秒鐘二桿間的距離變化了多少？解析：（1）金屬桿甲在水平恒力（這里牛為甲桿所受的最大靜摩擦力）作用下將向右加速運(yùn)動并切割磁感線產(chǎn)生逆時針方向的感應(yīng)電流，因而使甲桿同時受到水平向左的安培阻力；乙桿中也因?yàn)橛辛穗娏鞫艿剿较蛴业陌才鄤恿?，兩個安培力等值反向；開始時甲桿的切割速度較小故安培力=均較小，隨的增大則回路中的感應(yīng)電流增大，所以兩桿所受的安培力=均增大，故甲桿將向右作加速度減小的變加速運(yùn)動；當(dāng)時乙桿也將開始向右作加速度逐漸增大的變加速運(yùn)動；直到甲、乙二桿的加速度相等時（此時甲乙兩桿速度差最大，回路中動生電流最大即，每桿受安培力最大即乙桿的加速度最大即甲桿的加速度最小即且兩桿的加速度相等

16、，即 所以 ）甲乙兩桿以共同的加速度5 ，恒定的速度差40 向右做勻加速直線運(yùn)動。即甲相對乙將向右做勻速直線運(yùn)動而遠(yuǎn)離。 （2）依據(jù)上述分析知運(yùn)動很長時間后甲乙兩桿將以共同的加速度5及恒定的速度差40 向右做勻加速直線運(yùn)動，亦即甲乙二桿間的相對運(yùn)動速度為，因而此后經(jīng)過5秒兩桿間的距離將增加f圖5例題4-4如圖5所示，質(zhì)量為的木塊與水平地面的動摩擦因數(shù)，木塊用輕繩繞過光滑的定滑輪，輕繩另一端施一大小為20n的恒力f，使木塊沿地面向右做直線運(yùn)動，定滑輪離地面的高度，木塊m可視為質(zhì)點(diǎn)，問木塊從較遠(yuǎn)處向右運(yùn)動到離定滑輪多遠(yuǎn)時加速度最大？最大加速度為多少？解析： 設(shè)當(dāng)輕繩與水平方向成角時，對m

17、有整理得令，可知，當(dāng)a取最大值時a最大。利用三角函數(shù)知識有：，其中，而，與此相對應(yīng)的角為所以加速度的最大值為：此時木塊離定滑輪的水平距離為：說明：此題并非在任何條件下都能達(dá)到上述最大加速度，當(dāng)木塊達(dá)到一定值時，有可能使物體脫離地面，此后物體將不在沿著水平面運(yùn)動。因此，f、m、必須滿足mg。此題所給數(shù)據(jù)滿足上述條件，能夠達(dá)到最大加速度。例題4-5如圖3所示，質(zhì)量為m=1kg的物塊放在傾角為的斜面體上，斜面質(zhì)量為，斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)為，地面光滑，現(xiàn)對斜面體施一水平推力f，要使物體m相對斜面靜止，試確定推力f的取值范圍。（）圖3解析：此題有兩個臨界條件，當(dāng)推力f較小時，物塊有相對斜面向下運(yùn)動的

18、可能性，此時物體受到的摩擦力沿斜面向上；當(dāng)推力f較大時，物塊有相對斜面向上運(yùn)動的可能性，此時物體受到的摩擦力沿斜面向下。找準(zhǔn)臨界狀態(tài)，是求解此題的關(guān)鍵。（1）設(shè)物塊處于相對斜面向下滑動的臨界狀態(tài)時的推力為f1，此時物塊受力如圖4所示，取加速度的方向?yàn)閤軸正方向。圖4對物塊分析，在水平方向有豎直方向有對整體有代入數(shù)值得（2）設(shè)物塊處于相對斜面向上滑動的臨界狀態(tài)時的推力為f2對物塊分析，在水平方向有豎直方向有，對整體有代入數(shù)值得。綜上所述可知推力f的取值范圍為：圖4-6例題4-6.如圖4-6所示，跨過定滑輪的輕繩兩端，分別系著物體a和b，物體a放在傾角為的斜面上，已知物體a的質(zhì)量為m，物體b和斜面

19、間動摩擦因數(shù)為（<tan），滑輪的摩擦不計(jì)，要使物體靜止在斜面上，求物體b質(zhì)量的取值范圍解析：物體在斜面上可能恰好不上滑，也可能恰好不下滑，所以摩擦力可能有兩個方向。以b為研究對象，由平衡條件得：再以a為研究對象，它受重力、斜面對a的支持力、繩的拉力和斜面對a的摩擦作用假設(shè)a處于臨界狀態(tài)，即a受最大靜摩擦作用，方向如圖所示，根據(jù)平衡條件有： 或： 綜上所得，b的質(zhì)量取值范圍是：例題5-1甲物體以做勻速直線運(yùn)動，乙物體在其后面5m處沿同一直線同一方向做初速為零加速度的勻加速直線運(yùn)動，問乙物體是否可以追上甲物體？并求出其間距離的最大值。解法一：（1）乙物體一定可以追上甲物體。（2）用臨界法分

20、析求極值：乙物體加速至前，速度小于其前方的甲物體運(yùn)動速度，此階段其間距離不斷增大，當(dāng)乙物體加速至后，速度大于其前方的甲物體運(yùn)動速度，所以在尚未追上甲物體前，其間距離不斷減小，故等速時其間距離最大。令 解得 此時相距最遠(yuǎn)解法二：（2）用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)法求極值：依據(jù)甲乙兩物體各自運(yùn)動規(guī)律可得出其間的距離函數(shù) 顯然當(dāng)s 時 例題5-2（寶雞2012年二模）如圖所示，質(zhì)量為6kg的小球a與質(zhì)量為3kg的小球b，用輕彈簧相連后在光滑水平面上共同以速度向左勻速運(yùn)動，在a球與左側(cè)豎直墻壁碰后兩球繼續(xù)運(yùn)動的過程中，彈簧的最大彈性勢能為4j，若a球與左側(cè)墻壁碰撞前后無機(jī)械能損失，試求的大小。解析：這里彈性勢能最

21、大時即簧壓縮量最大，亦即a與左側(cè)墻壁碰后以為初速（碰墻壁無機(jī)械能損失）向右減速運(yùn)動，b仍以為初速向左減速，但b球質(zhì)量小先減至零又反向向右加速運(yùn)動，二者均向右運(yùn)動等速時其間距離最小，此時簧的彈性勢能最大。因?yàn)榕鰤Ρ诤笙蛴疫\(yùn)動過程a+b系統(tǒng)總動量守恒，如果選向右為正方向則又因?yàn)榕鰤Ρ诤笙蛴疫\(yùn)動過程a+b（含簧）系統(tǒng)總機(jī)械能守恒則 聯(lián)立求解并代入數(shù)值得 （）例題5-3（90年全國卷）在光滑的水平軌道上有兩個半徑都是的小球a和b，質(zhì)量分別為和2，當(dāng)兩球心間距離大于l（l比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當(dāng)兩球心間距離等于或小于l時，兩球間存在相互作用的恒定斥力f。設(shè)a球從遠(yuǎn)離b球處以速度沿兩球連

22、心線向原來靜止的b球運(yùn)動，如圖12-2所示，欲使兩球不發(fā)生接觸，必須滿足什么條件解析 ： 據(jù)題意，當(dāng)a、b兩球球心間距離小于l時，兩球間存在相互作用的恒定斥力f。故a減速而b加速。當(dāng)時，a、b間距離減?。划?dāng)時，a、b間距離增大?？梢?，當(dāng)時，a、b相距最近。若此時a、b間距離，則a、b不發(fā)生接觸（圖12-3）。上述狀態(tài)即為所尋找的臨界狀態(tài)，時則為臨界條件。兩球不接觸的條件是： （1） （2）其中、為兩球間距離最小時，a、b球的速度；、為兩球間距離從l變至最小的過程中，a、b球通過的路程。設(shè)為a球的初速度，對于a+b系統(tǒng)由動量守恒定律得 （3） 對于a球由動能定律得 （4） 對于b球由動能定律得

23、（5）聯(lián)立解得：評析 本題的關(guān)鍵是正確找出兩球“不接觸”的臨界狀態(tài)，為且此時例題6（09年江蘇卷）如圖所示，兩質(zhì)量相等的物塊a、b通過一輕質(zhì)彈簧連接，b足夠長、放置在水平面上，所有接觸面均光滑。彈簧開始時處于原長，運(yùn)動過程中始終處在彈性限度內(nèi)。在物塊a上施加一個水平恒力，a、b從靜止開始運(yùn)動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有 （ ）a當(dāng)a、b加速度相等時，系統(tǒng)的機(jī)械能最大 b當(dāng)a、b加速度相等時，a、b的速度差最大c當(dāng)a、b的速度相等時，a的速度達(dá)到最大d當(dāng)a、b的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大解析：分析本題的關(guān)鍵是對物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動過程分析，使用圖象處理則可以使問題更加簡單。

24、a、b物塊在水平方向受力如右圖上下， f1為彈簧的拉力。 a從靜止開始向右做加速度減小的變加速直線運(yùn)動，b從靜止開始向右做加速度增大的變加速直線運(yùn)動，當(dāng)兩物塊加速度相等時它們的速度差最大（因?yàn)樵撾A段a速度的增加值總是大于b速度的增加值），選b.該過程可視為b板后沿(質(zhì)點(diǎn))追擊a物塊，因?yàn)榍懊鎍物體的速度總是大于后面b物體的速度，所以其間距離不斷增大（同一時間內(nèi)a物的位移總是大于b物的位移），當(dāng)兩物體等速時其間距離最大即彈簧伸長量最大，所以彈簧的彈性勢能最大。選d據(jù)前分析該過程a物體始終做加速度減小的加速運(yùn)動（b物也始終加速但加速度增大），這種運(yùn)動一直持續(xù)到a物體加速度減為零（此時b物體加速度增

25、至f/m），即a物體速度單調(diào)增加，故末時刻速度最大。選c.又因外力f不斷做正功，所以系統(tǒng)機(jī)械能不斷增大，末時刻機(jī)械能最大。排除a.兩物體的速度時間圖像如下： 時刻 時刻且a物加速度=0例題7-1消防隊(duì)員為了縮短下樓時間，往往抱著直立于地面的豎直滑桿直接滑下（設(shè)滑桿在水平方向不能移動），假設(shè)一名質(zhì)量為60kg的消防隊(duì)員從離地面18m的七樓抱著豎直的滑桿以最短的時間滑下。已知消防隊(duì)員的手和腳對桿之間的壓力最大為1800n，手和腳與滑桿之間動摩擦因數(shù)為0.5，消防隊(duì)員著地的速度不能大于6m/s，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣惹螅海?）消防隊(duì)員下滑的最短時間？（2）消防隊(duì)員下滑過程中最大速度？解法一（基本不等式極值

26、法）：設(shè)消防隊(duì)員先做自由落體運(yùn)動，其次勻速運(yùn)動（計(jì)算知人與滑桿之間最大靜摩擦力為900n大于重力600n），最后勻減速運(yùn)動，到達(dá)地面時恰好減速至=6m/s，則下滑時間且18=.又依牛頓第二定律知消防隊(duì)員減速下滑的加速度最大值為而依運(yùn)動學(xué)公式知所以即.將式代入式并整理有顯然因?yàn)椋?且為定值，所以當(dāng)即時即消防隊(duì)員下滑的最短時間為2.4 s，即加速1.2s、勻速0s、減速1.2s.（2）消防隊(duì)員下滑的最大速度即自由落體段下滑的末速度解法二（圖像法）如果消防隊(duì)員首先自由落體至某速度，然后立即以最大加速度勻減速至?xí)r位移恰好為18m，這種臨界狀態(tài)的v-t圖像如下圖中實(shí)線oab所示，其與橫軸所圍成的圖形“面

27、積”恰好為18m，顯然其他任意一個含有勻速運(yùn)動段的圖形若面積與其相等(例如opqm)，則底邊長度必大于24s.所以先加速后減速中間無勻速運(yùn)動段，歷時最短。例題7-2（06年上海卷） (辨析題):要求摩托車由靜止開始在盡量短的時間內(nèi)走完一段直道，然后駛?cè)胍欢伟雸A形的彎道，但在彎道上行駛時車速不能太快，以免因離心作用而偏出車道，求摩托車在直道上行駛所用的最短時間。有關(guān)數(shù)據(jù)見表1。啟動加速度4制動加速度8直道最大速度40彎道最大速度20直道長度s218m某同學(xué)是這樣解的：要使摩托車所用時間最短，應(yīng)先由靜止加速到最大速度=40m/s，然后再減速到=20m/s，；你認(rèn)為這位同學(xué)的解法是否合理?若合理，請

28、完成計(jì)算；若不合理，請說明理由，并用你自己的方法算出正確結(jié)果。解析：上述解法不合理，因?yàn)榧铀贂r間，減速時間所以加速距離，減速距離 因?yàn)椋什缓侠?。?yīng)先以加速到最大速度（并非40），又以加速度減速到恰完成218m的直道距離行駛，即為最短時間。所以加速距離，減速距離令，解得 所以加速時間，減速時間 故最短時間例題7-3（2013年寶雞市一檢試題）如圖所示，水平地面上有a、b兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)間距離lab=15m，質(zhì)量m=2kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在a點(diǎn)，為使物體運(yùn)動到b點(diǎn)，現(xiàn)給物體施加一水平f =10n的拉力，求拉力f作用的最短時間。（已知地面與物塊的滑動摩擦因數(shù)=0.2，g取10m/s2）解析：可

29、證要使f作用時間最短，則f作用一段最短時間后撤去該力，使物體勻減速運(yùn)動時間在b點(diǎn)恰好停止（證明見后）。設(shè)勻加速直線運(yùn)動的加速度為a1，運(yùn)動的位移為，由題意可得： （1） （2）設(shè)撤去f后物體做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小為，時間為，位移為，由題意可得： （3） （4） （5） （6）聯(lián)立解得最短的時間 （7）證明：設(shè)恒力f作用時間為，則加速段位移 滑行段的位移、初速度、加速度分別為、-2，設(shè)滑行段末速度為，則解得，故 即恒力作用時間最小需要2s。亦即滑行至末速恰好為零所需的時間為2s (也可通過v-t圖像證略) 。例題8 甲車以在平直的公路上勻速行駛，乙車在甲車后方距離甲車s處以更大的速度同向行

30、駛，如果甲車的行駛速度保持不變，為了確保兩車不相撞，乙車做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小至少為多大？解法一：臨界狀態(tài)為乙車從勻減速至?xí)r恰好追上甲車。設(shè)乙車做勻減速直線運(yùn)動的加速度最小值為，恰追上時歷時則 令 解得又因?yàn)?令 解得解法二：以甲車為參照物，乙車的相對初速度為，設(shè)加速度（亦即相對加速度）為相對末速度為0，相對位移為s，則有 所以 例題9如圖所示，豎直放置的u形導(dǎo)軌寬為l，上端串有電阻r（其余導(dǎo)體部分的電阻都忽略不計(jì)）。磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場方向垂直于紙面向外。金屬棒ab的質(zhì)量為m，與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)摩擦。從靜止釋放后ab保持水平下滑。試求ab下滑的最大速度。解析：釋放瞬間ab只受重力

31、，開始向下加速運(yùn)動，只要ab有速度，在ab上就會產(chǎn)生動生電動勢，在回路中就會產(chǎn)生電流，由左手定則知，ab會受到向上的安培力的作用。動生電動勢會隨著速度的增大而不斷的增大，回路中電流就會不斷的增大，根據(jù)，安培力會不斷的增大，則ab做加速度減小的加速運(yùn)動，其速度不會無限的增大，當(dāng)時，其加速度就變?yōu)?，速度達(dá)到最大，開始做勻速直線運(yùn)動。因此，在從變速運(yùn)動狀態(tài)變到勻速狀態(tài)之間有一個速度達(dá)到最大的狀態(tài)，此狀態(tài)的臨界條件就是ab受的的重力大小等于安培力大小。抓住這個臨界條件，由，可得例題10-1如圖所示，m =4kg的小球掛在小車后壁上，細(xì)線與豎直方向成37°角。要使后壁對小球不產(chǎn)生力的作用小車

32、的加速度應(yīng)滿足的條件？解析：小車向左加速或向右減速時，后壁對小球的作用力n有可能減為零，這時小球?qū)㈦x開后壁而“飛”起來。這時細(xì)線跟豎直方向的夾角會改變，因此細(xì)線拉力f的方向會改變。所以必須先求出這個臨界值。分析知在該臨界狀態(tài)下，小球豎直方向平衡， 則 細(xì)線拉力水平分量使得小球在水平方向加速，則聯(lián)立解得 小車向左加速或向右減速的加速度大小至少為例題10-2.一根勁度系數(shù)為k,質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，上端固定,下端系一質(zhì)量為m的物體,有一水平板將物體托住,并使彈簧處于自然長度。如圖所示?，F(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a(ag)勻加速向下移動。求經(jīng)過多長時間木板開始與物體分離。 解析：以拴接于簧下的物體為研究

33、對象，設(shè)物體與平板整體向下運(yùn)動的距離為x時，物體受重力mg和彈簧的彈力f=kx及平板的支持力n作用。據(jù)牛頓第二定律有：mg-kx-n=ma得n=mg-kx-ma當(dāng)n=0時，物體與平板分離，所以分離時依，則。bf60°圖1a例題10-3如圖1所示，質(zhì)量均為m的兩個木塊a、b在水平力f的作用下，一起沿光滑的水平面運(yùn)動，a與b的接觸面光滑，且與水平面的夾角為60°，求使a與b一起運(yùn)動時的水平力f的范圍。解析： 當(dāng)水平推力f很小時，a與b一起做勻加速運(yùn)動，當(dāng)f較大時，afnfmgfxfy圖260°b對a的彈力豎直向上的分力大小等于a的重力時，地面對a的支持力為零，此后，物

34、體a將會相對b滑動。顯而易見，本題的臨界條件是水平力f為某一值時，恰好使a沿a、b接觸面向上滑動，即物體a對地面的壓力恰好為零，受力分析如圖2。對整體有：；隔離a，對于的臨界狀態(tài)有 ，。解得：所以f的范圍是0f例題10-4a圖3某斜面放在水平地面上，傾角，一個質(zhì)量為0.2kg的小球用細(xì)繩吊在斜面頂端，如圖3所示。斜面靜止時，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，不計(jì)斜面與水平面的摩擦，當(dāng)斜面以的加速度向右運(yùn)動時，求細(xì)繩的拉力及斜面對小球的彈力。（g?。┙馕觯盒泵嬗伸o止向右加速運(yùn)動過程中，斜面對小球的支持力將會隨著a的增大而減小，當(dāng)a較小時，小球受到三個力作用，此時細(xì)繩平行于斜面；當(dāng)a增大時，斜面對小球

35、的支持力將會減少，當(dāng)a增大到某一值時，斜面對小球的支持力為零；若a繼續(xù)增大，小球?qū)帮w離”斜面，此時繩與水平方向的夾角將會大于角。而題中給出的斜面向右的加速度，到底屬于上述哪一種情況，必須先假定小球能夠脫離斜面，然后求出小球剛剛脫離斜面的臨界加速度才能斷定。圖4設(shè)小球剛剛脫離斜面時斜面向右的加速度為，此時斜面對小球的支持力恰好為零，小球只受到重力和細(xì)繩的拉力，且細(xì)繩仍然與斜面平行。對小球受力分析如圖4所示。顯然有代入數(shù)據(jù)解得因?yàn)?，所以小球已離開斜面，斜面的支持力。同理，由受力分析可知，細(xì)繩的拉力為：此時細(xì)繩拉力t與水平方向的夾角為：例題10-5如圖8所示，一光滑的半徑為r的半圓形軌道位于豎直

36、平面內(nèi)，其最低點(diǎn)與水平地面相切于a點(diǎn)，一個質(zhì)量為m的小球以某一速度從c點(diǎn)沖上軌道，當(dāng)小球?qū)⒁獜能壍揽赽點(diǎn)飛出時，軌道的壓力恰好為零，則（1）小球到達(dá)b點(diǎn)的速度為多大？（2）落地點(diǎn)c距a處多遠(yuǎn)？解析：小球在b點(diǎn)受重力mg、軌面向下的彈力，依牛頓第二定律有 而依題意知所以 小球離開b點(diǎn)后平拋運(yùn)動歷時 所以落點(diǎn)c到軌道最低點(diǎn)a距離為例10-6.(99年全國卷)如圖示，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和m2，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，上面木塊壓在上面的彈簧上(但不拴接)，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上面彈簧在這過程中下面木塊移動的距離為(參考答案:c) a.m1g/k1

37、b.m2g/k2 c.m1g/k2 d.m2g/k2【解析】此題屬于較為簡單的問題，是考察胡克定律及共點(diǎn)力平衡條件的題目題中物體間距離的變化，要通過彈簧形變量的計(jì)算求出緩慢上提過程，說明整個過程系統(tǒng)始終處于一種動態(tài)平衡狀態(tài)，直至m1離開上面的彈簧同時還應(yīng)注意m1剛離開上面彈簧的臨界狀態(tài)是該簧恰處自然長度。初態(tài)時下面的彈簧被壓縮，其壓縮量為(m1 + m2)gk2，而ml剛離開上面的彈簧時，下面的彈簧仍處于壓縮狀態(tài)，壓縮量為m2gk2，因此m2移動距離x(m1 + m2)·gk2 - m2gk2mlgk2選c. 例題11-1.汽車在平直的水平路面上以20的速度勻速行駛，關(guān)閉發(fā)動機(jī)油門后

38、勻減速滑行的加速度大小為2，最遠(yuǎn)還可以滑行多少距離？解析：最遠(yuǎn)還可以滑行例題11-2如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的長為l，寬為l/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為b，質(zhì)量為m，電荷量為e 的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v 的取值范圍？解析：帶電粒子射入磁場后，由于速率大小的不同，導(dǎo)致粒子軌跡半徑不同，如圖所示。當(dāng)速率最小時(設(shè)為)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑r=l/4，再由，得 當(dāng)速率最大時(設(shè)為)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑r滿足 即，又依據(jù) 故所以電子速率v的取值范圍為：。點(diǎn)評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射速度的方向，由于入射粒子

39、的速度大小不同，則其運(yùn)動軌跡半徑不同，處理這類問題時重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動的軌跡圖，本題特別需要注意的是有兩種臨界狀態(tài)。例題12排球場總長18m，設(shè)球網(wǎng)高度為2m，運(yùn)動員站在離網(wǎng)3m的線上正對網(wǎng)前跳起將球水平擊出（球飛行中阻力不計(jì)）（1）設(shè)擊球點(diǎn)在3m線正上方高度為2.5m，試問擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界；（2）若擊球點(diǎn)在3m線正上方的高度小于某個值，那么無論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界，試求這個高度（g=10m/s2）解析：（1）排球在3米線上方距地面2.5m處被水平擊出后做平拋運(yùn)動，若正好壓在端線上，則在空中飛行時間，所以排球不越界的臨界擊球速度值為。如果

40、排球恰好不觸網(wǎng)，則在空中飛行時間，所以排球不觸網(wǎng)的臨界擊球速度值為。綜上擊球的速度在才能使球既不觸網(wǎng)也不出界；（2）若擊球點(diǎn)在3m線正上方的高度小于某個值（設(shè)在3m線正上方距離網(wǎng)頂部高度l處），水平擊球成功的“速度上下限范圍將縮窄至零”，即無論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界。根據(jù)上述（1）中的計(jì)算可知，排球被水平擊出后做平拋運(yùn)動，若正好壓在端線上，則在空中飛行時間 ，排球不越界的臨界擊球速度值為 ；如果排球恰好不觸網(wǎng)，則在空中飛行時間，所以排球不觸網(wǎng)的臨界擊球速度值為。令“速度上下限范圍縮窄至零”，即亦即16l=2+l 所以l=2/150.13米 即在3米線上方水平擊球時若擊球點(diǎn)高度低

41、于2.13米不是觸網(wǎng)便是出界。例題13如圖在光滑的水平臺上靜止著一塊長50厘米，質(zhì)量為1千克的木板，板的左端靜止著一塊質(zhì)量為1千克的小銅塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，一顆質(zhì)量為10克的子彈以200米/秒的速度射向銅塊，碰后以100米/秒速度彈回。問銅塊和木板間的摩擦系數(shù)至少是多少時銅塊才不會從板的右端滑落，（）解法一：子彈與銅塊碰撞過程總動量守恒，根據(jù)動量守恒定律有 解得同理可求得不滑落時銅塊與木板最終的共同速度為依能量轉(zhuǎn)化關(guān)系有 解得 解法二：以木板為參照物銅塊的初速度為 臨界末速度 位移s=0.5m加速度=-2 所以 解得例題14如圖所示，將一個質(zhì)量為m的小球先后栓接在輕質(zhì)細(xì)繩和細(xì)桿的一端，繩和桿子的

42、長度相同，為使小球剛好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，經(jīng)最低點(diǎn)時繩子的拉力t1為，桿子的拉力t2為。解析：輕繩端連物在豎直平面上做圓周運(yùn)動到達(dá)圓周最高點(diǎn)的速度依機(jī)械能守恒定律可以求得在圓周最低點(diǎn)響應(yīng)速度分別為因?yàn)樾∏蛟趫A周最低點(diǎn)時超重所以例題15 將物體以一定初速度豎直向上拋出，已知該物體除受重力外還受到一個向右的水平恒力作用，若選拋點(diǎn)為原點(diǎn)，向右和向上分別為x、y軸正方向，已知其運(yùn)動軌跡的最高點(diǎn)m橫縱坐標(biāo)分別為3和2，若已知重力加速度g=10求落回到x軸的n點(diǎn)時的橫坐標(biāo)落回到n點(diǎn)時的速度大小。解析：設(shè)上升、下落段歷時分別為，分析y方向的豎直上拋分運(yùn)動知又因?yàn)閤方向的分運(yùn)動是初速為零的勻加速直線運(yùn)動

43、，所以前后兩端位移之比為 所以 即 落至n點(diǎn)時豎直分速度 水平分速度 而 兩式相比知 所以 所以落至n點(diǎn)的速度 例題16-1如圖所示，一個質(zhì)量為m的小球，用兩根等長的細(xì)繩1、2連接在車廂的a，c兩點(diǎn)，已知兩繩拉直時，與車廂前壁的夾角均為，試求當(dāng)車廂以多大加速度向左做勻加速直線運(yùn)動時連接于c點(diǎn)的細(xì)繩2恰好被拉直。caa解析：連接于c點(diǎn)的細(xì)繩2恰好被拉直時，其張力為零（等效于剪去該繩2）則因?yàn)樾∏蛟谪Q直方向的平衡有，在水平方向同于車廂加速度（設(shè)為a）則聯(lián)立解得車廂加速度例題16-2如圖所示，當(dāng)ac、bc兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°，若要使小球隨軸一起在水平面內(nèi)做

44、勻速圓周運(yùn)動將兩繩都拉直，小球最小角速度為多少（已知ac繩子長度為l）？解析：設(shè)臨界角速度為，即角速度小于該值時bc繩子將松弛，故以該臨界角速度運(yùn)動時，等效于剪掉bc繩子，且ac繩子與轉(zhuǎn)軸夾角仍保持，設(shè)此時ac繩子張力為則因小球在豎直方向平衡有，在水平方向做勻速圓周運(yùn)動有 聯(lián)立解得例題17 已知力f的一個分力的方向及另一個分力的大小，求的大小，并就解的情況加以討論。解析：此類分解問題因已知分力的大小不同將有以下四種不同的結(jié)果：當(dāng)時，以為半徑的圓與方向線沒有交點(diǎn)（相離），不能構(gòu)成一個平行四邊形，故無解。當(dāng)時，以為半徑的圓與方向線有一個交點(diǎn)（相切），故此情形有唯一解。當(dāng)時，以為半徑的圓與方向線有兩

45、個交點(diǎn)（相割），故此情形有兩個解。當(dāng)時，以為半徑的圓與方向線有一個交點(diǎn)，此情形有唯一解。例題18-1如圖所示，一個重為g的勻質(zhì)球放在光滑的斜面上，斜面傾角為，在斜面上有一個光滑的薄木板擋住球，使之處于靜止?fàn)顟B(tài)，今使木板與斜面的夾角從很小開始緩慢增大，問在此過程中，球?qū)δ景搴颓驅(qū)π泵娴膲毫Υ笮∪绾巫兓?？解法一（函?shù)計(jì)算法）：球體受力如下圖所示。在木板與斜面的夾角從很小開始緩慢增大過程中可認(rèn)為球體總是處于平衡狀態(tài)，依據(jù)平衡條件，在水平方向有 在豎直方向有 式聯(lián)立解得 顯然隨在范圍的增大單調(diào)減小，故單調(diào)減小。而隨角度的增大先減后增，即時 最小。解法二（矢量圖解法）：圖17-2gdocba對平衡狀態(tài)的

46、球體進(jìn)行受力分析如圖所示，三個力的合力為零.其中重力g的大小和方向都不變；斜面對球體的彈力n（解法一中的）方向不變，大小可變，暫稱為“單變力”； 擋板對球體的彈力f（解法一中的）方向隨擋板逆時針轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動暫稱為“雙變力”，畫出其矢量三角形如圖所示.在這變化過程中，由圖直接可以看出，n一直減小，而f先減小后增大.當(dāng)f與n垂直（解法一中）時，f的值最小；當(dāng)f轉(zhuǎn)至豎直向上（擋板水平，即解法一中）時，n減小到零，f大小等于g。例題18-2. 如圖17-2所示，將一物體用兩根等長oa、ob懸掛在半圓形架子上，b點(diǎn)固定不動，在懸掛點(diǎn)a由位置c向位置d緩慢移動的過程中，物體對oa繩的拉力變化是（ ）a.由小

47、變大 b.由大變小 c.先減小后增大 d.先增大后減小 解析：在進(jìn)行動態(tài)分析時，首先找到不變的恒力和力發(fā)生變化的臨界點(diǎn)懸掛點(diǎn)a由位置c緩慢移動的過程中，每個位置都處在平衡狀態(tài)，合力為零。ta2tb圖4ta1gta3ta4以結(jié)點(diǎn)o為研究對象，受三個力的作用而處于平衡狀態(tài)，因此三個力必構(gòu)成一個閉合矢量三角形。因重力的大小和方向始終不變，bo繩的拉力方向不變，在ao繩由位置c到d移動過程中可以做出一系列的閉合的三角形，如圖4所示。由圖可知ob繩的拉力由小變大，oa繩的拉力由大變小，當(dāng)oa垂直于ob時繩oa的拉力達(dá)到最小值，此時，繩oa的接力由減小到增大的臨界點(diǎn)。則c正確?！舅季S總結(jié)】作矢量圖時，每個

48、三角形所表示重力邊的長度、方向都不變，tb的方向不變，然后比較做出的各個三角形表示有哪些不同。要特別注意是否存在極值和臨界點(diǎn)，這是判斷力變化的關(guān)鍵。例題19 一個質(zhì)點(diǎn)在和兩個力的作用下，沿與成30°角的直線運(yùn)動，已知10n，要使為最小值，應(yīng)該等于多少解析 ：物體由靜止開始做直線運(yùn)動，合力方向一定是物體運(yùn)動方向。所以將正交分解成一個沿運(yùn)動方向與一個垂直運(yùn)動方向的力。此時，垂直運(yùn)動方向的分力必須得抵消掉，即大于等于的垂直運(yùn)動方向分力，所以最小值為5n，方向是垂直運(yùn)動方向。例題20 證明小船渡河速度垂直于水流速度時渡河時間最短。證明 設(shè)河寬為d，船速為v，船速與水速夾角為 則渡河時間 顯然

49、當(dāng) （如下圖所示）例題21 證明 如果小船速度大于水流速度時，小船渡河的最短航程即為河流寬度。解析；小船“斜逆航行”渡河，且船速逆向上行的分位移與水流引起小船漂流的分位移抵消， 即船逆向上行的分速度與水的漂流速度抵消，所以小船的合速度與河岸垂直，到達(dá)對岸時的位移即是河寬。（如下圖所示）例題22 證明如果小船速度小于水流速度時，船速垂直于合速度時小船渡河的航程最短。解法一（正弦函數(shù)法）；如圖所示，取水流方向?yàn)閤軸正向，小船初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)水速、船速分別為、船速與x軸負(fù)方向所夾銳角為河流寬度為d，渡河后到達(dá)彼岸p點(diǎn)，則航程 而變形為 再變形為 令 則上式變?yōu)?所以顯然當(dāng)（即船速垂直于合速度）

50、時 （如下圖所示）解法二（矢量圖解法）：如圖所示，船速（圖中矢量圓半徑）大小一定，方向可以調(diào)整變化，而水速（大小方向均一定）與船速的合速度與ab夾角越大，則渡河航程越大（即到達(dá)彼岸的位置舉b點(diǎn)越遠(yuǎn)），只有當(dāng)合速度與該矢量圓相切時航程最短。小船渡河兩類問題的三種矢量圖比較例題23 如圖所示，工人師傅想把一個重800n的油桶滾上一個臺階，他沿最省力的方向推動油桶，在圖中畫出這個力和它的力臂。解析： 上滾過程必以臺階邊緣o為轉(zhuǎn)軸，故過o點(diǎn)做直徑op，過p點(diǎn)做op的垂線pa。則op為力臂，沿pa即為所加拉力方向。例題24甲車在平直公路上以勻速行駛，乙車在甲車后面距離甲車處以更大的速度同向勻速行駛，為確

51、保甲乙兩車不相撞，在甲車仍以勻速行駛的情況下，乙車做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小至少為多少。解析：以甲車為參照物，乙車初速為，臨界狀態(tài)時末速為，勻減速運(yùn)動的加速度大小為，位移為，則有解得例題24一列火車總質(zhì)量m=500t，機(jī)車發(fā)動機(jī)的額定功率，行駛時軌道對列車的阻力f是車重的0.01倍，求（1）列車行駛的最大速度.（2）若從靜止開始保持的加速度勻加速運(yùn)動的最長時間。解析：（1）列車加速的加速度減小至=0時速度最大，設(shè)為則 所以（2）機(jī)車瞬時功率 所以例題25 試證明完全非彈性碰撞中的機(jī)械能損失最大。證明：設(shè)質(zhì)量為的小球2靜止于水平面上，質(zhì)量為的小球1以速度與其對心碰撞，并設(shè)碰后小球1、2的速度分

52、別為、，依據(jù)動量守恒定律有所以 該碰撞過程系統(tǒng)機(jī)械能損失 將代入并整理得 顯然機(jī)械能損失量是關(guān)于的二次函數(shù)，其二次項(xiàng)系數(shù)小于零。所以當(dāng) 時最大，代入式知此時 故碰后兩球等速，即合為一體。例題26 以彈簧振子為例，分析簡諧運(yùn)動過程的位移、恢復(fù)力、加速度、速度、動量、動能、勢能、機(jī)械能的變化情況。解析：簡諧運(yùn)動過程八個物理量變化可用如下的菱形圖所示。其中a、o、c分別表示彈簧振子（泛指簡諧運(yùn)動）的最大位移處和平衡位置，如果振子從a向o運(yùn)動，則ad的升勢反映了振子的變化趨勢，ab的降勢反映了振子的變化趨勢，ao的水平態(tài)勢反映了振子機(jī)械能守恒，同理從o向c的運(yùn)動過程分別用dc、bc、oc表示其變化趨勢

53、。顯然振子在平衡位置o處時速度、動量、動能最大；在a(c)處時位移、回復(fù)力、加速度、振動勢能最大，振動過程機(jī)械能保持不變。例題27鐵道上每根鋼軌長12.5 m，若支持車廂的彈簧和車廂組成的系統(tǒng)固有周期為0. 5s，那么當(dāng)列車以_速度行駛時，車廂振動最厲害。解析：列車行駛過程每當(dāng)車輪滾動至兩節(jié)鋼軌縫隙處就會受到向列車后上方的沖擊力，這種沖擊力的驅(qū)動作用周期，列車在該力作用下做受迫振動，當(dāng)驅(qū)動力的周期與振動系統(tǒng)的固有周期相等時就發(fā)生了共振，車廂振動得最厲害。令 所以例題28在同一均勻介質(zhì)中有、兩個波源，這兩個波源的頻率、振動方向均相同，且振動步調(diào)完全一致，、之間相距8m（已知波長=4m），o點(diǎn)為、連線的中點(diǎn)，求在該連線上除、兩波源外振動幅度最大的點(diǎn)的位置？解析：因?yàn)閮蓚€波源同相位，所以連線中點(diǎn)o必為振動加強(qiáng)點(diǎn)，且兩邊各距離中點(diǎn)=2m處也為振動加強(qiáng)點(diǎn)，振動幅度最大。例題29水平向右的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)未知，懸點(diǎn)o有一長為l的細(xì)線下端系質(zhì)量為m、電量為+q小球。把小球拉到水平位置a由靜止釋放，小球擺到c點(diǎn)，即由c點(diǎn)重新擺回。如圖所示，已知oc與豎直方向成30°角，求小球在運(yùn)動過程中的最大速度。解析：分析知小球平衡位置必在平分線上，即在豎直線右側(cè)處。所以 在該位置（圖中b點(diǎn)）時小球勢