第6講非齊次問題處理基礎(chǔ)資料

1、2 2.4 .4 非齊次問題非齊次問題 )()(000),(0002xuxuuulxtxfuautttlxxxxtt ( (i) i) 非齊次振動方程定解問題非齊次振動方程定解問題特征函數(shù)法1蒼松優(yōu)選22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttvvaf x txlttxvvvvt 令( , )( , )( , )u x tv x twx t 其中22222000, 0,0;|0;|(),|().xxlttwwaxlttxwwwwxxt (1) (2)2蒼松優(yōu)選 ,sinnnnv x tvtxl 令 為待定函數(shù).( )nvt并將 按特征函數(shù)系展為級數(shù) txf,其中 , 2

2、, 1,sin,20 ndlntfltfln 1( , )sinnnn xf x tftl (3) (4)22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttvvaf x txlttxvvvvt (1)3蒼松優(yōu)選222211( )( ) sin( )sinnnnnnnan xn xvtvtftlll2222( )( )( )nnnnavtvtftl 將(3),(4) 代入方程得兩端比較將(3)代入初始條件(0)0, (0)0nnvv4蒼松優(yōu)選2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv 0sin,1,2,lnnn a tlvtfdnn al la

3、place變換所以 01,sinsinlnnn a tlnv x tfdxn all 5蒼松優(yōu)選例1. 求解具有熱源 ，兩端絕熱，初始溫度為零的桿的熱傳導(dǎo)問題。ta sin 0000,0sin002tlxxxxxxtuuutlxtauau 本征函數(shù)為 , 2 , 1,cos nlxn 設(shè) 0cos,nnlxntttxu 解：6蒼松優(yōu)選代入方程得 talxnttlanttnnn sincos02222 比較系數(shù)得： tat sin0 , 2 , 1, 02222 nttlanttnn 由初始條件得： , 2, 1 , 0, 00 ntn 0)0(sin00ttat 0)0(02222nnnttt

4、lantt 從而 .0nat t =1-cos ttt = 0n =1,2,所以 tatxu cos1, 7蒼松優(yōu)選例在環(huán)形區(qū)域 內(nèi)求解下列定解問題22axyb 2222222212,|0,|0 xxyyxyaxybuuxyaxybuun 解考慮極坐標變換:cossinxy 8蒼松優(yōu)選定解問題可以轉(zhuǎn)化為: 0|, 0|2cos1211222222bauuuuu相應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)系為:,2sin,2cos,sin,cos, 19蒼松優(yōu)選于是可以設(shè)原問題的解為: 10sincos,nnnnbnaau代入方程，整理得 20021222111cos1sin12cos2nnnnnnnnnaaaaa

5、nnbbbn 10蒼松優(yōu)選比較兩端 和 的系數(shù)可得 ncosnsin 222221412aaa 22102nnnnaaan 0010aa 2210nnnnbbb11蒼松優(yōu)選 0sincos10nnnnabnaaaa由邊界條件，得 所以 0sincos10nnnnbbnbaba 0baaann 0bbabnn12蒼松優(yōu)選( )nnnnnacd nnnnnbcd ( )0na 2n 0nb 由邊界條件，可知 nnbna),2( , 滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的形式為000( )lnacd13蒼松優(yōu)選下面求 . 2a , 222221241 aaa 422212cca方程的通解為 446612

6、babac由端點的條件， 得 44224422bababac 原問題的解為： 2cos,2au 220a aab14蒼松優(yōu)選2.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理 處理非齊次邊界條件問題的基本原則基本原則是: 選取一個輔助函數(shù) ,通過函數(shù)之間的代換: 使得對新的未知函數(shù) 邊界條件為齊次的. ,w x t,u x tv x tw x t,v x t15蒼松優(yōu)選例1振動問題 )()()()(0002102xuxututuuautttlxxxxtt （i） 解： )()(,tbxtatxv 取 txltttxv112)()(, 故要求滿足(i)的邊界條件即)()()()()(0)(

7、21ttbltattbta 解得 ttblttta112)()()()( 思路:作代換 ,( , )( , )u x tv x tw x t選取w(x,t)使v(x,t)的邊界條件化為齊次16蒼松優(yōu)選代入(i)得 的定解問題(ii) ,v x t2121001210121( )( )( )|0,|0|( )( )( )( )( )|( )( )( )( )( )ttxxxx lttxva vtttlvvxvxtttxlxvxtttxl 令 ,( , )( , )v x tu x tw x t17蒼松優(yōu)選如果仍取 的線性函數(shù)作為 ，則有 xw 120,xxxx lwa ttwa tt此時除非 ，

8、否則這兩式互相矛盾。 tt21 2,w x ta t xb t x)(10tuxx )(2tulxx 當(dāng)x0和x= =l 滿足第二類邊界條件注意：應(yīng)取18蒼松優(yōu)選例 定解問題22222000, 0,0;|0,|;|0,|0 xx lttuuaaxlttxuubuut 其中a, b為常數(shù). ,u x tv x tw x 解:令19蒼松優(yōu)選2( )ttxxva vwxa 代入方程，得 選 滿足 xw 200|0,|xx la wxawwb 它的解為 22222aalbw xxxaal 20蒼松優(yōu)選于是 滿足的方程為： txv, 22222000, 0,0;|0,|0;|,|0 xx lttvvax

9、lttxvvvvw xt 21蒼松優(yōu)選利用分離變量法，求解得 1,(cossin)sinnnnnananv x tctdtxlllnbnaalnnaalcncos2222223322其中從而，原定解問題的解為 2221,cossin22nnaalbnanu x txxctxaalll 0.nd 22蒼松優(yōu)選一. 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼? 原則:邊界條件的表達式最簡單.二. 若邊界條件是非齊次的, 引進輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的。三. 對于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個, 其 一是方程齊次, 并具有原定解條件的定解問題 (分離變量法)； 其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定

10、解問題(特征函數(shù)法).一般的定解問題的解法一般的定解問題的解法23蒼松優(yōu)選22222000sin, 0,0;|0,|;|0,|0 x xx x ltt tuuaatxl ttxuubuu例例 求下列定解問題的解求下列定解問題的解其中其中 為常數(shù)。為常數(shù)。, ,a b解解 1 1）邊界條件齊次化，令）邊界條件齊次化，令 ,u x tu x tg x t2,2bg x txl24蒼松優(yōu)選于是, 滿足如下定解問題(, )ux t2222220200sin, 0,0;|0,|0;|,|02xxxx ltt tuua baatxlttxluubuxul 2）將問題分解為兩個定解問題。設(shè),u x tv x

11、 tw x t25蒼松優(yōu)選022222002sin, 0,0;( )|0,|0|0;|0,xxxx ltt tvva baatxlttxliivvvv222022002, 0,0;( )|0,|0;|,|02xxxx ltt txltiwwwwabwxwtxl 26蒼松優(yōu)選3）求解問題）求解問題 (i), (ii) 。首先，利用分離變量法求解問題首先，利用分離變量法求解問題 (i) 。222lnn ,cos,nnnxxaxl特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)0, 1, 2,n tlandtlancttnnnsincos27蒼松優(yōu)選則則01,(cossin)cos2nnncanannw

12、 x tctdtxlll利用初始條件確定系數(shù)利用初始條件確定系數(shù)10222,( 1),0,(1,2,)3nnnblblccdnn 20|2tbwxl 0|0ttw計算可得計算可得28蒼松優(yōu)選其次，利用特征函數(shù)法求解問題其次，利用特征函數(shù)法求解問題 (ii) 將將 按問題（按問題（i）的特征函數(shù)系進行傅立葉展開）的特征函數(shù)系進行傅立葉展開( , )v x t 01,( )cosnnnv x tv tvtxl代入問題（代入問題（ii）的方程及初始條件，得）的方程及初始條件，得 2201cossinnnnnana bvtvtv txatlll(0)0, (0)0,(0,1,2,)nnvvn29蒼松優(yōu)選 220000;sin;00, 0000, 00nnnnnaa bvtvtvtatllvvvv問題轉(zhuǎn)化為求解下列常微分方程的初值問題問題轉(zhuǎn)化為求解下列常微分方程的初值問題解得解得220sin(