自動控制理論 課件 (6)

1、第六章第六章 狀態(tài)觀測與狀態(tài)最優(yōu)估計狀態(tài)觀測與狀態(tài)最優(yōu)估計第第6章章 狀態(tài)觀測與狀態(tài)最優(yōu)估計狀態(tài)觀測與狀態(tài)最優(yōu)估計 某些狀態(tài)量，或者由于不具明確的物理意義，或者由于量測手段的限制，在工程實際中不能直接獲取它們。狀態(tài)觀測器可實現對狀態(tài)的重構。而對于存在隨機噪聲的系統，則必須利用統計方法對狀態(tài)量進行最優(yōu)估計。 1 狀態(tài)重構與狀態(tài)觀測器狀態(tài)重構與狀態(tài)觀測器 一、狀態(tài)重構問題一、狀態(tài)重構問題 xAxBuyCx 輸入量u和輸出量y總是可以直接量測的，能否通過輸入量u和輸出量y間接獲取狀態(tài)量的信息。 為此，對輸出方程進行逐次微分運算，并代之以狀態(tài)方程，可得： 2(1)(1)(2)(3)(2) nnnnny

2、CxyCx = CAx+CBuyCAx+CBu = CA x+CABu+CBuyCAx+CABu+CABu+CBu(1)(2)(3)(2)(1)nnnnnyCyCBuCAxyCABuCABuCBuCA寫成矩陣方程形式： 矩陣 滿秩 ，x有唯一解。但實際應用中不可取。 1()TTTTnTTCA CAC啟示：如果系統滿足一定條件，利用系統的輸入量和輸出量，得到原系統狀態(tài)量的間接值 ，它在一定的指標下與x(t)等價。 ( ) tx( ) tx( ) tx 稱 為狀態(tài)量x(t)的重構值，將得到重構狀態(tài) 的系統稱為狀態(tài)觀測器，表示為 。等價性指標一般采用漸近等價，即 lim ( )lim ( )( )0

3、ttttt xxx如果狀態(tài)觀測器的維數與原系統的維數相同，稱為全維狀態(tài)觀測器；如果狀態(tài)觀測器的維數小于原系統的維數，稱為降維狀態(tài)觀測器。 二、全維狀態(tài)觀測器二、全維狀態(tài)觀測器1觀測器的構成用原系統的結構、輸入構造一個模擬系統：xAxBuyCx()x = xx = A xxAx有：( )(0) (0)(0)ttteeAAx=xxx開環(huán)型狀態(tài)觀測器 （1）A包含有不穩(wěn)定的特征值時，即使很小的 也會使 遠離x(t)； (0) x( ) tx（2）觀測器參數對原系統參數的任何偏離都會產生不利影響。 所以開環(huán)型狀態(tài)觀測器不能實際使用。解決的辦法是利用輸出偏差 進行反饋，反饋矩陣為M。如圖： ( )( )

4、( )ttt yyy觀測器的狀態(tài)方程式為： ()()xAxBuMyAxBuM yCx = AMC xBuMyMAMC 有望通過設計合適的偏差反饋矩陣M以調整觀測器系統矩陣的特征值（觀測器極點），實現漸近等價指標下的狀態(tài)重構。 ()( )0( )( ) ttttt 若的特征值都具有負實部，則有： ，即：狀態(tài)漸近重構。AMCxxx( )()t 衰減的快慢由特征值位置決定。xAMC 所以，一個性能優(yōu)良的觀測器應該是所有極點可以任意配置的。這就是觀測器的極點配置問題。2極點任意配置條件結論：系統能采用全維狀態(tài)觀測器重構其狀態(tài)，并且能通過改變M矩陣任意配置觀測器極點的充要條件是原系統完全能觀。( ,)(

5、,) TTT 對偶證明： 能觀能控A B CACB(,)()TTTTTT 的 可以通過 任意配置特征值,kAC K CBAC KK 其轉置 特征值不變，即通過 K 矩陣可任意配置特征值；()()TTTTAC KA K C 取 ，即矩陣(AMC)的特征值可通過M矩陣任意配置；TM K（1）判斷 的能觀性； 顯然原系統能觀，它對應的全維狀態(tài)觀測器就能通過改變M矩陣任意配置它的極點。3極點配置算法（1）判定 的能觀性； , A C（2）如能觀，寫出原系統的對偶系統 ; ( ,) A B C（3）利用狀態(tài)反饋極點配置算法求出期望極點為 的狀態(tài)反饋系統 的反饋矩陣 ； (1,2, )iin(,)kABK

6、 B CK（4）取 ; TMK（5）得狀態(tài)觀測器為： ()xAMC xBuMy 對于單輸出系統，除了通過對偶系統求解外，也有類似于單輸入系統狀態(tài)反饋極點配置的二種算法。 方法一（解聯立方程）： , A c*1*1101(1,2, )( )()innniniinsssasa sa（2）根據一組期望的極點寫出期望的特征多項式： 0113() ( )det()( ,)nysss m mm（）由觀測器方程寫出觀測器的特征多項式： xA mc xBumIA mc*011( )( ) Tnssmmm（4）由 同次冪系數相等求出。m=1300111 1uy ：已知系統 設計全維狀態(tài)觀測器，將極點配置在2、2

7、。xxx例例6 611（5）將m代入方程 ，得出全維狀態(tài)觀測器。 ()yxAmc xBum解解 （1）系統的能觀性矩陣為1 11 2oAcQc滿秩，系統能觀；010011432141mmmmmm 有0001111313 1 1101mmmmmm （3）觀測器的系統矩陣 Amc00201011113 ( )det()det()(21)1smmsssmm smmmsm 對應的特征多項式：IA mc31 即m*22 ( )(2)44ssss(2)期望特征多項式為：（4）由 *( )( )ss（5）得全維觀測器為 ：133032003()(1 1)011111211yuyuy xA mc x Bu m

8、 =x+x系統的狀態(tài)變量圖為：方法二（利用能觀規(guī)范型求）： （1）先判斷 的能觀性，若能觀，則往下進行 ； , A c（2）開環(huán)系統的特征多項式：1110detnnnssasa saIA（3）由給定的期望極點求得期望的特征多項式 ： *1*1101( )()nnninisssasa sa（4）按下式求取具有能觀規(guī)范型形式的狀態(tài)空間中的偏差反饋向量： 000111111nnnmaamaamaam（5）求取將原系統化為能觀規(guī)范型的變換矩陣P；m = Pm（6）由 求得偏差反饋向量m，并代入觀測器方程 。 對于期望極點的位置，僅從漸近收斂速度看，希望極點盡量遠離虛軸。但是極點離虛軸太遠，會使觀測器頻

9、帶過寬，不利于扼制觀測器輸入量的高頻干擾。要根據工程實際折衷考慮。 一般，系統中總有一部分狀態(tài)變量是可以直接量測的。從而，只需構造維數小于n的觀測器來得出另一部分狀態(tài)變量（降維狀態(tài)觀測器） 。如果 ，則有q個輸出變量是相互獨立的，那么由輸出方程就能得出q個狀態(tài)變量。例如極端情況 ，則后q個輸出量就是狀態(tài)變量，可量測；一般情況下，降維狀態(tài)觀測器的最小維數為 。 三、降維狀態(tài)觀測器三、降維狀態(tài)觀測器 0qCIrankqC =nrankC1. 降維狀態(tài)觀測器的構成( , , ),rankq考慮系統 ， 能觀，A B CCA C1112xxDx =x = Qx = P xxyC引入非奇異變換，使新狀態(tài)

10、空間的狀態(tài)量為： ) n qnq n（變換陣 其中 為使 非奇異的任意矩陣DQDQC使新狀態(tài)空間的輸出矩陣為： 0qC = CP =I11111122212221220q新狀態(tài)空間有：2xxBAAxuxAABxxyIxx0q為什么一定有？CI1 00qq 因為 又可表示為：DC CPCQ=CCDCCICIC q維分狀態(tài)向量 直接由y得出，而 維分狀態(tài)向量 需要通過觀測器重構。由上面式子可寫出： 2x()nq1x1111121211222xA xA yB uyA xA yB u121222為上述子系統的輸入向令量為上述子 系統的輸出向量vA yB u wyA yB u 1111211()n q于

11、是上述-維子系統可寫為：xA x w A x 為了重構(n-q)維狀態(tài)向量 ，只要構造上述子系統的全維狀態(tài)觀測器即可。1x 由于原系統能觀，非奇異變換后仍然能觀，它的部分狀態(tài)變量構成的子系統當然也能觀。所以能對上述子系統構造全維狀態(tài)觀測器。有： 1112111121112122211211121222() ()()()()()()xAMAxMwAMAxA yB uM yA yB uAMAxBMB uAMAyMy 上式含有輸出的導數項，這對于觀測器抗干擾及觀測值的唯一性考慮都是不允許的，為此引入一個新的狀態(tài)量：1zxMy11211212221121()()() zAMAzBMB uAMAAMAM

12、 y于是，降維狀態(tài)觀測器的方程可寫為： 或者寫為： 1121121222()()()() zAMAz+ MyBMB uAMAy而狀態(tài)量的重構值為： 12xzMyx yx如將非奇異變換矩陣表示為： 112P = QPP則在原狀態(tài)空間中狀態(tài)量的重構值為 ： 1212()zMyxPxPPP zMyP y y此即為(n-q)維降維狀態(tài)觀測器，也稱 Luenberger觀測器。降維狀態(tài)觀測器結構圖為： 2. 降維狀態(tài)觀測器的設計算法 判別 (A,C) 的能觀性，并確定q和 n-q：rankqC()1112 n q nq n 構造， 任取但使 非奇異，并求出DQDQQPPC P PP Pn(n-q) nq

13、1111112212220q得：，BAAAP APBP BCCPIAAB 對原系統實施非奇異變換：1x = Px = Q x 寫出降維狀態(tài)觀測器方程：11211212221121()()() zAMAzBMB uAMAAMAM y并按觀測器極點配置算法求出M； 寫出狀態(tài)量 的估計值 ：xx12xzMyx yx 經反變換求出原系統狀態(tài) x 的估計值 ： x1212()zMyxPPP zMyP y y1001001101001011000113系統 試設計一個降維狀態(tài)觀測器，希望極點為- 。xxu yx例例6 6- -2 2：21000111003012100013orankrankrank解：能

14、觀性判別 CSCACA1 0 020 1 1rankrankq 并有C3 21nq 1 非奇異變換 ， 得x = Px = Qx112001100011010 101100 構造變換矩陣 并求出DQCQPP1110001010 , 10 ,10102010001AP APBP BCCP11A12A21A22A1B2B0qI01mm 令 = ,寫出降維狀態(tài)觀測器方程：m*1100 ( )( ) 13 40sssmsmmm 由得： ，可任取，如取 112112122211210101010101112101001122()()()010(1)( 01)102100 00(1)011(1)1 2(2

15、 )zzmmzmmmmmmmmuym zmmmm mmuy AmABmB uAmAAmAm y uy 11A21A1B2B12A22A11A21A04m =即：1122223070163716uyzzzuyuy 降維觀測器方程為： 122111222044yzzyyxzyyyy寫出狀態(tài)量 的估計值 為： x x myxyx11122222 010()1 (4)013 100 4yyzzyzyyzy xPmyP y = :通過反變換得到 的估計值 x x可以畫出降維狀態(tài)觀測器如下：2 引入觀測器的狀態(tài)反饋控制系統引入觀測器的狀態(tài)反饋控制系統 一、系統的構成一、系統的構成 控制系統由三部分組成：被

16、控對象、狀態(tài)觀測器、狀態(tài)反饋控制。結構圖如下：控制對象：xAxBuyCx ()狀態(tài)觀測器（全維） ：xAMC xBuMy 控制作用：uvKx ()即：xAxBKxBvxMCxAMCBK xBv yCx將三部分合在一起，即得含觀測器的狀態(tài)反饋控制系統： 0kM ： xABKxBvMCAMCBKxBxxyCx二、系統的特性：二、系統的特性：1、系統的維數=原系統的維數+觀測器的維數。系統的特征值集合=狀態(tài)反饋系統的特征值集合+觀測器的特征值集合。系統矩陣為：kmABKAMCAMCBK引入非奇異變換：100 nnnnnn有IIPPIIII1000 0nnkmkmnnnnnnnIIABKAPA PII

17、IIMCAMCBKIABKABKBKIIAMCAMCAMC有：det()det()det0 det() det()KMKMssssss 狀態(tài)反饋的特征值觀測器特征值IABKBKIAIAIAMCIABKIAMC2、由上式還可以得出結論：通過K 配置系統特征值（閉環(huán)極點）和通過M配置觀測器特征值（極點）是互相分離的，可以完全獨立地進行。這就是分離性原理。 可見，系統的特征值由狀態(tài)反饋系統的特征值和狀態(tài)觀測器的特征值二部分組成。3、觀測器的引入不改變原狀態(tài)反饋系統的傳遞函數矩陣。上面的討論給出了 ，同樣可得新狀態(tài)空間的輸入矩陣和輸出矩陣： KMA100nKMKMnnIBBBP BIIB000nKMK

18、MnnICCPCCII非奇異變換不改變傳遞函數矩陣，所以有： 進一步分析可知， 具有按能控性分解的形式，能控子系統為 ，觀測器部分是不能控的。所以，觀測器的引入使狀態(tài)反饋控制系統不再保持能控性。 11111111( )()() 000()()() () 000() ()(KMKMKMKMKMKMKMKssssssssss GCIABCIABIA BKBKBCIAMCBIA BKIA BKBKIAMCCIAMCCIA BKBG) s1111100PQPP QRRR分塊矩陣的求逆公式： 必發(fā)生了零極點相消現象，相消的n個極點是屬于觀測器的。由于觀測器設計保證了其極點的漸近穩(wěn)定性，所以零極點相消不影

19、響閉環(huán)系統的正常運行。 ,KMKMKmABC,ABK B C 4、觀測器為漸近等價，觀測器動態(tài)特性將影響閉環(huán)系統動態(tài)特性，要求觀測器的動態(tài)過程快于閉環(huán)系統的動態(tài)過程是合理的。通常把觀測器特征值的負實部取為狀態(tài)反饋系統特征值的負實部的23倍。 010000020100010004011000332121uyjj： 設計一個引入降維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統，要求：觀測器極點為：- ，- 系統的閉環(huán)極點為：- ，- ，-xxx例例6 6 - - 3 3解解：（1）獨立設計降維狀態(tài)觀測器；1000010000200002o1)首先判斷系統的能觀性：，系統能觀。Q4133nqn q ，設計 維狀態(tài)觀

20、測器；2）構造非奇異變換矩陣Q,使變換后的0 0 0 1C對于該系統可以通過重新安排狀態(tài)變量實現，即輸出方程：1423324110000001xxxxyxxxx狀態(tài)方程為：4433221104001100000200100100 xxxxuxxxx11A21A12A22A1B2B3）降維狀態(tài)觀測器的方程為11211212221121001122012()()()0401 100001 00020 10040 001000020mmmmummmmm zAmAzBmBuAmAAmAm yz0011221020101222120014041 10 002 12mmmmymmmm mmmumm mym

21、mmz觀測器的特征多項式為：0321210224)det1( 24)( 24)02smssmsm smsmmsm (32( )(3) (3 2 ) (3 2 )93139sssjsjsss 由 求得：( )( )ss4）降維狀態(tài)觀測器的方程為期望的特征多項式應為： 01237.517.59mmm ，1122330437.51267.51017.50120029146zzzzuyzz5）狀態(tài)量 的重構值為： 14112323232137.537.517.517.599zxzyzyxzyzxzyxyy xzMyx yx12xx =x6）再順序安排狀態(tài)變量，得狀態(tài)量x的重構值 ： 123324191

22、7.537.5xyxzyxzyxzyx（2）獨立設計狀態(tài)反饋控制； 1）首先判別系統的能控性：0102102001041040cQ系統能控；2）由給定的期望閉環(huán)極點求得期望的閉環(huán)系統特征多項式為：*432( )(1)(2)(1)(1)510104ssssj sjssss 3）由閉環(huán)系統動態(tài)方程寫出的閉環(huán)系統特征多項式為：012301231230231230234321302101002( )det()det001422 010144 ()(4)22skskkkssskkkskskkkkkkssskkskkkskskk skksk sk IAbk4）由 求得 ： *( )( )ss0123251

23、610kkkk ，（3）引入狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制為：251610uvv kx =x11123223233410437.51267.591017.50120 17.502914637.5xyzzxzyzzuyxzyzzxzy010000020110000001000401uy，xxx被控對象：觀測器：251610uvv kx =x控制作用：可畫出引入觀測器的狀態(tài)反饋控制系統的狀態(tài)變量圖 ： 3 狀態(tài)最優(yōu)估計狀態(tài)最優(yōu)估計 一、狀態(tài)估計問題的描述一、狀態(tài)估計問題的描述( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ttttttt xAxBuFww(t)為m維隨機干擾(噪聲)向量，稱為系統（輸入）

24、噪聲； 狀態(tài)方程：測量方程： ( )( ) ( )( )tttty= Cx+ v(t)為q維隨機干擾（噪聲）向量，稱為測量噪聲； 所謂狀態(tài)估計就是根據測量值y(t)及隨機干擾的統計特性，對系統的狀態(tài)量進行估計，得出盡量接近狀態(tài)量真實值x(t)的估計值 。 ( ) tx 希望在一定的準則函數下所作出的估計是最好的，即最優(yōu)估計問題。最優(yōu)估計的解通過準則函數極小化（或極大化）得出。 用準則函數（或指標函數）來衡量估計的好壞。 不同的準則函數對應得出不同的估計方法。 二、最小二乘估計二、最小二乘估計以誤差平方和最小作為準則函數。 對系統進行k次測量，記第i次測量為 ： iiiy = C x+ k次測量

25、后，可得： 111222kkkyCyCxyC 1kqkqn1kq( )()()TJxyCxW yCx以加權誤差平方和（按測量值的精度分配權值）最小作為準則函數： 220TTJ C WyC WCx =x1()TTx = C WCC Wy1、靜態(tài)最小二乘估計 假設了測量過程中x不變 2、動態(tài)最小二乘估計實際的控制系統狀態(tài)量是變化的，變化規(guī)律由系統的狀態(tài)方程決定： 線性定常離散系統，下標表示時間，僅考慮測量噪聲 輸入為確定性輸入時，可設 0u =1iiiiixGxyCx 0ii kiiiikiyCxCG xCGx 0i kiikxGx = G x考慮 ，有： i kiikyCxCGx1()()()k

26、i kTi kkikiikiJxyCGxW yCGx12()()0ki kTTi kiikikJ GC W yCGx=x111() ()kki kTTi ki kTTkiiiiixGC WCGGC W y得：111() ()kki kTTi ki kTTkiiixGC CGGC yW = I時為：當同時考慮系統噪聲可得到類似的結果。 由測量序列 求得估計值 的基礎上，通過新測量值 對 的修正得出新估計值 ，解決存儲量和計算量不斷增大的問題。 3、最小二乘估計的遞推算法 12,ky yykx1kykx1kx以 的動態(tài)估計為例：W = I11111111111111111111111() () (

27、) () ()()()()kki kTTi ki kTTkiiikki kTTi kTi kTTTikiikkTi kTTi kTTi kTTTikii xGC CGGC yGC CGC CGC yC yGGC CGGC CGGC yC y令：1kkKxGx11()ki kTTi kkiPGC CG1TkkKPGP G考慮用 替代 ，上式為：11111111 TTkkkKkKkKxPC CPxC yi kikyCGxiy1111111 ()TTkkkKkKkKkKxxPCICPCyCx111111()()ABCAA B ICA BCA1111TTkkKkKKPCICPC再令：11111()kk

28、kkKkKxxKyCx則有：11111111111()ki kTTi kTkkkKkKi PGC CGP+C CIKC P還可推導出： 遞推計算：kx1kKxkP1kKP1kK1kx1kP三、線性最小方差估計三、線性最小方差估計估計值的方差最小作為準則函數。 一般需要已知系統噪聲、測量噪聲的概率密度以及它們的聯合概率密度，較難滿足。 xy 如果估計值 是測量值 的線性函數，則只需事先知道系統噪聲和測量噪聲的一、二階矩，即線性最小方差估計。 考慮估計值是測量值的線性函數： x = a+ By( )()() ()() TTVarEExxxxxa+ Byx a+ Byx估計值的方差： ( )( )(

29、 )( )( ) ( , )( , )TTTTVarEEEEEVarVarCovCovxbxxB yybxxB yybbxBy Bx y BBy x EEbaxBy令： 則：11111 ( , )( , ) ( , )( )( , )( , )( )( , )( , )( ) ( )( , )( ) ( , )( )( , )TTTTTVarVarCovCovCovVarCovCovVarCovCovVarVarCovVarVarCovVarCov= bbxBy Bx y BBy xx yyy xx yyy xBx yyyBx yybbxx yyy x( )Var x0b1( , )( )Co

30、vVarBx yy要求 最小，必須有：由此得：1 ( , )( ) ( )EEECovVarEx = a+ By =xBy + By =xx yyyy TVarVaryy( , )( , )TCovCovx yy x 在已知狀態(tài)量和測量量（或者系統噪聲和測量噪聲）的一、二階矩時，就能得到狀態(tài)量的線性最小方差估計值。 四、卡爾曼濾波四、卡爾曼濾波基于線性最小方差估計的遞推算法。為實際應用提供了可能性。 ,11,11kk kkk kkkkkk-xxFwyC x 確定性輸入，設 0u =,1k k-為一步轉移矩陣 系統噪聲和測量噪聲為零均值的白噪聲，它們相互獨立，并與狀態(tài)量也不相關。 1111111

31、11111()kkkiikkkkkkiikaaaaaaaaakkkkkk1一步預測與新息：一步預測 一步預測誤差 新息 加權修正系數 11()kkkkk kk kxxKyC x一步預測 一步預測誤差 增益矩陣 ,11,11()kk kkkkkk kk-xxKyC x,111k kkk k-xx估計值： 與 、 不相關， ，則：2估計誤差方差陣的求?。?11,11,11,11 ()()() ()()kkkkk kkkkkkk kkkkkk kkkkkkkkkk kkkk-xxxxxK yK C xIK CxxKC xyIK CxxK 估計誤差： kkkkyC x 估計誤差的方差陣： ,11,11

32、()() ()()() ()TkkkkkTTTTkkkk kkkkkk kkkkkkEE-PxxxxIK CxxKxxIK CK ,11,11,11,11() ()() () () ()() ()TTTTkkkkk kkkk kkkkkkkkTTTkkkk kkkk kkkkkkkEEE-PIK CxxxxIK CKKIK CxxxxIK CK R K k kx1kx TkkkE R 一步預測誤差的方差陣 ： ,11,11111()() ()() TTkk kkkk kkkkk kk kk kEE-Pxxxxxxxx又 與 、 不相關， ，可得：11111()() TTkkkkkkkkk kT

33、TTTTkkkkkkkkkkkk kk kk kk kPIK CPIK CK R KPK C PPC KK C PC KK R K得：,11,11,11,11,11,111,111,1111,11,1,11111()() ()() ()() Tk kkk kkk kkk kkk kkk kkk kTTTTk kkkk kkkkk kkk kTk kkkkkkEEE-PxFwxxFwxxxFwxxwFxxxx,1,11,1,11,1,11,1 TTkk kkk kTTk kkk kk kkk kFQFP FQF1kw1kx1kx111TkkkEwwQ 3增益矩陣 的求?。?kK估計誤差方差最小等

34、價于誤差方差陣的跡最小，即：()0kktrPK1111()()()()TTTTTkkkkkkkkkkkkk kk kk kk ktrtrtrtrtrtrPPK C PPC KK C PC KK R K而：和 為對稱矩陣，所以有：1111()()()TTTTTTTkkkkkkkkkkkk kk kk kk kktr PPCPCKC PCC PCKRRK()()TTTtrtrA XXAAXX()()TTtrXAXX AAX11()222TTkkkkkkkk kk kktr PPCK C PCK RK1k kPkR、令其為零，解得： 111()TTkkkkkk kk kKPCC PCR1111111111111111 () () () TTTTTkkkkk