自動(dòng)控制理論 課件 (6)

1、第六章第六章 狀態(tài)觀測(cè)與狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)狀態(tài)觀測(cè)與狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)第第6章章 狀態(tài)觀測(cè)與狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)狀態(tài)觀測(cè)與狀態(tài)最優(yōu)估計(jì) 某些狀態(tài)量，或者由于不具明確的物理意義，或者由于量測(cè)手段的限制，在工程實(shí)際中不能直接獲取它們。狀態(tài)觀測(cè)器可實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的重構(gòu)。而對(duì)于存在隨機(jī)噪聲的系統(tǒng)，則必須利用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。 1 狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器 一、狀態(tài)重構(gòu)問題一、狀態(tài)重構(gòu)問題 xAxBuyCx 輸入量u和輸出量y總是可以直接量測(cè)的，能否通過輸入量u和輸出量y間接獲取狀態(tài)量的信息。 為此，對(duì)輸出方程進(jìn)行逐次微分運(yùn)算，并代之以狀態(tài)方程，可得： 2(1)(1)(2)(3)(2) nnnnny

2、CxyCx = CAx+CBuyCAx+CBu = CA x+CABu+CBuyCAx+CABu+CABu+CBu(1)(2)(3)(2)(1)nnnnnyCyCBuCAxyCABuCABuCBuCA寫成矩陣方程形式： 矩陣 滿秩 ，x有唯一解。但實(shí)際應(yīng)用中不可取。 1()TTTTnTTCA CAC啟示：如果系統(tǒng)滿足一定條件，利用系統(tǒng)的輸入量和輸出量，得到原系統(tǒng)狀態(tài)量的間接值 ，它在一定的指標(biāo)下與x(t)等價(jià)。 ( ) tx( ) tx( ) tx 稱 為狀態(tài)量x(t)的重構(gòu)值，將得到重構(gòu)狀態(tài) 的系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測(cè)器，表示為 。等價(jià)性指標(biāo)一般采用漸近等價(jià)，即 lim ( )lim ( )( )0

3、ttttt xxx如果狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)與原系統(tǒng)的維數(shù)相同，稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器；如果狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)小于原系統(tǒng)的維數(shù)，稱為降維狀態(tài)觀測(cè)器。 二、全維狀態(tài)觀測(cè)器二、全維狀態(tài)觀測(cè)器1觀測(cè)器的構(gòu)成用原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入構(gòu)造一個(gè)模擬系統(tǒng)：xAxBuyCx()x = xx = A xxAx有：( )(0) (0)(0)ttteeAAx=xxx開環(huán)型狀態(tài)觀測(cè)器 （1）A包含有不穩(wěn)定的特征值時(shí)，即使很小的 也會(huì)使 遠(yuǎn)離x(t)； (0) x( ) tx（2）觀測(cè)器參數(shù)對(duì)原系統(tǒng)參數(shù)的任何偏離都會(huì)產(chǎn)生不利影響。 所以開環(huán)型狀態(tài)觀測(cè)器不能實(shí)際使用。解決的辦法是利用輸出偏差 進(jìn)行反饋，反饋矩陣為M。如圖： ( )( )

4、( )ttt yyy觀測(cè)器的狀態(tài)方程式為： ()()xAxBuMyAxBuM yCx = AMC xBuMyMAMC 有望通過設(shè)計(jì)合適的偏差反饋矩陣M以調(diào)整觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣的特征值（觀測(cè)器極點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)漸近等價(jià)指標(biāo)下的狀態(tài)重構(gòu)。 ()( )0( )( ) ttttt 若的特征值都具有負(fù)實(shí)部，則有： ，即：狀態(tài)漸近重構(gòu)。AMCxxx( )()t 衰減的快慢由特征值位置決定。xAMC 所以，一個(gè)性能優(yōu)良的觀測(cè)器應(yīng)該是所有極點(diǎn)可以任意配置的。這就是觀測(cè)器的極點(diǎn)配置問題。2極點(diǎn)任意配置條件結(jié)論：系統(tǒng)能采用全維狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)其狀態(tài)，并且能通過改變M矩陣任意配置觀測(cè)器極點(diǎn)的充要條件是原系統(tǒng)完全能觀。( ,)(

5、,) TTT 對(duì)偶證明： 能觀能控A B CACB(,)()TTTTTT 的 可以通過 任意配置特征值,kAC K CBAC KK 其轉(zhuǎn)置 特征值不變，即通過 K 矩陣可任意配置特征值；()()TTTTAC KA K C 取 ，即矩陣(AMC)的特征值可通過M矩陣任意配置；TM K（1）判斷 的能觀性； 顯然原系統(tǒng)能觀，它對(duì)應(yīng)的全維狀態(tài)觀測(cè)器就能通過改變M矩陣任意配置它的極點(diǎn)。3極點(diǎn)配置算法（1）判定 的能觀性； , A C（2）如能觀，寫出原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng) ; ( ,) A B C（3）利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置算法求出期望極點(diǎn)為 的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 的反饋矩陣 ； (1,2, )iin(,)kABK

6、 B CK（4）取 ; TMK（5）得狀態(tài)觀測(cè)器為： ()xAMC xBuMy 對(duì)于單輸出系統(tǒng)，除了通過對(duì)偶系統(tǒng)求解外，也有類似于單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的二種算法。 方法一（解聯(lián)立方程）： , A c*1*1101(1,2, )( )()innniniinsssasa sa（2）根據(jù)一組期望的極點(diǎn)寫出期望的特征多項(xiàng)式： 0113() ( )det()( ,)nysss m mm（）由觀測(cè)器方程寫出觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式： xA mc xBumIA mc*011( )( ) Tnssmmm（4）由 同次冪系數(shù)相等求出。m=1300111 1uy ：已知系統(tǒng) 設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，將極點(diǎn)配置在2、2

7、。xxx例例6 611（5）將m代入方程 ，得出全維狀態(tài)觀測(cè)器。 ()yxAmc xBum解解 （1）系統(tǒng)的能觀性矩陣為1 11 2oAcQc滿秩，系統(tǒng)能觀；010011432141mmmmmm 有0001111313 1 1101mmmmmm （3）觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣 Amc00201011113 ( )det()det()(21)1smmsssmm smmmsm 對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式：IA mc31 即m*22 ( )(2)44ssss(2)期望特征多項(xiàng)式為：（4）由 *( )( )ss（5）得全維觀測(cè)器為 ：133032003()(1 1)011111211yuyuy xA mc x Bu m

8、 =x+x系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖為：方法二（利用能觀規(guī)范型求）： （1）先判斷 的能觀性，若能觀，則往下進(jìn)行 ； , A c（2）開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：1110detnnnssasa saIA（3）由給定的期望極點(diǎn)求得期望的特征多項(xiàng)式 ： *1*1101( )()nnninisssasa sa（4）按下式求取具有能觀規(guī)范型形式的狀態(tài)空間中的偏差反饋向量： 000111111nnnmaamaamaam（5）求取將原系統(tǒng)化為能觀規(guī)范型的變換矩陣P；m = Pm（6）由 求得偏差反饋向量m，并代入觀測(cè)器方程 。 對(duì)于期望極點(diǎn)的位置，僅從漸近收斂速度看，希望極點(diǎn)盡量遠(yuǎn)離虛軸。但是極點(diǎn)離虛軸太遠(yuǎn)，會(huì)使觀測(cè)器頻

9、帶過寬，不利于扼制觀測(cè)器輸入量的高頻干擾。要根據(jù)工程實(shí)際折衷考慮。 一般，系統(tǒng)中總有一部分狀態(tài)變量是可以直接量測(cè)的。從而，只需構(gòu)造維數(shù)小于n的觀測(cè)器來得出另一部分狀態(tài)變量（降維狀態(tài)觀測(cè)器） 。如果 ，則有q個(gè)輸出變量是相互獨(dú)立的，那么由輸出方程就能得出q個(gè)狀態(tài)變量。例如極端情況 ，則后q個(gè)輸出量就是狀態(tài)變量，可量測(cè)；一般情況下，降維狀態(tài)觀測(cè)器的最小維數(shù)為 。 三、降維狀態(tài)觀測(cè)器三、降維狀態(tài)觀測(cè)器 0qCIrankqC =nrankC1. 降維狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)成( , , ),rankq考慮系統(tǒng) ， 能觀，A B CCA C1112xxDx =x = Qx = P xxyC引入非奇異變換，使新狀態(tài)

10、空間的狀態(tài)量為： ) n qnq n（變換陣 其中 為使 非奇異的任意矩陣DQDQC使新狀態(tài)空間的輸出矩陣為： 0qC = CP =I11111122212221220q新狀態(tài)空間有：2xxBAAxuxAABxxyIxx0q為什么一定有？CI1 00qq 因?yàn)?又可表示為：DC CPCQ=CCDCCICIC q維分狀態(tài)向量 直接由y得出，而 維分狀態(tài)向量 需要通過觀測(cè)器重構(gòu)。由上面式子可寫出： 2x()nq1x1111121211222xA xA yB uyA xA yB u121222為上述子系統(tǒng)的輸入向令量為上述子 系統(tǒng)的輸出向量vA yB u wyA yB u 1111211()n q于

11、是上述-維子系統(tǒng)可寫為：xA x w A x 為了重構(gòu)(n-q)維狀態(tài)向量 ，只要構(gòu)造上述子系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測(cè)器即可。1x 由于原系統(tǒng)能觀，非奇異變換后仍然能觀，它的部分狀態(tài)變量構(gòu)成的子系統(tǒng)當(dāng)然也能觀。所以能對(duì)上述子系統(tǒng)構(gòu)造全維狀態(tài)觀測(cè)器。有： 1112111121112122211211121222() ()()()()()()xAMAxMwAMAxA yB uM yA yB uAMAxBMB uAMAyMy 上式含有輸出的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這對(duì)于觀測(cè)器抗干擾及觀測(cè)值的唯一性考慮都是不允許的，為此引入一個(gè)新的狀態(tài)量：1zxMy11211212221121()()() zAMAzBMB uAMAAMAM

12、 y于是，降維狀態(tài)觀測(cè)器的方程可寫為： 或者寫為： 1121121222()()()() zAMAz+ MyBMB uAMAy而狀態(tài)量的重構(gòu)值為： 12xzMyx yx如將非奇異變換矩陣表示為： 112P = QPP則在原狀態(tài)空間中狀態(tài)量的重構(gòu)值為 ： 1212()zMyxPxPPP zMyP y y此即為(n-q)維降維狀態(tài)觀測(cè)器，也稱 Luenberger觀測(cè)器。降維狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖為： 2. 降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)算法 判別 (A,C) 的能觀性，并確定q和 n-q：rankqC()1112 n q nq n 構(gòu)造， 任取但使 非奇異，并求出DQDQQPPC P PP Pn(n-q) nq

13、1111112212220q得：，BAAAP APBP BCCPIAAB 對(duì)原系統(tǒng)實(shí)施非奇異變換：1x = Px = Q x 寫出降維狀態(tài)觀測(cè)器方程：11211212221121()()() zAMAzBMB uAMAAMAM y并按觀測(cè)器極點(diǎn)配置算法求出M； 寫出狀態(tài)量 的估計(jì)值 ：xx12xzMyx yx 經(jīng)反變換求出原系統(tǒng)狀態(tài) x 的估計(jì)值 ： x1212()zMyxPPP zMyP y y1001001101001011000113系統(tǒng) 試設(shè)計(jì)一個(gè)降維狀態(tài)觀測(cè)器，希望極點(diǎn)為- 。xxu yx例例6 6- -2 2：21000111003012100013orankrankrank解：能

14、觀性判別 CSCACA1 0 020 1 1rankrankq 并有C3 21nq 1 非奇異變換 ， 得x = Px = Qx112001100011010 101100 構(gòu)造變換矩陣 并求出DQCQPP1110001010 , 10 ,10102010001AP APBP BCCP11A12A21A22A1B2B0qI01mm 令 = ,寫出降維狀態(tài)觀測(cè)器方程：m*1100 ( )( ) 13 40sssmsmmm 由得： ，可任取，如取 112112122211210101010101112101001122()()()010(1)( 01)102100 00(1)011(1)1 2(2

15、 )zzmmzmmmmmmmmuym zmmmm mmuy AmABmB uAmAAmAm y uy 11A21A1B2B12A22A11A21A04m =即：1122223070163716uyzzzuyuy 降維觀測(cè)器方程為： 122111222044yzzyyxzyyyy寫出狀態(tài)量 的估計(jì)值 為： x x myxyx11122222 010()1 (4)013 100 4yyzzyzyyzy xPmyP y = :通過反變換得到 的估計(jì)值 x x可以畫出降維狀態(tài)觀測(cè)器如下：2 引入觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)引入觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng) 一、系統(tǒng)的構(gòu)成一、系統(tǒng)的構(gòu)成 控制系統(tǒng)由三部分組成：被

16、控對(duì)象、狀態(tài)觀測(cè)器、狀態(tài)反饋控制。結(jié)構(gòu)圖如下：控制對(duì)象：xAxBuyCx ()狀態(tài)觀測(cè)器（全維） ：xAMC xBuMy 控制作用：uvKx ()即：xAxBKxBvxMCxAMCBK xBv yCx將三部分合在一起，即得含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)： 0kM ： xABKxBvMCAMCBKxBxxyCx二、系統(tǒng)的特性：二、系統(tǒng)的特性：1、系統(tǒng)的維數(shù)=原系統(tǒng)的維數(shù)+觀測(cè)器的維數(shù)。系統(tǒng)的特征值集合=狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征值集合+觀測(cè)器的特征值集合。系統(tǒng)矩陣為：kmABKAMCAMCBK引入非奇異變換：100 nnnnnn有IIPPIIII1000 0nnkmkmnnnnnnnIIABKAPA PII

17、IIMCAMCBKIABKABKBKIIAMCAMCAMC有：det()det()det0 det() det()KMKMssssss 狀態(tài)反饋的特征值觀測(cè)器特征值IABKBKIAIAIAMCIABKIAMC2、由上式還可以得出結(jié)論：通過K 配置系統(tǒng)特征值（閉環(huán)極點(diǎn)）和通過M配置觀測(cè)器特征值（極點(diǎn)）是互相分離的，可以完全獨(dú)立地進(jìn)行。這就是分離性原理。 可見，系統(tǒng)的特征值由狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征值和狀態(tài)觀測(cè)器的特征值二部分組成。3、觀測(cè)器的引入不改變?cè)瓲顟B(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。上面的討論給出了 ，同樣可得新狀態(tài)空間的輸入矩陣和輸出矩陣： KMA100nKMKMnnIBBBP BIIB000nKMK

18、MnnICCPCCII非奇異變換不改變傳遞函數(shù)矩陣，所以有： 進(jìn)一步分析可知， 具有按能控性分解的形式，能控子系統(tǒng)為 ，觀測(cè)器部分是不能控的。所以，觀測(cè)器的引入使?fàn)顟B(tài)反饋控制系統(tǒng)不再保持能控性。 11111111( )()() 000()()() () 000() ()(KMKMKMKMKMKMKMKssssssssss GCIABCIABIA BKBKBCIAMCBIA BKIA BKBKIAMCCIAMCCIA BKBG) s1111100PQPP QRRR分塊矩陣的求逆公式： 必發(fā)生了零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，相消的n個(gè)極點(diǎn)是屬于觀測(cè)器的。由于觀測(cè)器設(shè)計(jì)保證了其極點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性，所以零極點(diǎn)相消不影

19、響閉環(huán)系統(tǒng)的正常運(yùn)行。 ,KMKMKmABC,ABK B C 4、觀測(cè)器為漸近等價(jià)，觀測(cè)器動(dòng)態(tài)特性將影響閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，要求觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)過程快于閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程是合理的。通常把觀測(cè)器特征值的負(fù)實(shí)部取為狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征值的負(fù)實(shí)部的23倍。 010000020100010004011000332121uyjj： 設(shè)計(jì)一個(gè)引入降維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，要求：觀測(cè)器極點(diǎn)為：- ，- 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為：- ，- ，-xxx例例6 6 - - 3 3解解：（1）獨(dú)立設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器；1000010000200002o1)首先判斷系統(tǒng)的能觀性：，系統(tǒng)能觀。Q4133nqn q ，設(shè)計(jì) 維狀態(tài)觀

20、測(cè)器；2）構(gòu)造非奇異變換矩陣Q,使變換后的0 0 0 1C對(duì)于該系統(tǒng)可以通過重新安排狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)，即輸出方程：1423324110000001xxxxyxxxx狀態(tài)方程為：4433221104001100000200100100 xxxxuxxxx11A21A12A22A1B2B3）降維狀態(tài)觀測(cè)器的方程為11211212221121001122012()()()0401 100001 00020 10040 001000020mmmmummmmm zAmAzBmBuAmAAmAm yz0011221020101222120014041 10 002 12mmmmymmmm mmmumm mym

21、mmz觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為：0321210224)det1( 24)( 24)02smssmsm smsmmsm (32( )(3) (3 2 ) (3 2 )93139sssjsjsss 由 求得：( )( )ss4）降維狀態(tài)觀測(cè)器的方程為期望的特征多項(xiàng)式應(yīng)為： 01237.517.59mmm ，1122330437.51267.51017.50120029146zzzzuyzz5）狀態(tài)量 的重構(gòu)值為： 14112323232137.537.517.517.599zxzyzyxzyzxzyxyy xzMyx yx12xx =x6）再順序安排狀態(tài)變量，得狀態(tài)量x的重構(gòu)值 ： 123324191

22、7.537.5xyxzyxzyxzyx（2）獨(dú)立設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制； 1）首先判別系統(tǒng)的能控性：0102102001041040cQ系統(tǒng)能控；2）由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)求得期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：*432( )(1)(2)(1)(1)510104ssssj sjssss 3）由閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程寫出的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：012301231230231230234321302101002( )det()det001422 010144 ()(4)22skskkkssskkkskskkkkkkssskkskkkskskk skksk sk IAbk4）由 求得 ： *( )( )ss0123251

23、610kkkk ，（3）引入狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制為：251610uvv kx =x11123223233410437.51267.591017.50120 17.502914637.5xyzzxzyzzuyxzyzzxzy010000020110000001000401uy，xxx被控對(duì)象：觀測(cè)器：251610uvv kx =x控制作用：可畫出引入觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 ： 3 狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì) 一、狀態(tài)估計(jì)問題的描述一、狀態(tài)估計(jì)問題的描述( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ttttttt xAxBuFww(t)為m維隨機(jī)干擾(噪聲)向量，稱為系統(tǒng)（輸入）

24、噪聲； 狀態(tài)方程：測(cè)量方程： ( )( ) ( )( )tttty= Cx+ v(t)為q維隨機(jī)干擾（噪聲）向量，稱為測(cè)量噪聲； 所謂狀態(tài)估計(jì)就是根據(jù)測(cè)量值y(t)及隨機(jī)干擾的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)量進(jìn)行估計(jì)，得出盡量接近狀態(tài)量真實(shí)值x(t)的估計(jì)值 。 ( ) tx 希望在一定的準(zhǔn)則函數(shù)下所作出的估計(jì)是最好的，即最優(yōu)估計(jì)問題。最優(yōu)估計(jì)的解通過準(zhǔn)則函數(shù)極小化（或極大化）得出。 用準(zhǔn)則函數(shù)（或指標(biāo)函數(shù)）來衡量估計(jì)的好壞。 不同的準(zhǔn)則函數(shù)對(duì)應(yīng)得出不同的估計(jì)方法。 二、最小二乘估計(jì)二、最小二乘估計(jì)以誤差平方和最小作為準(zhǔn)則函數(shù)。 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行k次測(cè)量，記第i次測(cè)量為 ： iiiy = C x+ k次測(cè)量

25、后，可得： 111222kkkyCyCxyC 1kqkqn1kq( )()()TJxyCxW yCx以加權(quán)誤差平方和（按測(cè)量值的精度分配權(quán)值）最小作為準(zhǔn)則函數(shù)： 220TTJ C WyC WCx =x1()TTx = C WCC Wy1、靜態(tài)最小二乘估計(jì) 假設(shè)了測(cè)量過程中x不變 2、動(dòng)態(tài)最小二乘估計(jì)實(shí)際的控制系統(tǒng)狀態(tài)量是變化的，變化規(guī)律由系統(tǒng)的狀態(tài)方程決定： 線性定常離散系統(tǒng)，下標(biāo)表示時(shí)間，僅考慮測(cè)量噪聲 輸入為確定性輸入時(shí)，可設(shè) 0u =1iiiiixGxyCx 0ii kiiiikiyCxCG xCGx 0i kiikxGx = G x考慮 ，有： i kiikyCxCGx1()()()k

26、i kTi kkikiikiJxyCGxW yCGx12()()0ki kTTi kiikikJ GC W yCGx=x111() ()kki kTTi ki kTTkiiiiixGC WCGGC W y得：111() ()kki kTTi ki kTTkiiixGC CGGC yW = I時(shí)為：當(dāng)同時(shí)考慮系統(tǒng)噪聲可得到類似的結(jié)果。 由測(cè)量序列 求得估計(jì)值 的基礎(chǔ)上，通過新測(cè)量值 對(duì) 的修正得出新估計(jì)值 ，解決存儲(chǔ)量和計(jì)算量不斷增大的問題。 3、最小二乘估計(jì)的遞推算法 12,ky yykx1kykx1kx以 的動(dòng)態(tài)估計(jì)為例：W = I11111111111111111111111() () (

27、) () ()()()()kki kTTi ki kTTkiiikki kTTi kTi kTTTikiikkTi kTTi kTTi kTTTikii xGC CGGC yGC CGC CGC yC yGGC CGGC CGGC yC y令：1kkKxGx11()ki kTTi kkiPGC CG1TkkKPGP G考慮用 替代 ，上式為：11111111 TTkkkKkKkKxPC CPxC yi kikyCGxiy1111111 ()TTkkkKkKkKkKxxPCICPCyCx111111()()ABCAA B ICA BCA1111TTkkKkKKPCICPC再令：11111()kk

28、kkKkKxxKyCx則有：11111111111()ki kTTi kTkkkKkKi PGC CGP+C CIKC P還可推導(dǎo)出： 遞推計(jì)算：kx1kKxkP1kKP1kK1kx1kP三、線性最小方差估計(jì)三、線性最小方差估計(jì)估計(jì)值的方差最小作為準(zhǔn)則函數(shù)。 一般需要已知系統(tǒng)噪聲、測(cè)量噪聲的概率密度以及它們的聯(lián)合概率密度，較難滿足。 xy 如果估計(jì)值 是測(cè)量值 的線性函數(shù)，則只需事先知道系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲的一、二階矩，即線性最小方差估計(jì)。 考慮估計(jì)值是測(cè)量值的線性函數(shù)： x = a+ By( )()() ()() TTVarEExxxxxa+ Byx a+ Byx估計(jì)值的方差： ( )( )(

29、 )( )( ) ( , )( , )TTTTVarEEEEEVarVarCovCovxbxxB yybxxB yybbxBy Bx y BBy x EEbaxBy令： 則：11111 ( , )( , ) ( , )( )( , )( , )( )( , )( , )( ) ( )( , )( ) ( , )( )( , )TTTTTVarVarCovCovCovVarCovCovVarCovCovVarVarCovVarVarCovVarCov= bbxBy Bx y BBy xx yyy xx yyy xBx yyyBx yybbxx yyy x( )Var x0b1( , )( )Co

30、vVarBx yy要求 最小，必須有：由此得：1 ( , )( ) ( )EEECovVarEx = a+ By =xBy + By =xx yyyy TVarVaryy( , )( , )TCovCovx yy x 在已知狀態(tài)量和測(cè)量量（或者系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲）的一、二階矩時(shí)，就能得到狀態(tài)量的線性最小方差估計(jì)值。 四、卡爾曼濾波四、卡爾曼濾波基于線性最小方差估計(jì)的遞推算法。為實(shí)際應(yīng)用提供了可能性。 ,11,11kk kkk kkkkkk-xxFwyC x 確定性輸入，設(shè) 0u =,1k k-為一步轉(zhuǎn)移矩陣 系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲為零均值的白噪聲，它們相互獨(dú)立，并與狀態(tài)量也不相關(guān)。 1111111

31、11111()kkkiikkkkkkiikaaaaaaaaakkkkkk1一步預(yù)測(cè)與新息：一步預(yù)測(cè) 一步預(yù)測(cè)誤差 新息 加權(quán)修正系數(shù) 11()kkkkk kk kxxKyC x一步預(yù)測(cè) 一步預(yù)測(cè)誤差 增益矩陣 ,11,11()kk kkkkkk kk-xxKyC x,111k kkk k-xx估計(jì)值： 與 、 不相關(guān)， ，則：2估計(jì)誤差方差陣的求?。?11,11,11,11 ()()() ()()kkkkk kkkkkkk kkkkkk kkkkkkkkkk kkkk-xxxxxK yK C xIK CxxKC xyIK CxxK 估計(jì)誤差： kkkkyC x 估計(jì)誤差的方差陣： ,11,11

32、()() ()()() ()TkkkkkTTTTkkkk kkkkkk kkkkkkEE-PxxxxIK CxxKxxIK CK ,11,11,11,11() ()() () () ()() ()TTTTkkkkk kkkk kkkkkkkkTTTkkkk kkkk kkkkkkkEEE-PIK CxxxxIK CKKIK CxxxxIK CK R K k kx1kx TkkkE R 一步預(yù)測(cè)誤差的方差陣 ： ,11,11111()() ()() TTkk kkkk kkkkk kk kk kEE-Pxxxxxxxx又 與 、 不相關(guān)， ，可得：11111()() TTkkkkkkkkk kT

33、TTTTkkkkkkkkkkkk kk kk kk kPIK CPIK CK R KPK C PPC KK C PC KK R K得：,11,11,11,11,11,111,111,1111,11,1,11111()() ()() ()() Tk kkk kkk kkk kkk kkk kkk kTTTTk kkkk kkkkk kkk kTk kkkkkkEEE-PxFwxxFwxxxFwxxwFxxxx,1,11,1,11,1,11,1 TTkk kkk kTTk kkk kk kkk kFQFP FQF1kw1kx1kx111TkkkEwwQ 3增益矩陣 的求?。?kK估計(jì)誤差方差最小等

34、價(jià)于誤差方差陣的跡最小，即：()0kktrPK1111()()()()TTTTTkkkkkkkkkkkkk kk kk kk ktrtrtrtrtrtrPPK C PPC KK C PC KK R K而：和 為對(duì)稱矩陣，所以有：1111()()()TTTTTTTkkkkkkkkkkkk kk kk kk kktr PPCPCKC PCC PCKRRK()()TTTtrtrA XXAAXX()()TTtrXAXX AAX11()222TTkkkkkkkk kk kktr PPCK C PCK RK1k kPkR、令其為零，解得： 111()TTkkkkkk kk kKPCC PCR1111111111111111 () () () TTTTTkkkkk