非線性結構有限元分析

1、在工程結構的分析計算中，從本質上講，所有力學問題都是非線性的，線性假設只是實際問題的一種簡化。對于固體或結構力學非線性問題來說,有限元法是一種有效的數值方法。通常把結構非線性問題分為兩大類：幾何非線性和材料非線性。這主要包括三個方面：一、一、是在大位移問題中，盡管位移很大，結構的應變仍然不大，屬于大位移小應變問題，材料的應力-應變關系仍是線性的，只是應變-位移關系是非線性的。物體經歷大的剛體位移和轉動，固連于物體坐標系中的應變分量仍假設為小量。二、二、是非線性效應由應變應力關系的非線性所引起，位移分量仍假設為小量，應力-應變關系是非線性的，即材料非線性問題；最一般的情況是位移、轉動和應變都不再

2、是小量，不但位移-應變是非線性的，而且應力-應變關系也是非線性的，即雙重非線性問題。 對于結構的幾何非線性和材料非線性分析，可以歸結為外力與內力的平衡方程，它是關于節(jié)點位移的非線性方程；非線性的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)溫度場計算歸結為熱流平衡方程，它是關于節(jié)點溫度的非線性方程；因此非線性分析的有限元計算最終歸結為非線性方程求解。非線性分析簡而言之就是：將系統(tǒng)的平衡方程式根據系統(tǒng)的非線性特性不斷地進行修正，然后求平衡方程的增量解。如果是幾何非線性，則在新的一步增量求解之前，坐標系進行修正，然后去求解方程，并計算幾何非線性對剛度陣和載荷陣的修正。若為材料非線性，則是將等效剛度陣和載荷陣不斷地進行修正，然后進行求

3、解。 1. 修正的牛頓迭代法。它與完全的牛頓法的不同在于迭代過程中系數矩陣保持不變，因此不需要重新形成和分解剛度陣，從而大大減少了計算量。但是這樣又帶來了收斂速度慢和發(fā)散問題，對此程序中加入了加速收斂和發(fā)散處理的措施。這些措施并不明顯地增加求解的時間，但卻會對修正的牛頓迭代法的性能有所改進。在程序中，對增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛頓迭代法或BFGS法。2. BFGS法。又稱矩陣修正迭代，是擬牛頓法的一種。它實際上是完全的牛頓法與修正的牛頓法之間的一種折中方法。因為它在迭代過程中，并不重新形成程序對幾何非線性的考慮可采用完全的拉格朗日公式或改進的拉格朗日公式。在非線性動態(tài)分析中采用隱式時間

4、積分（Newmarli法和Wilson- 法）或顯式時間積分（中心差分法）的方法。隱式時間積分通常用來分析結構的振動問題，顯式時間積分主要用來分析波傳布現象。 剛度陣，但也不保持不變，而是用某種方法對剛度陣（確切地說是對它的逆）進行修改，從而求解。它在有限元分析遇到的許多問題中，具有相當好的收斂性，尤其在復雜材料的非線性分析和動態(tài)分析中推薦采用BFGS法。 dvuuDdvuumRudsqudvqudvTvTvTsTsvTvTv00 CuBuNu一、線性問題的基本方程一、線性問題的基本方程由復雜結構受力平衡問題的虛功方程有:（10-1）上式左端為內力的虛功，右端為外力的功。 由于： 式中 u為單

5、元體內的位移； u為節(jié)點位移； N形函數陣； C彈性系數矩陣。代入上式并整理后得線性問題有限元基本方程 uDuMRuK 外載荷陣0RdsqNdvqNRssTvvT次導數；為節(jié)點位移對時間的二u次導數。為節(jié)點位移對時間的一u（10-2）阻尼矩陣質量矩陣剛度矩陣dvNDNDdvNmNMdvBCBKvTvTvT（10-3）（10-4）（10-5）（10-6） 其中：RuKuDuMtttttttt RuK 對于靜力問題方程簡化為：（10-7）tt 對動力分析問題，在 時的控制平衡方程為：（10-8） 解此方程也用隱式時間積分，顯式時間積分或振形迭加 法求解。 WdvSttoovttTtto Rudsq

6、udvquWttoossttoTovvttoTtto二、非線性問題的基本方程二、非線性問題的基本方程 對于非線性問題通常不能用一步直接求解方案，必須分成若干步加載,按各個階段不同的非線性性質逐步求解，即增量求解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知設：0，t，2t的位移和應力（各載荷步的） 要求出：t+t步時的位移和應力。 全拉格朗日（TL）公式 以t=0時刻狀態(tài)為度量基準，求t+t時刻的值。 由虛功方程：（10-9）（10-10） 其中： SSStototto ototto uuuototto oooe oooCS 其中 為彈塑性關系矩陣。利用（10-11）-（10-15），注意到： ，方程

7、（10-9）可改寫成增量形式：Cootto 寫成增量形式 ：（10-11）（10-12）（10-13）（10-14）增量應力、應變之間的關系有：（10-15） WdvSedvSdvCdvdvdvttoovtoToovtoToovooTotoTooToovotoTo ovtoTottoovtoToovooTodvSeWdvSdvee WdvSttttvtttTttt線性化處理后：（10-16）（10-17）此為增量形式的全拉格朗日（TL）方程。 改進的拉格朗日（UL）公式與TL公式推導類似，只是它以t=t時刻（即變形后）的狀態(tài)為度量基準。由虛功方程： （10-18） RudsqudvquWttt

8、TtsstttTtvvtttTtto SSttttt tttt uutttt ttte tttCS其中：增量關系為：（10-19）（10-20） （10-21） St t ut式中： ， ， 為增量應力、應變和位移； t 為t時刻的Canchy應力張量。 t et t 將 分成線性主部 和非線性部分 則有：應用增量應力、應變關系（10-22）（10-23） WdvdvedvCttttvtTttvtTttvttTt ，ett ett tvtTtttttvtTttvttTtdveWdvdveCe代入（10-18）則變?yōu)椋哼M行線性的處理：（10-24）（10-25） 此為改進的拉格朗日（ UL ）公

9、式。三、非線性問題有限元基本方程三、非線性問題有限元基本方程有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方法進行有限元離散，從而得到非線性問題的有限元基本方程。（10-25）nkkikinkkitkituNuuNu11； kiikitituNuuNu；nkkittkittnkkitkitnkkikixNxxNxxNx11100，取位移插值函數為：寫成矩陣形式：（10-26）（10-27）其中：Nk為插值函數，N為形函數矩陣；kikituu ， 為k點i方向上t時刻的位移和位移增量； n為單元節(jié)點數。取坐標變換為：（10-28）kittxkix0kitx其中： ， ， 為節(jié)點k，i方

10、向上在0，t， t+t時刻的節(jié)點坐標值。 FRuKKtttKNLtLt0000dvBCBKLtvTLtLt00000將（10-27）， （10-28）代入TL方程（10-17）式可得 ：其中：（10-29）（10-30） dveCevT0000為線性部分剛度矩陣，由 積分得到； dveCevT0為單元內部變形功； e 為變形增量； uBe 為應變位移關系； eC為應力應變關系； dvBCBKvTL0 uKudvuBCBudvuBCBudvuBCuBdveCeLTvTTvTTvTvT0000 FuKFuuKuLTLT（10-31）（10-32）令：由單元內部變形功等于作用在節(jié)點上得單元外力功即：

11、（10-33） dvBSBKNLvtTNLtNLt0000 dvSvtT000其中： 為非線性部分剛度矩陣，由 積分得到； uMFRuKKtttttKNLtLt 000 為與應力等效的節(jié)點力矩陣， 由 積分得到； 為載荷陣，由 項推倒得到 分別為線性和非線性應變位移關系矩陣； 為應力應變關系陣； 為應力矩陣； 為應力分量。 dvSBFvtLtt0000 dvSevtT0000Rtt 0Wtt 0NLtLtBB00，C0 St0 St0同理，對于動力學問題， TL形式的非線性有限元基本方程，只須在右端加上慣性力項，即：（10-34） FRuKKttttKNLttLtt 為線性剛度矩陣部分； 為非

12、線性影響部分剛度矩陣； 為與應力等效的節(jié)點力陣。 dvBCBKLtttvtTLttLtt dvBBKNLtttvtTNLttNLtt dvBFtvtTLtttt uMFRuKKttttttKNLttLtt 同理，對改進拉格朗日UL形式的非線性增量有限元基本方程：（10-35）其中：對于動力學問題的UL非線性有限元基本方程為：（10-36）方程 （10-29）， （10-34） ，（10-35） ，（10-36）即為非線性靜力，動力分析的有限元基本增量方程。如果采用適當材料應力-應變關系矩陣。 TL和UL公式可以得到同樣的計算結果。一般UL公式計算效率更高些。這兩個方程對各類單元，各種材料模式都

13、是適合的。 FRuKKtttNLtLt0000 FRuKKttttNLttLtt0 dvBCBKtvTtLt00 SCCS1，由非線性有限元基本方程中的增量形式：（10-37）（10-38）ULTL這些公式適用于各類單元和各類材料模式，若單元類型相同，材料模式不同，在運算中體現在剛度陣和應力計算中用不同的C： 即： （10-39）（10-40）式中C陣對不同材料具有不同形式和數值，故對材料模式討論，歸結為對C陣的建立的討論。 C Tzxyx Tzxyx 66666261262221161211aaaaaaaaaC 線彈性材料：線彈性材料： 廣義虎克定律：其中：a11a66中的所有元素都是常量就

14、是為線性的。yxxaa1211 對于線性的 為應變的線性組合；個對立常數；只有21jiijaa 32312166119aaaaa，個獨立常數32312166112aaaaa，個獨立常數 極端各向異性： 線性材料 正交各向異性： 各 向 同 性： 即： ，E。xyzyxyxxGEEE2)()21)(1 ()1 ()1 (22)(/1)(/1)(/1yxzxzxyxzyxxEEE2 / )21 (2 / )21 (2 / )21 (00111zxxzxxE)21)(1 (一、各向同性的一、各向同性的C矩陣：矩陣：（10-41） 1 C 1323123322221113333222111211332

15、221111/1/1/100/1/1/1GGGEEEEEEEEEC二、正交各向異性材料二、正交各向異性材料C-1陣：陣：（10-42）如果在物體內每一點有三個互相正交的彈性對稱面，在每個面兩邊的對稱方向上彈性相同，但在這三個方面上彈性并不相同，這種物體稱為正交各向異性體，煤就是屬于這一種。2 / )21 (2 / )21 (2 / )21 (00111 )21)(1 (EC（10-43） TEC21三、各向同性熱彈性材料：三、各向同性熱彈性材料： 認為：E，是隨溫度的變化而變化的，所以它是一種非線性材料模型。在某一特定溫度下的C陣為： 其中：應力計算必須考慮溫度對應變的影響。 即： ttttT

16、T00，其中 為溫度變化值。（10-44） GGGGKGKGKGKGKGKGKGKGKC00343232323432323234四、土壤，巖石材料模式：四、土壤，巖石材料模式：1. 土壤，巖石視為各向同性非線性材料。)21 (3EK)1 (2EG 考慮到土壤和巖石的抗壓性能與體積壓縮的應變（ev）有關，所以材料C陣可用體積模量K和剪切模量G表示更方便些，由于體積模量 ，剪切模量 所以C陣可用K和G來表示為：計算時須按單元所計算點上的體積應變的大小從曲線（圖10-1）上用線性插值找出相應的K，G值。然后形成對應于該點的應變狀態(tài)的C陣。從而再計算剛度矩陣和應力。evb 體積變形ev10KL加載ev

17、bev10Kuevevbev10G加載圖 10-1其中，K，G是體積壓縮應變ev的函數，不是常數圖 10-2e O A C B euecu c OA=E0e(e0)OC曲線其中：1 1320ccceeCeeBeeAEe) 12() 132()2(2230230pppppEEppEEAsu2. 混凝土材料模式：混凝土：i）單向應力狀態(tài)應力應變關系。 ii）多向應力狀態(tài)應力應變關系。單向應力實驗分三段分析（見圖10-2）CB應變在CB段出現軟化現象，到B點被壓碎。 A：拉伸或壓縮較小時，按線性處理，E0，。 B：當12 3，3 Kc時視為各向同性（K 取0.4左右）。 C：當3 Kc時，視為正交各

18、向異性的非線性材料。ccsuuucusseEeEeepAEECAEEB，；)2(2)32(00uuccrrr111，為修正系數， 多向應力狀態(tài)： 主要處理方法是對單向應力狀態(tài)的修正。 即：V.Mises屈服準則的物理解釋是相當于一點的歪形能達到某一數值時，材料就進入屈服。（10-45）)(2KFJ22321321223322221122/1mmmJ)( 3/1332211m五、彈塑性材料：五、彈塑性材料：1. 屈服準則 V.Mises屈服準則 對于金屬材料來說，塑性屈服與三向等壓無關，即與J1無關，它認為：應力偏量第二不變量J2達到某一個值時，材料就進入屈服，即：其中：第二應力偏量不變量 平

19、均 應 力 （10-46）)(21KFJJ3211J在（123）應力空間中Drucker-Prager屈服面相當于一圓錐面，其軸線為1 = 2=3，即坐標的等傾線圓錐在平面上的交線為半徑 的圓，頂點在1 、2、3為正的象限內（圖10-3）。)(21aJF Drucker-Prager屈服準則對于土壤或巖石一類材料屈服與靜水壓力有關，即：其中：應力第一不變量； 材料常數； K為由實驗確定的材料性質參數。 用Drucker-Prager屈服準則來描述土壤、巖石等材料仍不理想，因為實驗證實在較大的靜水壓力下，材料會發(fā)生明顯的屈服，且體積在縮小，為此引進帶帽的Drucker-Prager模型屈服準則，

20、即相當于在Drucker-Prager圓錐面的壓縮邊，加上一個橢球或球形帽子（如圖10-4）帽的形狀由材料性質決定，在 圖上（圖10-5），帶帽的Drucker-Prager模型分兩個區(qū)域，在ABC段仍是 達到一定值進入屈服，CD段在靜水壓力和 的共同作用下，材料提前進入屈服，屈服后有硬化效應。2Jm2J2J（10-3）-3-1-2-1（10-4）-3-2（10-5）2JABCCDDm 帶帽的Drucker-Prager模型屈服準則（10-47）Fafijij2. 等向硬化、隨動硬化和帽硬化塑性硬化：材料屈服后卸載，然后再加載，要再產生塑性變形的屈服極限提高了，此現象稱為塑性硬化。顯然塑性硬化

21、與塑性變形程度和應變歷史有關。根據不同類型材料實驗，有幾種硬化模型?。旱认蛴不豪旌蛪嚎s硬化總是同樣地產生和發(fā)展，屈服面保持原來的形狀，只是均勻地膨脹和縮小。隨動硬化：在一個方向屈服極限高了，在反方向則減少，兩屈服極限之差保持常數，屈服石的形狀和大小不變，只是其中心沿變形方向移動了aij，加載屈服廠的表達式為：F為常數，是中心移動值，由塑性變性形的大小決定。 帶帽硬化：對土壤或巖石材料采用Drucker-Prager帶帽模式（如圖10-4），受壓屈服時，對CD邊則外移到CD，相當于屈服帽不斷擴大，這種變化稱帽硬化，實驗證明硬化規(guī)律為：（10-48）MpVMBeA1ln1BAepVMM、對應于

22、D點；初始帽位置；為總的塑性體積應變由材料實驗決定的參數。Prandtl-Reuss增量理論是確立塑性變形時應力與應變之間的關系式。目前研究塑性問題時，采用最多效果最好的是增量理論，即所謂Prandtl-Reuss彈塑性流動（增量）理論，其要點如下：（10-51） peddd（10-49） eeedCd1（10-50）ijijpSdfd或3. Prandtl-Reuss增量理論dedpd認為塑性時總應變增量 是彈性應變增量 和塑性應變增量 之和：彈性應力、應變之間服從虎克定律：塑性應變增量與塑性位勢間有以下關系： 為與材料性質與塑性應變程度有關的常數，f為塑性屈服面函數，當采用V.Mises屈

23、服準則時（10-53）2Jf fdCdddeepe1（10-52）22321321223322221122/1mmmJ平均應力)( 3/1332211mmijijijSS為應力偏量；4. 彈塑性應力-應變關系矩陣下面按Prandtl-Reuss流動理論，以V.Mises屈服準則為例，導出矩陣形式的彈塑性應力-應變關系矩陣Ccp如下：根據（10-49）、（10-50）、（10-51）式有：（10-54） fCfdfdCfeTeTeT)(2KFJ)(pFf（10-55）pTppTpTdFdddFdfdfdfdf2211 eTCf等式兩邊乘以 有 對于V.Mises屈服準則式：利用f=J2，注意到塑

24、性硬化參數K是塑性應變的函數，上式可改寫為：對它微分有： 將（10-56）式代入到（10-54）式，并考慮（10-52）式：（10-57）（10-56）pTpTdFdf fCffFdCfeTTpeT fCffFdCfeTTpeT 得： 將（10-57）式代入到（10-53）式并前乘Ce后得： fCffFCffCCCeTTpeTTeecp dCdcp（10-58）（10-59） 式中： cpC 即為所要求的彈塑性應力-應變關系矩陣，有它就可以計算彈塑性時的剛度陣和應力。有限變形的幾何分析在理論上是完善的，關鍵是如何合理地使用本構方程。對于材料非線性問題更是如此。在固體力學中，常用的本構方程主要有

25、以下幾種。（10-60）CW（10-61）CW21（10-62）六、幾類典型的本構模型：六、幾類典型的本構模型：（1）線彈性和非線彈性模型。該類材料的特點是加卸載規(guī)律相同。公式如下：式中，對于線彈性材料C為常量，對于非線性彈性材料， C是的函數。（2）超彈性模型。需要根據應變能函數W計算應力，公式如下：式中應變能函數W為：如橡膠等材料屬此類。（10-64）tCtpe（10-65）（10-63）Cdd（3）次彈性模型。需要根據應變率計算應力率，公式如下：寫成增量形式為：式中，C有多種定義方式。它可以定義為應力、應變、斷裂判據加卸載系數等的函數?；炷恋炔牧暇哂写祟愋再|。（4）超塑性模型?？梢哉J為

26、談彈塑材料發(fā)生塑性變形時，其總應變可以分解為兩部分：即總應變?yōu)閺椥詰兒退苄詰冎?。加載時遵循一定規(guī)律，如Prandtl-Reuss方程，而卸載時為彈性。這是一個重要的模型，對于應力足夠大時的金屬、土壤、巖石等材料，都有此類特征。（10-66）E（10-67） E（5）粘彈性模型?？梢苑譃閮深悾核沙谂c蠕變。松弛是指突加應變作用下應力會逐漸減少；蠕變是指突加應力作用下應變會逐漸增加。Maxwell模型是典型的松弛模型，公式如下：下面的Voigt-Kelvin模型為蠕變模型：（6）彈/粘塑性模型。這類材料的塑性變形與時間有關，本構方程會出現非齊次的時間微分。典型的粘性材料是某些特定狀態(tài)下的金屬或

27、一些高聚物等。 材料非線性問題重點是討論對于不同的本構關系，如何建立相應的有限元解法。 在這里先考慮小變形范圍內的材料非線性彈性問題。由于是小變形，有限元中的平衡方程和幾何關系與線彈性問題相同，有關公式保持不變：RdVBTB（10-68）（10-69）0)(，fRK)(（10-70）但是非線性彈性材料的本構方程不是簡單的線彈性，而是非線性的，寫成如下一般形式：在平衡方程中，若以節(jié)點位移表示，則方程為非線性。寫成剛度矩陣的形式后，應是此式為非線性方程，可以用迭代法求解在迭代過程中，先取0=0，求出K（0 ）=K0，代入（10-74）求出1=K10R，作為第一次近似，再從1進行，求算K1，進而解出

28、2，多次迭代直至nn+1為止。n是所求解的結果。（10-71）)(D（10-72）（10-73）（10-74）BD)(dVBDBKT)()(RKnn1一、一、 割線剛度法割線剛度法 若材料的應力應變關系能夠表示如下形式：考慮到小變形時=B，則上式可以寫成：定義非線性剛度矩陣K（）如下：平衡方程的迭代公式為： 即在每次迭代中系統(tǒng)受全部荷載的作用，并取與前一次迭代終了時的應力狀態(tài)相對應的割線剛度。在本次迭代后以新的應力狀態(tài)來修正剛度進行下一次迭代。直至前后兩次迭代的結果充分接近（即誤差足夠?。橹?。 圖10-6直接迭代法（割線剛度法）過程示意圖iGtg1 直接迭代法的缺點：i）假室應力一應變的非線

29、性性態(tài)仍然是單位的，一一對應的，唯一的。這樣假設是與實際不太相符的（因為在塑性區(qū)，加載與卸裁的路經是不同的，并且要留有不及逆的塑性變形）。ii）一次施加全部荷載，不能表現在加載過程中的應力及應變的變化及發(fā)展情況。， iii）一般必須由實驗事先提供G與 關系。 （10-75）（10-76）（10-77）（10-78）)()()()(nnnxxdxdxx0)()()(nnnxxdxdxnnndxdxX)/()(111nnnXxX二、二、 牛頓迭代法牛頓迭代法0)( x先考慮單變量為x的非線性方程 ，具有一階導數，在xn點作一階泰勒級數展開，它在xn點的線性近似為：0)( x因此，非線性方程 ，在x

30、n點近似為線性方程：當 時，由上式求得n步的修正項這就是著名的牛頓-拉夫遜（Newton-Raphson）方法，簡稱牛頓法。 在幾何非線性的有限元法中，結構的剛度矩陣與其幾何位置有關，平衡方程由變形后的位形描述，因此，結構的剛度矩陣是幾何變形的函數。設變形為，結構的平衡方程式：（10-79）（10-80）（10-81）（10-82）0)( RK 0)(RK11nnnnnnTnKRK)(1其為一個非線性方程組。記非線性方程：0)(用Newton-Raphson方法求 的根時，迭代公式分別為：其中 n+1滿足下式（10-83）（10-84） nTnddK 01)/()(dxdxxnn式中KTn稱為

31、切線剛度矩陣，表達式為： 在每一個迭代步中，通過求解切線剛度矩陣KTn ，進而用 n+1進行迭代求解。Newton-Raphson方法求解過程中，每次都計算KTn ，計算速度較慢。有時直接采用第一次迭代計算得到的切線剛度KT0作為KTn來加速計算，即：稱為修正的Newton-Raphson方法。但這個方法收斂速度可能會減慢。牛頓法的收斂性是好的。但對某些非線性問題，會出現奇異，這是采用一些修正辦法，如引入阻尼因子等。增量法是采用分段線性化的處理方法來要求解非線性問題。把荷載劃分為許多很小的荷載增量，逐級地施加于結構上，在每一級增量時結構均假定為線性的，在增量范圍內剛度為定值。對于各級荷載增量，

32、其剛度取不同值。以此來反映非線性特性，這一方法的基本特點如圖（10-7）。K0K1K2K3增量解精確解PU三、增量三、增量變彈性法（切線模量法）。變彈性法（切線模量法）。 圖 10-7 增量-變彈性法(切線剛度法)miiPP1jjjPUk1mj21 每級荷載增量時的剛度是由第一次荷載終了時的應力狀態(tài)所決定。第一級荷載增量時可取為初始的剛度 。每一級荷載增量后，可直接利用荷己給出的塑性條件及相應的本構關系對每一單元作判別。并確定其彈塑性矩陣 作為第J+1次增量時的應力應變關系確定其剛度矩陣 。 0KjepDjKjiijPP1 若總的荷載被分為m個增量，則可將荷載表示為： 當荷載施加到第J級增量時

33、，增量型的剛度方程為： 對于第J次荷載增量，已經施加的總荷載： 顯然，每一級荷載增量的求解完全采用線彈性的計算格式，僅須按新的應力確定與相對應的Dep ，并據此重新形成單元剛度矩陣及系統(tǒng)的總剛度矩陣以進行下一次增量的計算。直到最后一次荷載增量完成為止。 jijjUU1jiij1jiij1epD 相應的位移，應力，應變?yōu)椋涸谇蠼鈴椝苄詥栴}時，增量的應力應變關系可表示增量變彈性法的缺點： 很難事先知道荷載增量應該取多大才解獲得滿意的精度。 每次增量都必須修正單元剛度及系統(tǒng)的總剛度，花費時間較多。常剛度的增量迭代法是在每一級增量及每次迭代中都采用系統(tǒng)的初始剛度（線性剛度）通過與非線性性態(tài)相對應的等效

34、附加荷載，來考慮非線性引起的附加位移。這一方法對非線性系統(tǒng)的總剛度定義為在線性剛度上作相應的非線性修正。 KKkep PUKKe PUUKKpee peUUU四、增量四、增量附加荷載法：附加荷載法： 非線性剛度為： 由此可將增量形式的總體剛度方程寫為：假定總的位移增量可表示為線性增量和非線性增量之和，則： pepeeUUKPUUK 0FPUUKpee PUKee 0FUKpe 01FKUep這表明，只須要把適當的“附加荷載” 施加于線性系統(tǒng)，即可以在保持線性剛度的情況下，按照線性分析的方法求得非線性的附加位移增量 ，這一方法的分析步驟如圖10-8所示： 0FpU將上式展開，移項得到：可簡寫為：對于線性系統(tǒng)己知其剛度方程為：由此可知，必有： 或：PU精確值 由于上式中 及 均為未知，所以采用該方法求解時必須進行迭代運算。附加荷載 可以借助于初應力減初應變的差值來確定。 pU0F0F圖10-8 pe其中 為塑性增量看作為初始應變，與 有相同的含義。對于某一級荷載增量 ,可利用線彈性剛度 求解出對應于A點的線性位移增量 ，由于非線性的P-U曲線對應于該荷載增量的正確位移為B點。故位移增量應當是 ，位移增量之差 即為塑性引起的附加位移，或叫“初始位移”，見圖10-9。p0iP KAUBU0U圖10-9 初應變法UPAipBBUAU