高中數(shù)學(xué)人教A版必修5《2.6等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2》課件

1、1111(1)(1)111nnnnaqnSqqaaSqqq 等等比比數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和這這個(gè)個(gè)公公式式還還可可以以寫寫成成1= ,1nnakSkk qq 如如果果設(shè)設(shè)那那么么這這個(gè)個(gè)式式子子說說明明什什么么問問題題呢呢？2nnnSkk qqq說說明明的的系系數(shù)數(shù)與與常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)是是的的，其其中中的的互互為為相相反反數(shù)數(shù)就就是是公公比比 233,2nnnanSkkq 等等比比數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和很很容容易易得得出出：公公比比性性質(zhì)質(zhì)一一32322,mmmmmSSSSSdm d 我我們們知知道道，在在中中有有以以下下性性質(zhì)質(zhì)：也也成成等等差差等等差差數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)列列公公差差 請請把把

2、這這條條性性質(zhì)質(zhì)經(jīng)經(jīng)過過類類比比，推推廣廣到到等等比比數(shù)數(shù)列列 232,nnmmmmmanSSSSSS等等比比數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和為為則則有有：也也成成等等比比數(shù)數(shù)列列證證明明這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論！性性質(zhì)質(zhì)二二43070S 答答案案：51162ma 答答案案：， 10203010,=30naSSS 例例1 1. .等等比比數(shù)數(shù)列列中中，求求 5.31,nnnanSmma例例2 2 等等比比數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和求求的的值值以以及及 的的值值. . 5 110103020101.,2,2(21)0.nnnaanSSSSa 例例3 3 設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)等等比比數(shù)數(shù)列列首首項(xiàng)項(xiàng)前前 項(xiàng)項(xiàng)和和為

3、為且且求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式 34,2,14,nnnnnanSSSS 練練習(xí)習(xí)：各各項(xiàng)項(xiàng)均均為為正正的的等等比比數(shù)數(shù)列列的的前前項(xiàng)項(xiàng)和和為為若若求求1( )2nna 答答案案：430nS 答答案案：6等等 差差 數(shù)數(shù) 列列 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列 定定義義 一般地一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公差 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，一項(xiàng)的比

4、等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公比列這個(gè)常數(shù)叫公比 等差數(shù)列等差數(shù)列與與等比數(shù)列等比數(shù)列對比記憶表對比記憶表7數(shù)數(shù) 列列等等 差差 數(shù)數(shù) 列列等等 比比 數(shù)數(shù) 列列定義式定義式公差（比）公差（比）通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式 推廣形式推廣形式公差公差(比比) an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-mmnaadmn mnmnaaq qaa1nn 等差數(shù)列等差數(shù)列與與等比數(shù)列等比數(shù)列對比記憶表對比記憶表8數(shù)數(shù) 列列等等 差差 數(shù)數(shù) 列列等等 比比 數(shù)數(shù) 列列前前n項(xiàng)和

5、項(xiàng)和公公 式式性性 質(zhì)質(zhì)中中 項(xiàng)項(xiàng) 構(gòu)造三數(shù)構(gòu)造三數(shù) 構(gòu)造四數(shù)構(gòu)造四數(shù) a，a+d，a+2da, aq, aq2或者或者 a-d，a，a+daqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，m+n=p+q an+am=ap+aqm+n=p+q anam=apaq2cabcb,a, 則等差中項(xiàng)則等差中項(xiàng)成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，若若acb cb,a, 則等比中項(xiàng)則等比中項(xiàng)成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，若若等差數(shù)列等差數(shù)列與與等比數(shù)列等比數(shù)列對比記憶表對比記憶表910數(shù)列求和介紹求一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的幾種方法：1、運(yùn) 用 公 式 法2、錯 位 相 減 法3、裂 項(xiàng) 相 消 法4

6、、分組求和 法5、倒序相加 法11一、運(yùn)用公式法一、運(yùn)用公式法 運(yùn)用公式法主要是使用已經(jīng)證明，并承認(rèn)其在解運(yùn)用公式法主要是使用已經(jīng)證明，并承認(rèn)其在解決其他問題時(shí)可以使用的公式來進(jìn)行數(shù)列求和。決其他問題時(shí)可以使用的公式來進(jìn)行數(shù)列求和。如：等差數(shù)列的求和公式：如：等差數(shù)列的求和公式：dnaS2)1n(n12)aa(nnn1 等比數(shù)列的求和公式：等比數(shù)列的求和公式：nS1naq1)q1(an1 )1q( )1q( 還有一些常用公式：還有一些常用公式：2333322222)1n(nn321;6)1n2)(1n(nn321;2)1n(nn321 2333322222)1n(nn321;6)1n2)(1n

7、(nn321;2)1n(nn321 12數(shù)例1 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和，32116181412197531分析：由這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)可看出該數(shù)列是由一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為 、公比為 的等比數(shù)列的和數(shù)列。所以它的前n項(xiàng)和可看作一個(gè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和與一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnSnnn21814121) 12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 歸納出：奇數(shù)列的前n項(xiàng)和2) 12531nn（2121列求和1分組求和 法13 , + n 1 練習(xí)練習(xí)1:求數(shù)列求數(shù)列 + 2 3 , +

8、 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 。 . , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 ncn=an+bn(an、bn為等差或等比數(shù)列。）為等差或等比數(shù)列。）項(xiàng)的特征項(xiàng)的特征分組求和法分組求和法的反思與小結(jié)：的反思與小結(jié)：要善于從通項(xiàng)公式中看本質(zhì)：一個(gè)等差要善于從通項(xiàng)公式中看本質(zhì)：一個(gè)等差 n n 一一個(gè)等比個(gè)等比22n n ，另外要特別觀察通項(xiàng)公式，如果通項(xiàng)公，另外要特別觀察通項(xiàng)公式，如果通項(xiàng)公式?jīng)]給出，則有時(shí)我們需求出通項(xiàng)公式，這樣才能找規(guī)式?jīng)]給出，則有時(shí)我們需求出通項(xiàng)公式，這樣才能找規(guī)律解題。律解題。 練習(xí)練習(xí)2.求數(shù)列求數(shù)列2+3, 22 +32 , 23 +33 , , 2n +3n 的前

9、的前n項(xiàng)和。項(xiàng)和。 Sn=2 + -n+1n+1322714二、錯二、錯 位位 相相 減減 法法 錯位相減法在推導(dǎo)等比數(shù)列求前錯位相減法在推導(dǎo)等比數(shù)列求前 n項(xiàng)和時(shí)用過；項(xiàng)和時(shí)用過；它主要用于由一個(gè)它主要用于由一個(gè)等差數(shù)列等差數(shù)列與一個(gè)與一個(gè)等比數(shù)列等比數(shù)列的積數(shù)的積數(shù)列求和。列求和。求法步驟如下：求法步驟如下：1、在、在 的兩邊同時(shí)乘于的兩邊同時(shí)乘于公比公比qnnaaaS212、兩式相減、兩式相減 ；左邊為；左邊為 ，右邊，右邊q的同次式相減的同次式相減nSq)1（3、右邊去掉最后一項(xiàng)（有時(shí)還得去掉第一項(xiàng)）剩下的、右邊去掉最后一項(xiàng)（有時(shí)還得去掉第一項(xiàng)）剩下的 各項(xiàng)組成等比數(shù)列，可用公式求和。

10、各項(xiàng)組成等比數(shù)列，可用公式求和。看以下例子看以下例子數(shù)數(shù)列列求求和和15例例2 求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 考一本第19課時(shí)nn212167854321，分析：分析：該數(shù)列可看作等差數(shù)列該數(shù)列可看作等差數(shù)列 等比數(shù)列等比數(shù)列 的積數(shù)列的積數(shù)列12 nn21這里等比數(shù)列的公比這里等比數(shù)列的公比 q =21解：解：n43221n227252321nS 1nn43221n223n2252321 nS21兩式相減：兩式相減：1nn43221n22222222221n21S)1( 所以：所以：n21S21211n21211)1 （1n21n2 運(yùn)算整理得：運(yùn)算整理得：nnnS2323數(shù)數(shù)列列求求和

11、和216例例3 設(shè)設(shè) ,求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 0annaaaaa,4 ,3 ,2 ,432nS分析：分析： 這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都含有這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都含有a，而，而a等于等于1或不等于或不等于1，對，對數(shù)列求和有本質(zhì)上的不同，所以解題時(shí)需進(jìn)行分類討論數(shù)列求和有本質(zhì)上的不同，所以解題時(shí)需進(jìn)行分類討論解：解：1a若nSn3212) 1( nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的積數(shù)列，且等比數(shù)列與，差數(shù)列此時(shí)，該數(shù)列可看作等,32132兩邊同乘兩邊同乘a:naS132) 1(2nnnaanaa兩式相減：兩式相減：132)1 (nnnnaaaaaSa所以：所以：nSa)1 (a

12、aan1)1 (1nna運(yùn)算并整理得：運(yùn)算并整理得： a1naa1)a1(an1nnS21n2n)a1(aa)1n(na 數(shù)數(shù)列列求求和和217cn=anbn(an為等差數(shù)列為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列為等比數(shù)列)項(xiàng)的特征項(xiàng)的特征二、二、錯位相減錯位相減求和法求和法 小結(jié)小結(jié)練習(xí)題練習(xí)題 考一本考一本P53 習(xí)題習(xí)題 n2naa2n2221 ,221 21 1 1nnn-1n22項(xiàng)和為多少？項(xiàng)和為多少？，則其前，則其前滿足滿足、數(shù)列、數(shù)列項(xiàng)和為多少？項(xiàng)和為多少？的前的前，、數(shù)列、數(shù)列 18三、裂三、裂 項(xiàng)項(xiàng) 相相 消消 法法 顧名思義，顧名思義，“裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法”就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾就是把

13、數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后，前后交叉相消為項(xiàng)，然后，前后交叉相消為0達(dá)到求和目的的一種求和達(dá)到求和目的的一種求和方法。方法。求求 法法 步步 驟驟1、先分析數(shù)列的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，把通項(xiàng)式、先分析數(shù)列的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，把通項(xiàng)式“裂裂”成幾項(xiàng)。成幾項(xiàng)。（注意：裂開后的通項(xiàng)式當(dāng)（注意：裂開后的通項(xiàng)式當(dāng)n=k和和n=k+d時(shí)有相消為時(shí)有相消為0的情況出現(xiàn)才行）的情況出現(xiàn)才行）2、解題時(shí)；對裂開后的通項(xiàng)式令、解題時(shí)；對裂開后的通項(xiàng)式令n取取1，2，3，,n然后相加得然后相加得nS3、把和式中每一對相消為、把和式中每一對相消為0的式子除去，整理剩下的的式子除去，整理剩下的 式子即為和式。式子即為和式。請請 看看 下下 面

14、面 例例 子子數(shù)數(shù)列列求求和和19例例4 求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n 項(xiàng)和。項(xiàng)和。)1n3)(2n3(11071741411 ，分析：分析： 該數(shù)列的特征是：分子都是該數(shù)列的特征是：分子都是1，分母是一個(gè)以，分母是一個(gè)以1為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，以以3為公差的等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的乘積。只要分子為公差的等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的乘積。只要分子變?yōu)楣钭優(yōu)楣?，就可以裂項(xiàng)了。，就可以裂項(xiàng)了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：解：) 13)(23(11071741411nnnS)13)(23(3107374341331nn)

15、13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1 (1312311017171414131nn)1 (13131n13 nn數(shù)數(shù)列列求求和和320例例5 求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和)12)(12()2(7565343122222nnn，nS分析：分析： 該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積；從例的乘積；從例4的經(jīng)驗(yàn)看：該數(shù)列求和使用的經(jīng)驗(yàn)看：該數(shù)列求和使用“裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數(shù)。的可能性較大，那就看分子能否化為常數(shù)。注意到該數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征：分子、分母同次且沒

16、有一次項(xiàng)；注意到該數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項(xiàng)；所以使用處理分式函數(shù)的常用手段：所以使用處理分式函數(shù)的常用手段：“分離常數(shù)法分離常數(shù)法”即可把分子即可把分子化為常數(shù)?；癁槌?shù)。變化如下：變化如下：)12)(12(1)12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn數(shù)數(shù)列列求求和和321)(112112121nnna由解：)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn（）（共 n 項(xiàng))(

17、)()1(12112151313121nnn)1 (12121nn12)1(2nnn數(shù)列求和322（數(shù)列（數(shù)列an是等差數(shù)列）是等差數(shù)列）項(xiàng)的特征項(xiàng)的特征1111 11()nn nnnca ad aa 三、三、裂項(xiàng)相消裂項(xiàng)相消求和法求和法 小結(jié)小結(jié)注意注意裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵：的關(guān)鍵： 將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng)抵消項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。23常見的拆項(xiàng)公式：1111.(1)1n nnn11112.()()n nkknnk 11115.()(21)(21)2 2121nnnn 111

18、16.(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 117.()ababab 211111113.1(1)(1)1kkkkkkkkk 22111114.()1211kkkk 2128. 2(1)2(1)11nnnnnnnnn 練習(xí)：（求和）111(1).112123123nsn 111(2).12231nsnn 答案：答案：12221 .2()123(1)1nann nnn （ ）111112(1)()()2231nsnn 122(1)11nnn 1(2).11nnnn 213211 1nsnnn 25四、倒序相加法四、倒序相加法教材P40等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式推導(dǎo)即為此法！例例1 1：

19、已知：已知lg(xy)=a,lg(xy)=a,求求lgxlgxn n+lg(x+lg(xn-1n-1y)+lg(xy)+lg(xn-2n-2y y2 2)+lgy)+lgyn n與首尾兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首尾兩項(xiàng)之和，則可與首尾兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首尾兩項(xiàng)之和，則可先將先將S Sn n順著寫，再將順著寫，再將S Sn n倒著寫，最后將兩個(gè)倒著寫，最后將兩個(gè)S Sn n相加。相加。lgylgyn n+lg(xy+lg(xyn-1n-1)+lg(x)+lg(x2 2y yn-2n-2)+lgx)+lgxn n2 2lg(xy)lg(xy)n n+lg(xy)+lg(xy)n n+lg(xy)+

20、lg(xy)n+n+lg(xy)+lg(xy)n n (n+1)lg(xy)(n+1)lg(xy)n n n(n+1)lgxyn(n+1)lgxyn(n+1)a/2n(n+1)a/2項(xiàng)的特征項(xiàng)的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2612003( ),22,( 5)( 4)(0)(5)(6)xf xnfffff 2.2.（上海）設(shè)利用課本（上海）設(shè)利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 項(xiàng)和的方法 求中推導(dǎo)等差數(shù)列前 項(xiàng)和的方法 求的值為_.的值為_.111()(1)2222nnfnf n 11121221122222222nnnnnn 111(2 22)2212222222nnnn 2728練

21、習(xí)：練習(xí)： 1. 1. 求數(shù)列求數(shù)列 前前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 2. 2. 求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 3. 3. 求和：求和： 4. 4. 求和：求和：1 14+24+25+35+36+6+n n( (n n + 3)+ 3) 5. 5. 求數(shù)列求數(shù)列1 1，(1+(1+a a) )，(1+(1+a a+ +a a2 2) )， (1+(1+a a+ +a a2 2+a an n 1 1) )，的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. . 1, 4, 7, 10, ( 1) (32),nn 3232nn 222222(10099 ) (9897 )(21 ) 29學(xué)有所思舉 一 返 三30四、通 項(xiàng) 分

22、 析 法 通項(xiàng)分析法就是根據(jù)前面學(xué)過的運(yùn)用公式法、錯位相減法、裂項(xiàng)相消法為基礎(chǔ)，對數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行分析，從而決定使用那種方法求和。求 法 步 驟1、確定所求和數(shù)列的通項(xiàng)公式，必要時(shí)，注意使用由已 知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求這數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式的方法2、分析通項(xiàng)公式時(shí)，在確定首項(xiàng)、末項(xiàng)、及項(xiàng)數(shù)的同時(shí) 還要分析清楚是那些數(shù)列的和、差、積、商數(shù)列。 請 看 下 面 例 子數(shù)列求和31例7 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和1222221221211n，分析：由數(shù)列的結(jié)構(gòu)來分析，該數(shù)列的第k項(xiàng)應(yīng)該是：12222121)21(112kkkka通過分析可知：該數(shù)列是以 為首項(xiàng)，以 為末項(xiàng)，共有n項(xiàng)的數(shù)列。12112n從通項(xiàng)公式

23、的結(jié)構(gòu)來分析，該數(shù)列是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列的差數(shù)列。所以它的前n項(xiàng)和是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與一個(gè)常數(shù)為1的常數(shù)列的前 n項(xiàng)和的差。通過這樣分析，確定解題方向就方便了解：) 12() 12() 12(21nnS) 111 ()222(2nnn21)21(2221nn數(shù)列求和432例8 求和 1)2(3) 1(21nnnnS分析： 這個(gè)數(shù)列是數(shù)列1，2，3. . . n與它的倒序數(shù)列的積數(shù)列，共有n項(xiàng)，在這里把n看成常數(shù)來分析它的通項(xiàng)就容易了。kknkknkak2) 1(k取從1到n的自然數(shù)）所以，該數(shù)列可以看作通項(xiàng)為 的三個(gè)數(shù)列的差、和數(shù)列kknk,2解：naaaa

24、S321)21 ()21 ()21 (222nnnnnnn2) 1(6)12)(1(nnn2)1(nn)2)(1(61nnn數(shù)列求和433例9 求數(shù)列 前n項(xiàng)和, 165434322aaaaaaaaa)0( aSn分析： 由 所求數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個(gè)等比數(shù)列的和，其第k項(xiàng) 2211kkkkkaaaaa0akaak 時(shí)，當(dāng)1011kaa時(shí)，當(dāng))(為偶數(shù)為奇數(shù)）kk時(shí)，當(dāng)1|aaaakkka1121通項(xiàng)公式理解清楚后，現(xiàn)在可以就以上三種情況考慮求和了時(shí)當(dāng)1a該數(shù)列是自然數(shù)列，求和容易。時(shí)，當(dāng)1a2nnSn為偶數(shù)時(shí)n為奇數(shù)時(shí)21nnS1|a當(dāng))()()()1(12152311nnanaaaaaaaS

25、,0, 1 ,0, 1 ,0, 1此時(shí)的和式，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：時(shí)；當(dāng)1akak)1(21nnSn時(shí)；當(dāng)1a01ka)()(為偶數(shù)為奇數(shù)nn2)1(121nSnn時(shí)；當(dāng)1|a)(12111kkakaaa)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS)()1(12531211nnaaaaaaaa1)1(11112aaaaaann)1)(1(1)1()1(12nnaaaa數(shù)列求和434)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak326kC( k 取1，2，3、n)所以：323534336666nnCCCCS)(632353433nCCCC1114433knknknCCCCC由436nC!4)1)(2)(3(6nnnn)3)(2)(1(41nnnn44C45C46C數(shù)列求和435)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak)2)(1() 1() 3)(2)