最新有理數(shù)的概念知識點歸納及練習題

1、精品文檔有理數(shù)的概念知識梳理有理數(shù)的概念 一、目標認知學習目標：了解正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)的概念，會用正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量。掌握一個數(shù)的相反 數(shù)的求法和性質(zhì)，學習使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的幾何意義，會借助數(shù)軸比較有理數(shù)的 大小。掌握一個數(shù)的絕對值的求法和性質(zhì)，進一步學習使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何 意義。重點：有理數(shù)的概念及其分類， 相反數(shù)的概念及求法，絕對值的概念及求法， 數(shù)軸的概念及應(yīng)用； 有理數(shù)比較大小難點：絕對值的概念及求法，尤其是用字母表示的時候的意義。運用數(shù)軸理解絕對值的幾何意 義。有理數(shù)比較大小的方法的掌握。二、知識要點梳理知識點一：負數(shù)的引入要點詮釋：正數(shù)和負數(shù)是根

2、據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，小學學過的自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6C和零下6C等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的 量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負數(shù)。用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負。知識點二：正數(shù)和負數(shù)的概念要點詮釋：(1) 像3、1.5、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學學過的數(shù)，除 0以外都是正數(shù)，正

3、數(shù)比0大。(2) 像一3、-1.5 > 、-584等在正數(shù)前面加“一”(讀作負)號的數(shù)，叫做負數(shù)。負數(shù)比 0 小。(3) 零既不是正數(shù)也不是負數(shù)，零是正數(shù)和負數(shù)的分界。注意：(1) 為了強調(diào)，正數(shù)前面有時也可以加上“ + ” (讀作正)號，例如：3、1.5、 也可以寫作+ 3、+1.5、+ 。(2) 對于正數(shù)和負數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“ + ”號的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號的數(shù)是負數(shù)。例如：a 定是負數(shù)嗎？答案是不一定。因為字母 a可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則a是負數(shù)；若a表示的是0,則a仍是0；當a表示負數(shù)時，a就不是負數(shù)了(此時a是正數(shù))。知識點三：有理數(shù)的有關(guān)概念要點詮釋

4、：1>有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。注：(1)有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時的分數(shù)包括整數(shù)。但是本節(jié)中的分數(shù)不包括分母是1的分數(shù)。(2) 因為分數(shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分數(shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分數(shù)。(3) “0”即不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但“0”是整數(shù)。2、整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)。例如： 1、2、3、0、一1、一2、一3等等。3、分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù)，例如： 、0.6、 0.6等等。知識點四：有理數(shù)的分類要點詮釋：1>按整數(shù)、分數(shù)的關(guān)系分類：2、按正數(shù)、負數(shù)與0的關(guān)系分類：注：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非

5、負數(shù)，負數(shù)和 0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和 0稱為非負整數(shù)(也 叫做自然數(shù))，負整數(shù)和 0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù)；a<0表明a是負數(shù)；a 0表明a是非負數(shù)；a 0表明a是非正數(shù)。知識點五：數(shù)軸的概念要點詮釋：精品文檔規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的定義包含三層含義：（1）數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；（2）數(shù)軸有三要素一一原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；（3）原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。知識點六：數(shù)軸的畫法要點詮釋：1、畫一條直線（一般畫成水平的直線）。2、在

6、直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標上“0”）。3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。4、選取適當?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1, 2,3；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1 , - 2, -3注：（1）原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當選??；（2）確定單位長度時，根據(jù)實際情況，有時也可以每隔兩個（或更多的）單位長度取一點，從原點向右，依次表示為 2, 4, 6,；從原點向左，依次表示為2, -4, - 6,；知識點七：數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，反過來，不能說數(shù)軸上所

7、有的點都表示有理數(shù)。要點詮釋：正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。知識點八：利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小要點詮釋：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0;負數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負數(shù)。知識點九：相反數(shù)的概念1、相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互 為相反數(shù)。2、相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)（除了符號不同以外完全相同），我們說其中 一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0o要點詮釋：(1) “只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同；(2)相反數(shù)是數(shù)，不是量；(3)相反數(shù)是成對出現(xiàn)的。知

8、識點十：相反數(shù)的表示方法要點詮釋：一般地，數(shù) a的相反數(shù)是ao這里a表示任意的一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)、或 者Oo知識點十一：多重符號的化簡把多重符號化成單一符號，如果是正號，則可以省略不寫，實際上，多重符號的化簡是由 的個數(shù)來定，若“個數(shù)為偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，女口.-(-4)=4；若個數(shù)為奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負，女口 -+-(-4)=-4。要點詮釋：1、在一個數(shù)的前面添上一個“ + ”號，仍然與原數(shù)相同，如+ 5=5, + ( 5) =- 5o2、在一個數(shù)的前面添上一個“”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如 (3)就是3的相反數(shù)， 因此，一(一3) = 3o知識點十二：絕對值的概念要點詮釋：1、

9、絕對值的幾何定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，數(shù) a的絕對值記作“”2、絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是Oo即知識點十三：兩個負數(shù)大小的比較要點詮釋：因為兩個負數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負數(shù)一定在絕對值較小的負數(shù)的左 邊，所以，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。比較兩個負數(shù)大小的方法是：一、先分別求出這兩 個負數(shù)的絕對值；二、比較這兩個絕對值的大??；三、根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小” 做出正確的判斷。精品文檔精品文檔知識點十四：有理數(shù)大小的比較法則要點詮釋： 正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個

10、負數(shù)，絕對值大的反而小。三、規(guī)律方法指導有理數(shù)與小學所學的數(shù)，主要區(qū)別在于負數(shù)。有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，任何一個 有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的位置，而是唯一確定的點。數(shù)軸上的點可以表示三類數(shù)。在 數(shù)軸上表示零的點稱做原點，以這個點為界，正有理數(shù)（正整數(shù)、正分數(shù)）用原點右邊的點來 表示；負有理數(shù)（負整數(shù)、負分數(shù)）用原點左邊的點來表示，這就說明，數(shù)軸是有方向的。由于數(shù)軸規(guī)定了方向，因而在數(shù)軸上排列著的數(shù)就是有順序的。從左到右一個數(shù)比一個數(shù) 大。即數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。在數(shù)軸上，原點左、右兩邊距離原點等遠的點所表示的有理數(shù)，它們只有符號不同，這樣 的一對數(shù)稱為互為相反數(shù)。如果數(shù)

11、軸上的點只考慮它到原點的距離，而不考慮它的正、負方向的數(shù)，則表示這個有理 數(shù)的絕對值。經(jīng)典例題透析類型一：有理數(shù)分類的問題例仁 請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里。1,0.0708, -700, -3.88, 0,3.14159265,.正整數(shù)集合：負整數(shù)集合:整數(shù)集合：正分數(shù)集合:負分數(shù)集合:分數(shù)集合:思路點撥：這種關(guān)于有理數(shù)的分類問題，關(guān)鍵是要掌握各種數(shù)的概念。小學時所學的自然數(shù)就是正整數(shù)和零，進入中學，出現(xiàn)了負整數(shù)，而整數(shù)的范圍就擴大到了正整數(shù)、零和負整數(shù)。有限小數(shù) 和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，因此，它們都是分數(shù)。解析：正整數(shù)：1;負整數(shù)：-700 ;整數(shù)：1 , 0, -

12、700 ;正分數(shù)：0.0708, 3.14159265 ,;負分數(shù)：-3.88 ,;分數(shù)：0.0708 , 3.14159265 , -3.88 ,總結(jié)升華：精品文檔有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，分數(shù)包含有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，但須注意的是，不是所有的 小數(shù)都是分數(shù)，比如 兀等。所以，我們也不能說小學學過的所有數(shù)都是有理數(shù)，還有一部分 數(shù)不是有理數(shù)，那么這部分數(shù)我們將在今后學習研究。舉一反三：【變式1在數(shù)-100, 70.8, -7,% , -3.8, 0,中，不是分數(shù)的是 ；不是小數(shù)的是；不是有理數(shù)的是(B)不是正數(shù)的數(shù)一定是負數(shù)(D)0不是最小的有理數(shù)【變式2】下列四種說法，正確的是 (A)所有的

13、正數(shù)都是整數(shù)(C)正有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù) 類型二：正負數(shù)的概念例2：若把向北走7km記為7km,則+ 10km表示的含義是()A.向北走10kmB.向西走10kmC.向東走10kmD.向南走10km思路點撥："正"和"負"相對，-7km表示向北走7km,則+ 10km表示向南走10 km. 答案：D丿總結(jié)升華：在一對具有相反意義的量中，若先規(guī)定一個為正，則另一個就用負表示；若先規(guī)定一個為負，則另一個就用正表示。舉一反三：【變式】(1)如果收入300元記作+300元，那么支出500元用 表示，0元表示 若購進50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

14、類型三：與數(shù)軸相關(guān)的問題例3:數(shù)軸上有一點到原點的距離是5.5 ,那么這個點表示的數(shù)是 .思路點撥：到原點的距離等于5.5的點既可以在原點左邊，也可以在原點右邊，因此這樣的點有兩個。 解析：5.5 或-5.5丿總結(jié)升華：與數(shù)軸相關(guān)的問題還有數(shù)軸的畫法以及借助數(shù)軸來比較有理數(shù)的大小。精品文檔例4:如右圖所示，數(shù)軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為思路點撥：數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的比左邊的大。因此，被污染的部分的數(shù)大于-1.3 ,小于2.6 ,再考慮這一范圍內(nèi)的整數(shù)即可。解析：-1,0,1,2丿總結(jié)升華：利用數(shù)軸解決問題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的的一個重要應(yīng)用，要能由“形”看出“量”的一些

15、關(guān)系。舉一反三：【變式11 實數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是()A.B.C.D.【變式2一個點從數(shù)軸的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，則終點表示的 數(shù)是.【變式3數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為-3,那么與A相距1個長度的點B所對應(yīng)的數(shù)是 .類型四：與相反數(shù)相關(guān)的問題例5: ( 1) 的相反數(shù)是 , 3與互為相反數(shù)(2) 的相反數(shù)是 ,的相反數(shù)是 ，的相反數(shù)是 . (3) 0的相反數(shù)是(4)已知 那么 的相反數(shù)是.已知，則a的相反數(shù)是 .思路點撥：(1) 代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，特別地，O的相反數(shù)是0.相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，不能單獨存在.例如 +5和5

16、互為相反數(shù)，或者說+5是5的相反數(shù)，5是+5的 相反數(shù)，而單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù).另外，定義中的“只有”指除符號以外，兩個數(shù)完 全相同，注意應(yīng)與“只要符號不同”區(qū)分開.例如+3與3互為相反數(shù)，而+3與2雖然符號不同，但它們不是相反數(shù).(2) 幾何意義：一對相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等.這兩 點是關(guān)于原點對稱的.(3) 求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“一”號即可.一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a；這里以a表示任意一個數(shù)，可以為正數(shù)、0、負數(shù)，也可以是任意一個代數(shù)式.注意a不一定是負數(shù).注意：當a>0時，一a<0(正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù));當a=O時，

17、a=O(0的相反數(shù)是0);當avO時，a >0(負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)).(4) 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零，即若 a與b互為相反數(shù)，貝U a+b=O,反之，若a+b=O,則 a與b互為相反數(shù).(5) 多重符號的化簡：一個正數(shù)前面不管有多少個“ + ”號，都可以全部去掉；一個正數(shù) 前面有偶數(shù)個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個“”號，則化 簡后只保留一個“-”號，既“奇負偶正”(其中“奇偶”是指正數(shù)前面的“-”號的個數(shù)的 奇偶數(shù)，“負正”是指化簡的最后結(jié)果的符號)解析：(1), 3;(2) m,-(-m+1),-(m+1); (3) 0 -9, 9丿總結(jié)升華：求相反數(shù)時，要

18、緊緊抓住“只有符號不同”這一條件，即“符號不同而數(shù)字 相同”的兩個數(shù)。舉一反三：【變式11(1) 一個數(shù)的相反數(shù)的倒數(shù)是-4,這個數(shù)是.(2) 如果 與-3互為相反數(shù)，那么 等于()A. 3B. -3C.D.類型五：與絕對值相關(guān)的問題 例6: 的絕對值是.思路點撥：(1) 取絕對值也是一種運算，這個運算符號是“”，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號(2) 絕對值具有非負性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0.(3) 任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，女口： -5,符號是負號，絕精品文檔對值是5.解析：總結(jié)升華：絕對值符號具有括號的功能，根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號即可舉一反

19、三：【變式1】已知I x I =4 , I y I =6,求代數(shù)式I x+y I的值. 有理數(shù)的概念課后練習、選擇題：C正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；9、下面兩個數(shù)互為相反數(shù)的是()丄1A 2 和 0.2B、3 和0.333D、整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)2-2.75 和 410、一個數(shù)的絕對值大于它本身，那么這個數(shù)是()A、正有理數(shù)B、負有理數(shù)D、9 和一(一9)C、零D、不可能11、a是一個有理數(shù)，那么-a ()1 .若一個數(shù)的絕對值大于零，這個數(shù)一定是()(A)正數(shù) (B)任意有理數(shù)(C非零數(shù) (D負數(shù)2 在有理數(shù)中，下面說法正確的是()(A)有最小的數(shù)(B)有最大的數(shù)A、負數(shù)；B、正數(shù)；C、零;

20、12、已知數(shù)軸上表示一D、以上都可能2和一101的兩個點分別為A，B,那么A，B兩點間的距離等于(C)沒有最小的數(shù)，也沒有最大的數(shù)(D以上答案都不對3下面四句話中錯誤的是()(A)負分數(shù)一定是負有理數(shù)(B)分數(shù)中除正分數(shù)就是負分數(shù)(C) a的相反數(shù)是-a( D)有理數(shù)中除了正數(shù)就是負數(shù)4 下列說法正確的是()(A)帶有“-”的數(shù)是負數(shù)(B)任何數(shù)的絕對值都是正(C)任何負數(shù)都小于它的相反數(shù)(D) 一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)5.一個數(shù)的絕對值一定是()(A)正數(shù) (E)負數(shù) (C)非正數(shù) (D)非負數(shù)6有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，下列結(jié)論錯誤的是()(A) cv b v a ( B) a-

21、b> 0 (C) bv 0，cv 0 ( D) c> b(A) 99( B) 100( C) 102( D) 10313、數(shù)軸上原點及左邊的點表示的數(shù)是()A、負數(shù)； B、正數(shù)；C、非負數(shù)；D 、非正數(shù)；14、互為相反數(shù)”是指()A、一個正數(shù)，一個負數(shù)； B 、一個數(shù)前面添加上-”號所得的數(shù)；C數(shù)軸上原點兩旁的兩個點所表示的兩個數(shù)；D、只有符號不同的兩個數(shù)，且0的相反數(shù)是0;15、如果a+b=0，那么一定有()A a=0且 b=0 ； B、a=0或 b=0 ； C、a、b異號；D、a、b互為相反數(shù)；16、以下四個推理中，正確的是()A、如果 |a|=|b| ，那么 a=b； B 、

22、如果 |a|=b， 那么 a=b；C 如果 a=-b，那么 |a|=|b| ； D 、如果 |a|=b，那么 a=-b ；二.填空題：1. -2.5的相反數(shù)是 ，絕對值是 。2最小的正整數(shù)是 ，最大的負整數(shù)是 ，絕對值最小的數(shù)是7、下列說法中，正確的是(A、一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；C、零是最小的有理數(shù)；D8、下列說法中，正確的是(A、非負有理數(shù)就是正有理數(shù)；)B 、正有理數(shù)和負有理數(shù)組成全體有理數(shù);、零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但零是整數(shù))B 、零表示沒有，不是有理數(shù)；3在有理數(shù)-3, 0，3.1416，- (-7)，中，屬于負數(shù)集的是 屬于正分數(shù)集的是 ，屬于整數(shù)集的是 4卜7|=，| |=

23、on5.化簡-卜(-2002) =，- (-3.14) =，精品文檔精品文檔負分數(shù)集合：非負數(shù)集合：非正數(shù)集合：2.把下列各數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較他們-3 ， 1/2，0.，3，. -2.56. a的相反數(shù)是-11,那么 。若3是x的相反數(shù)，那么x=3 X (-x) =o5的大小7 相反數(shù)大于-4的正整數(shù)是，絕對值不大于2的整數(shù)是8 一個數(shù)的絕對值與它的相反數(shù)相等，這個數(shù)為 ，一個數(shù)的相反數(shù)大于它的本身，這個數(shù)為o9 若兩個數(shù)的絕對值相等，這兩個數(shù)可能是 o10.若一個數(shù)的相反數(shù)不小于零，那么這個數(shù)為o10 .若 |-m|=- (-0.3)，那么 m=。11、 在數(shù)軸上點B表示數(shù)-3,那么與B點相距4個單位長度的點表示的數(shù)是 o3、( 1)寫出絕對值大于3而小于8的所有有理數(shù)。12、儀表的指針順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°己作-90 °那么逆時針旋轉(zhuǎn)180°應(yīng)記作 .13、 說明下面一段話的意義：汽車先前進+50米，再前進-30米，即 o14、 數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點之間的距離是6,則這兩個數(shù)為 4、計算：(1) |-15|-|-6|(2