暑假平面幾何講義四點(diǎn)共圓教師版Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！四點(diǎn)共圓文武光華數(shù)學(xué)工作室 潘成華平面幾何中證四點(diǎn)共圓的幾個(gè)基本方法方法一：平面上有四點(diǎn),若,則四點(diǎn)共圓方法二 線段交于,若,則四點(diǎn)共圓方法三 線段交于,若,則四點(diǎn)共圓方法四：若四邊形,，則四點(diǎn)共圓方法四、已知 是內(nèi)角或外角平分線，,且,則四點(diǎn)共圓證明 設(shè),因?yàn)?所以，所以，內(nèi)角時(shí),外角時(shí)，所以四點(diǎn)共圓托勒密定理：tolemy(托勒密定理）若四邊形abcd是圓o內(nèi)接四邊形,則adbc+abcd=acbd證明 在ac上取點(diǎn)e,使edc=adb,因?yàn)閍bd=acd,所以abdedc,adebdc，于是(ab/ce)=(db/dc),(ad/ae

2、)=(db/bc),于是adbc+abdc=aebd+bdce=acbd例1、已知 點(diǎn)在內(nèi)，,.求證.證明(一)（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),易知, ,于是,所以,得到,進(jìn)而.證明（二）作外接圓交延長(zhǎng)線于,可知,得到,所以,得到,所以.例2、已知（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且,.則證明 先證明,過作垂線交分別于，直線交于,取中點(diǎn),易知四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，所以(1),(是的內(nèi)角)，因?yàn)?，所?于是,易知四點(diǎn)共圓，圓心是，,所以,進(jìn)而，得到是中垂線，所以，(1)得 下面我們證明，因?yàn)?兩式相除得,因?yàn)樗?，證明（二）在取,使得,所以,進(jìn)而得到,易知四點(diǎn)

3、共圓，所以例3、葉中豪老師2013年國(guó)慶講義一幾何題我的解答已知，是底邊上任一點(diǎn)，是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，。求證： 。證明作外接圓交分別于，易知,所以，所以 （1）,易知,進(jìn)而得到,所以（2）,易知四點(diǎn)共圓，所以,所以,所以,進(jìn)而根據(jù)（1）、（2）得到。例4、已知是銳角三角形，是邊上中線，是垂心，于點(diǎn)，求證四點(diǎn)共圓證明（一）：延長(zhǎng)到使得,易知四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋?所以,得到，所以四點(diǎn)共圓證明（二）,所以是切線，所以,所以,得到,所以四點(diǎn)共圓第四題、第51屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克，1999例5、已知 在中，,點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)是中點(diǎn)，.求證 .證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè),因?yàn)?可知，可知,（

4、1），,可知 得到（2），根據(jù)（1）、（2）得，即。證明(二)（文武光華數(shù)學(xué)工作室 潘成華給出）延長(zhǎng)交以為圓心，為半徑的圓于,直線交于, ,因此 ,于是在上，,所以,可知,即,得證例6、已知 是邊中點(diǎn)，交外接圓于,過點(diǎn)作交于,在上取點(diǎn),使得.求證證明(一)（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）因?yàn)?點(diǎn)是中點(diǎn)，所以是調(diào)和四邊形，易知直線、過點(diǎn)切線共點(diǎn)，得到平分,因此是旁心，進(jìn)而.證明（二）因?yàn)?是邊中點(diǎn)，所以,得到,易知是等腰梯形，所以,根據(jù)托勒密定理可知,得到，,所以，所以,可知,取中點(diǎn),同理可得,所以與交點(diǎn)設(shè)為,則為中點(diǎn)，所以,于是證明（三）（田開斌老師）作交于，所以,所以四點(diǎn)共圓，因?yàn)?所以

5、例7、 已知是角平分線交于，外心分別是,求證證明易知，,所以（1），又，于是，所以四點(diǎn)共圓，根據(jù)（1）得到證明（二）記三角，設(shè)直線交于，,同理·,所以，所以四點(diǎn)共圓得到例8、已知 、交于,四邊形是平行四邊形，在上，交于,直線交于.求證 四點(diǎn)共圓證明 延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接，易知是等腰梯形，是等腰梯形，,所以四點(diǎn)共圓，因此五點(diǎn)共圓,進(jìn)而四點(diǎn)共圓例9、已知 分別是外心，內(nèi)心，求證的充要條件是,證明 延長(zhǎng)ai交圓o于d,根據(jù)托勒密定理，abdc+acbd=adbc(1),因?yàn)閛iai，所以ai=id,由（1）得：（ab+ac)bd=bc2di,因?yàn)閎id=ibd,于是bd=di,所以ab+ac=

6、2bc此題，若o，i分別是abc外心，內(nèi)心，ab+ac=2bc，求證 oiai證明方法是一樣的例10、為外接圓上一點(diǎn)，在上的射影為.點(diǎn)分別是中點(diǎn)。證明.證明 取中點(diǎn)，連接,易知，所以,所以,可知,所以第十題、已知 是邊中點(diǎn)，交外接圓于,過點(diǎn)作交于,在上取點(diǎn),使得.求證例11、已知（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華） 、外切于,弦切于,點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),求證充要條件是.（2014 6 8 8：49于鎮(zhèn)江大港中學(xué)）證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）過作兩圓公切線交于,線段交于,等價(jià)于,等價(jià)于 ,因?yàn)?得到,因此，等價(jià)于,等價(jià)于,即例12、剛才看了一下2014年第5期中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克問題（

7、高）383，不難，我把解答寫一下已知 是銳角的垂心，以為直徑的圓交外接圓于,直線交于,直線交于,求證證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)外接圓為,直線交于,所以共線，延長(zhǎng)交于點(diǎn),易知四點(diǎn)共圓，所以,所以,同理,所以是平行四邊形，得到是中點(diǎn)，連接交于,因?yàn)?可知共線，所以是中位線，得到平行且相等，所以是中點(diǎn)，可知例13、（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)周長(zhǎng)為，求證的旁切圓與外接圓外切。（2014-6-12 8：56）證明 設(shè)的旁切圓切直線于,交外接圓于,直線 交的旁切圓于 ,所以,所以,所以點(diǎn)在外接圓外接圓上，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)是兩圓的切點(diǎn)，即的旁切圓與外接圓外切。例14、于，是垂心

8、，外心，交于，求證證明(一) 延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于,根據(jù)蝴蝶定理可知,根據(jù)鴨爪定理可知,所以,等腰.證明（二）在取使得,所以,設(shè)交于,根據(jù)等角共軛點(diǎn)性質(zhì)，可知,又,可知四點(diǎn)共圓，可知例15、第47屆預(yù)選，2006年如圖，在梯形中，,點(diǎn)分別在線段上，且,分別在直線上，且,.求證 四點(diǎn)共圓證明（一） 因?yàn)?，易知共點(diǎn)，設(shè)為,設(shè)交圓于,因此是圓切線，,所以,所以,因此四點(diǎn)共圓證明 （二） （文武光華數(shù)學(xué)工作室 潘成華）因?yàn)?ak/kb)=(dl/lc),ab/cd,根據(jù)位似知識(shí)可知ad、ql、bc的延長(zhǎng)線共點(diǎn)，設(shè)為e,過點(diǎn)l作lx/ap交ad于x,作ly/pb交bc于y,因此xy/ab,設(shè)xl、dq交

9、于s,ly、qc交于t,根據(jù)menelaus定理可知(xs/sl)=(xd/de)*(eq/lq)=(yc/ce)*(eq/lq)=(yt/tl),于是st/xy,sqt+slt=dab+adc=180°,所以l、s、q、t四點(diǎn)共圓，易知sql=stl=xyl=abp=180°-apb-bap=180°-adc-bapdap,進(jìn)而a,d,p,q四點(diǎn)共圓例16、2012年西部數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題已知 外心、垂心分別是、,于,中垂線交延長(zhǎng)線于.求證 外接圓過中點(diǎn).證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）取、中點(diǎn),根據(jù)歐拉定理可知,所以,所以,又易知,所以,因此是等腰梯形

10、，可知四點(diǎn)共圓，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以在外接圓上,即外接圓過中點(diǎn).例17、已知兩同心圓，從大圓上一點(diǎn)作切小圓于,直線交大圓于.求證 證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)兩圓圓心,延長(zhǎng)交分別交大圓于,所以是中位線，,所以,所以,所以 ,結(jié)論等價(jià)于，等價(jià)于,因?yàn)榈米C例18、（2004年日本數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題）已知 如圖，點(diǎn)分別是上兩點(diǎn)，且過點(diǎn)分別作的平行線交過點(diǎn)作外接圓的切線分別于,延長(zhǎng)直線交外接圓于求證（1）四點(diǎn)共圓，(2)是切線證明 因?yàn)?因?yàn)?，所以直線交點(diǎn)必在上設(shè)為,所以四點(diǎn)共圓，同理四點(diǎn)共圓因此四點(diǎn)共圓同理四點(diǎn)共圓，于是四點(diǎn)共圓，,所以是切線例19、已知分別是圓兩切線、是切點(diǎn)，平分,交于

11、,切于,交延長(zhǎng)線于.求證 證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）連接交于,交于,設(shè)線段交于，易知分別是中點(diǎn)，共線，根據(jù)配位中線知識(shí)可知,所以,又,所以,進(jìn)而,又,得到,即.證明（二）,所以,所以,所以,可知于是,得到,下面同證法（一）例20、回答廣州陳澤桐老師幾何題已知 是的旁切圓，是切點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 交于.則的充要條件是證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)交于,延長(zhǎng)線交直線于,交直線于點(diǎn),三角形三角,根據(jù)定理,所以,=所以四點(diǎn)共圓，可知,可知,根據(jù)定理, ,所以, ,成立的充要條件是 (1)， , 等價(jià)于,即根據(jù)（1）結(jié)論成立例21、已知：自外一點(diǎn)作切線及割線，自作的平行線，

12、分別交于。求證：。證明：聯(lián)結(jié)o，作于。由垂徑定理知。由，得都在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓，。而，得由此，推出四點(diǎn)共圓。得而，故，。在中，由中位線逆定理即得。例22、已知 為上一點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，分別與相切于，于，分別交于。求證：。證明：設(shè)交于，聯(lián)結(jié)交于。則垂直平分，即是中點(diǎn)。聯(lián)。由，得，于是，由此，得四點(diǎn)共圓，于是，。因是中點(diǎn)，故也是中點(diǎn)，即。證畢例23、已知 是切線，是切點(diǎn)，是割線，交于,直線交于,求證(2013 11 11 21:30)證明作于,延長(zhǎng)于,易知五點(diǎn)共圓，可知,所以四點(diǎn)共圓，于是,于是a,易知,所以,進(jìn)而根據(jù)相似知識(shí)可知.例24、 是等邊三角形，,連接,取中點(diǎn),求證證明（田開斌給

13、出）延長(zhǎng)到,使得,所以,所以,于是,可知,因?yàn)椋宰C明（二）上海-leenco林可先生證明：作等邊三角形,連接交延長(zhǎng)線于,連接,所以是外心，,所以,得到四點(diǎn)共圓，于是,得到夾角，可知,所以,于是,所以,易知,得到，進(jìn)而例25、已知 中，是垂心，外心，交于,交于,求證 .證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）取bc中點(diǎn)m,連接om,ah、de,設(shè)ah、de交于點(diǎn)n,連接on,hm,bhc=180°-bac=adh,had=cbh,所以ahdbch,于是hdnchn,進(jìn)而hnd=cmh,根據(jù)euler定理，四邊形onhm是平行四邊形，得到onh=omh,所以ond=omc=90

14、76;,所以oe=od.例26、已知四邊形是內(nèi)接四邊形，且 , 交于點(diǎn),點(diǎn)分別是外心.求證 平分證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）bai=had,所以iah=bad,(ab/2ai)=sinajb=sinajd=(ad/2ah),可知(ai/ah)=(ab/ad)(1),所以aihabd,aio=90°+bai=90°+90°-ajb=bjc, aio=abd=acb,所以iao=dbc,同理hao=bdc,設(shè)ao、jh交于點(diǎn)m,即證明im=mh,也就是aisiniao=ahsinhao,等價(jià)于(ai/ah)=(sinhao/siniao)=(sincdb/

15、sincbd)=(cb/cd),因?yàn)?ab/ad)=(bc/cd)，根據(jù)（1）結(jié)論顯然成立例27、已知 是外接圓，是邊中垂線所在的弦，, 交分別于.求證 明（蘇州學(xué)生方法）過m作mlac于l,mxab于x,，根據(jù)simson線可知：l、x、d共線，易知al=ax,所以dl/an,因此p在直線dl上，m、e、p、x四點(diǎn)共圓，m、l、f、p四點(diǎn)共圓，mbc=lam=mxl=mef=mab=bam=mfe=mcb,所以me=mf,進(jìn)而pf=pe證法（三）作mxab于x,所以abm=anm=pdm,易知m、b、d、x四點(diǎn)共圓，所以abm=xdm,于是x、p、d共線，易知m、e、p、x四點(diǎn)共圓，所以bm

16、e=aem-abm=mpx-mdp=dmp,同理cme=dmp,mb=mc,進(jìn)而mebmcf,因此me=mf,得到pe=pf例28、已知 是以為直徑的半圓兩切線，是切點(diǎn)，交于, 交于.求證 四點(diǎn)共圓證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）eda=eba+dab=(1/2)(fob+eoa)=(1/2)(180°-eof)=(1/2)epf,pe=pf,所以p是圓（def)圓心，所以pe=pd,可知pde=ped=bae=pce,于是p、e、d、c四點(diǎn)共圓例29、如圖，ab是圓o的切線，ade為圓o的割線，d介于a, e之間。m為ao的中點(diǎn)，圓m為abo的外接圓，bd交圓m于f。求證：

17、eb為m的切線，當(dāng)且僅當(dāng)bd=df。證明： 上海曹玨贇先生解答<充分性.若bd=df>設(shè)ade交圓m于k。由ako=90°, oe=od知：dk=keabdaeb => => => be為圓m的切線<必要性.若eb是圓m的切線>設(shè)ade交圓m于k。由ako=90°, oe=od知：dk=ke據(jù)題意知：abd=bed, ebk=bak=> abdbek據(jù)題意知：beo=ebo=bao=abm=> abmbeo于是d, k是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，又由于oke=90°，故mdb=90°。又由于mb=mf，故bd=df。證

18、明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)ae交m于h,bod=2bed=2abf=amf,所以bodamf,可知af×bo=bd×am(1),因?yàn)閙bo=bom=afd,be是切線等價(jià)于ebh=bah,等價(jià)于bhd=bdh,所以afd=adf,因此be是eb為m的切線等價(jià)于bomdfa,等價(jià)于af×bo=bm×df,因?yàn)閎m=am,根據(jù)（1）可知bd=df例30、已知是圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，自分別作的垂線，垂足記為。求證：。證明：自f分別作bc、ad的垂線，垂足記為s、t，聯(lián)st、pq。易知rtfcsrteaq，rtfdtrtebp，得(fs

19、/eq)(fc/ea)(fd/eb)(ft/ep)，又sftpeq， ftsepq。得ftsepq，于是qpsstq180°，從而p、s、t、q四點(diǎn)共圓。在直角梯形epsf中，m是腰ef的中點(diǎn)，故m落在線段ps的中垂線上；同理，m也落在線段qt的中垂線上。故m就是p、s、t、q四點(diǎn)所共圓的圓心。 mpmq。例31、已知設(shè)是垂心，點(diǎn)分別在邊上，且,.求證 四點(diǎn)共圓證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）延長(zhǎng)fd交ch延長(zhǎng)線于s,因?yàn)閎ah=dch=90°-abc=(1/2)fdb,所以dsc=dch=fah,即s、a、h、f四點(diǎn)共圓，因?yàn)閐s=de=dc,所以點(diǎn)d是sec外接圓圓心，所以sea=(1/2)sdc=afs,所以s、e、a、f四點(diǎn)共圓，因此a、h、f、s、e五點(diǎn)共圓，進(jìn)而a、h、f、e四點(diǎn)共圓例32、第27屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題，2001年已知是邊