有限元 4-薄板彎曲問題

1、土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-1/64有限單元法有限單元法第4章 彈性薄板彎曲問題的有限元法土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-2/64薄板是一種常見的工程構(gòu)件形式機(jī)械、航空和土建工程應(yīng)用廣泛特殊形式小撓度薄板薄板彎曲問題在理論上和應(yīng)用上都具有重要意義，并有專門著作加以論述（如楊耀乾平板理論）。象其它彈性力學(xué)問題一樣，用微分方程、差分法等經(jīng)典方法所能求解的薄板問題很有限，一般只能解決等厚、小孔口、支承情況較簡(jiǎn)單的單跨板。故工程設(shè)計(jì)中以往多采用簡(jiǎn)化、近似、圖表等方法來解決板的設(shè)計(jì)問題。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-3/64板殼結(jié)構(gòu)板殼結(jié)構(gòu) 板和殼是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲

2、面構(gòu)件。由于它的這種幾何特點(diǎn)，三維單元并不適合用來分析它們的變形。因?yàn)槿S單元在三個(gè)方向的尺寸應(yīng)盡量接近，否則求解精度由于“剪切自鎖”(shear locking)或系統(tǒng)矩陣病態(tài)而大大降低，甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)果。所以必須采用很細(xì)密的網(wǎng)格來適應(yīng)板和殼的幾何特征，但是這將導(dǎo)致有限元模型的自由度瘋狂地增長(zhǎng)。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-4/64平板上所承受的荷載分類平板上所承受的荷載通常有兩種:1. 面內(nèi)拉壓荷載面內(nèi)拉壓荷載。 由面內(nèi)拉壓剛度承擔(dān), 屬平面應(yīng)力問題。2. 垂直于板的法向荷載垂直于板的法向荷載。 彎扭變形為主，具有梁的受力特征，即常說的彎曲問題。平板在垂直于板面的荷載作用下產(chǎn)生撓度

3、w。 板的面內(nèi)變形與彎曲變形相互獨(dú)立，一般單獨(dú)推出各自的單元，然后再組裝在一起。平板殼體單元平面應(yīng)力單元彎曲板單元土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-5/64 當(dāng)最大撓度w遠(yuǎn)小于t 時(shí), 稱為小撓度問題（or剛性板）當(dāng)最大撓度w與t相差不大時(shí),稱為大撓度問題（or柔性板）大撓度問題與小撓度問題51tw551tw5tw工程定義: 為剛性板；為柔性板；為絕對(duì)柔性板。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-6/64薄板與中厚板在板的分析中，常取板的中性面為xoy平面(如圖)。平板結(jié)構(gòu)按其厚度t與短邊a的比值大小而分為:中厚板（Middle-Thick plate）和薄板（Thin plate)兩種。當(dāng)

4、時(shí)稱為薄板薄板薄板寬度與厚度比值寬度與厚度比值在在15以上以上1at土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-7/64中厚板薄板膜厚度與邊長(zhǎng)之比較小很小非常小理論Mindlin 板理論Reissner 板理論Kirchhoff 板理論膜理論特點(diǎn)考慮橫向剪切變形忽略橫向剪切變形忽略彎曲變形與梁比較深梁細(xì)長(zhǎng)梁弦土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-8/64 當(dāng)最大撓度w遠(yuǎn)小于t 時(shí), 稱為小撓度問題（or剛性板）當(dāng)最大撓度w與t相差不大時(shí),稱為大撓度問題（or柔性板）51tw551tw5tw工程定義: 為剛性板；為柔性板；為絕對(duì)柔性板。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-9/64一、基本假定一、基本假定、

5、略去垂直于中面的法向應(yīng)力。（ ），并以中面上沿Z方向的撓度w代表板的撓度。、變形前垂直中面的任意直線，變形后仍保持為垂直中面的直線。（法向假定, ）、板彎曲時(shí)，中面不產(chǎn)生平面內(nèi)應(yīng)力。(中面中性層假定， ) 上述假定常稱為薄板小撓度問題假定（or 柯克霍夫Kirchhoof假定）。符合上述假定的平板即為剛性板剛性板。4.1 基本理論基本理論0z0zx0zy,0 xyyx和梁對(duì)比理解土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-10/64二、基本方程二、基本方程 以上述假定為基礎(chǔ)，板分析中常用撓度w(x,y)作為基本未知量。、幾何方程（應(yīng)變、幾何方程（應(yīng)變撓度關(guān)系）撓度關(guān)系）彈性曲面沿x, y 方向的傾角從

6、中面取出一微小矩形ABCD，如圖所示，設(shè)其邊長(zhǎng)為dx, dy，變形后彎曲成曲面ABCD土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-11/64設(shè)A點(diǎn)撓度為w, 則沿x方向傾角(繞y軸)xwyB點(diǎn)撓度 dxxww沿y方向傾角(繞x軸) ywxD點(diǎn)撓度 dyyww土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-12/64 沿x, y 方向位移作平行于xoz平面,設(shè)中面上點(diǎn)A到A1的距離為z，變形后，A點(diǎn)有撓度w, 同時(shí)發(fā)生彎曲，曲面沿x方向的傾角為 , 根據(jù)法線假定,則A1點(diǎn)沿x方向的位移: (負(fù)號(hào)為方向與x相反) 同理取 yoz平面得，zywvzxwuxw /土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-13/64 z平面的應(yīng)

7、變分量和曲、扭率基本假定，由于 , 故板內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變與平面問題相同: 0zzxzyxvyuyvxuxyyx yxwzywzxwzxyyx222222將u,v代入此為z平面的應(yīng)變撓度幾何方程。 (4-1-2) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-14/64上式中的 , , 為曲面在x,y方向的曲、扭率。這三個(gè)參數(shù)稱作彈性曲面的彎扭變形分量，它們完全確定了薄板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變分量。記為： 22xw22ywyxw2 z所以, chi yxwywxw222222凱，器，凱，器，西西土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-15/64、物理方程（應(yīng)力、物理方程（應(yīng)力撓度關(guān)系）撓度關(guān)系）由于忽略z 對(duì)變形的影響,

8、 因此z平面的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有與平面問題相同的形式: xyxyxyyyxxEEE121122將(4-1-2)代入 022222222222111DyxwEzxwywEzywxwEzxyyx土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-16/64或簡(jiǎn)寫為： 0Dz式中彈性矩陣（平面應(yīng)力問題）: 21000101120ED(4-1-4) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-17/64板與梁的比較M土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-18/64、內(nèi)力方程（內(nèi)力、內(nèi)力方程（內(nèi)力撓度關(guān)系）撓度關(guān)系）從板內(nèi)取微元體tdxdy,由其上正應(yīng)力x,y和剪應(yīng)力xy ，可在截面上合成合力矩: Mx（yoz面上由x產(chǎn)生的繞y軸

9、彎矩） My（xoz面上由y產(chǎn)生的繞x軸彎矩）扭矩: Mxy（由剪應(yīng)力產(chǎn)生） 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-19/64應(yīng)力符號(hào)：正面正向?yàn)檎齲yzMxMxMyMyMxyMxyMyxMyxO 彎矩和扭矩Mx , My , Mxy , Myx 按右手螺旋法則用雙箭頭矢量來表示力偶，如圖所示（圖中所示各力偶的方向均為正）土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-20/64t/2t/2zdzxyzxMxyMxyMyxMyOxyyx11假定Mx, My ,Mxy分別表示單位寬度上的內(nèi)力矩。于是，內(nèi)力矩陣： yxwywxwDt2222203212 dzDzdzzMMMMttttxyyx222202土木工程

10、學(xué)院有限單元法有限單元法P-21/64簡(jiǎn)寫成 0312DtM (4-1-5) 前面推導(dǎo)了(4-1-4) Mzt312由此可見，平板上、下表面處的應(yīng)力最大： Mttz226 0Dz(4-1-4) 比較(4-1-4)和(4-1-5)可得用內(nèi)力矩表示的平板應(yīng)力: 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-22/644、板的平衡方程),()2(4422444yxqywyxwxwD薄板彎曲的彈性曲面方程：)1 (1223EtD式中： 以上是薄板彎曲問題中的基本公式，從中可見其撓度w是彎曲問題中的基本未知函數(shù)。且由于忽略了z方向的變化，因此它只是x，y 的函數(shù): w=w(x, y)。若w w已知，則位移、內(nèi)力、

11、應(yīng)力均可按上述相應(yīng)公式求出。在經(jīng)典解析法中，w(x, y)常設(shè)為三角級(jí)數(shù)形式。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-23/64在經(jīng)典解析法中，w(x, y)常設(shè)為三角級(jí)數(shù)形式。例如，四邊簡(jiǎn)支矩形板的w(x, y)設(shè)為: (納維爾解)11sinsin,mnmnbynaxmAyxw式中Amn為待定系數(shù)。假定荷載 11sinsin,mnmnbynaxmqyxq則可得位移函數(shù): bynaxmbnamqDyxwmnsinsin1,222224土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-24/644.2 有限元分析方法有限元分析方法 一、矩形單元的典型形式一、矩形單元的典型形式 將圖示矩形薄板沿x,y方向劃分成若干

12、小矩形(常取等分)。從中取出一小矩形(單元)，共有四個(gè)結(jié)點(diǎn)，此時(shí)不能象在平面問題中一樣，將結(jié)點(diǎn)此時(shí)不能象在平面問題中一樣，將結(jié)點(diǎn)視為視為“鉸鉸”，而是，而是“剛性的剛性的”，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量：個(gè)位移分量： 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-25/64即結(jié)點(diǎn)i的位移方向傾角上節(jié)為沿軸轉(zhuǎn)角繞方向傾角上節(jié)為沿軸轉(zhuǎn)角繞撓度xyyx wyx iyixiiixwywwwd 4 , 3 , 2 , 1i同理,相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力 ）軸力偶（上節(jié)中的繞）軸力偶（上節(jié)中的繞豎向力xyMyMxyixiziiMMFF方向和正負(fù)號(hào)問題？右手螺旋法則土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-26/64符號(hào)重

13、新定義是為了有限元表示的方便，由此得單元結(jié)位移向量 TyxyxTewwddd44411141節(jié)點(diǎn)力 TeFFF41TyxzyxzMMFMMF444111土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-27/64二、 位移模式（函數(shù)）、位移模式的選取、位移模式的選取插值多項(xiàng)式取為： 29283726524321,xyyxxyxyxyxyxw312311310 xyyxy (4-2-1) 在上式中,前10項(xiàng)取到了三次項(xiàng)的全部,最后兩項(xiàng)則是從五個(gè)四次項(xiàng) 中選用了兩個(gè)。沒選 是因?yàn)樗鼪]有多一項(xiàng)與其配對(duì)，沒選 ,它們?cè)谶吔缟辖o出的撓度函數(shù)是四次的，比 和 要高一次,較之更難滿足邊界的協(xié)調(diào)條件。 432234yxyy

14、xyxx22yx44,yxyx33xy土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-28/64、位移模式的檢驗(yàn)、位移模式的檢驗(yàn)（三個(gè)基本要求： 剛體位移，常應(yīng)變，盡可能的邊界協(xié)調(diào)） 前三項(xiàng)含單元的剛體位移狀態(tài)：第一項(xiàng)1 與坐標(biāo)x, y無關(guān), 表示z方向的撓度是常量, 剛體移動(dòng)表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第三項(xiàng)第二項(xiàng)32xxyyywxw 二次項(xiàng)代表均勻變形狀態(tài):曲率 4222xw6222yw扭率 522yxw土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-29/64 能保證相鄰單元在公共邊界上撓度的連續(xù)性 以單元的邊界為例，在此邊界上y=-b，為常量，代入位移模式 (4-2-1)，可知邊界上的撓度w是x的三次函數(shù)，合并整理后可得：3

15、4232121xcxcxccw兩個(gè)端點(diǎn)共有4個(gè)邊界條件(結(jié)點(diǎn)1,2的撓度w1 , w2 ,和轉(zhuǎn)角y1,y2 ）。利用他們可唯一確定四個(gè)常數(shù)C1 C4。因?yàn)橄噜弳卧诮Y(jié)點(diǎn)1, 2的w, y對(duì)應(yīng)相同，則兩個(gè)單元依據(jù)四個(gè)條件得到的C1 C4 亦相同，即兩單元在邊界具有同一撓度函數(shù)w。xyzbbaa土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-30/64 不能保證相鄰單元在公共邊界上法線轉(zhuǎn)角的連續(xù)性 仍以1-2邊界為例，將y=-b代入后，此時(shí)342321xdxdxddx 但對(duì)x來講，1, 2結(jié)點(diǎn)只能提供2個(gè)已知條件，不能完全確定上式中的四個(gè)待定常數(shù)，故邊界的法線轉(zhuǎn)角不能保證連續(xù)性。 因此，這種單元是非協(xié)調(diào)元，但

16、可以驗(yàn)證這種非協(xié)調(diào)元是能通過分片試驗(yàn)的。因而當(dāng)單元?jiǎng)澐植粩嗫s小時(shí)，計(jì)算結(jié)果仍能收斂于精確解。 分片試驗(yàn)可以看作：在常應(yīng)變情況下，位移的不協(xié)調(diào)部分對(duì)勢(shì)能有無貢獻(xiàn) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-31/64三、形函數(shù)和形函數(shù)矩陣三、形函數(shù)和形函數(shù)矩陣 分別將單元結(jié)點(diǎn)1, 2, 3, 4的坐標(biāo)值代入(4-2-1) ，并事先求出 ,便可得到各結(jié)點(diǎn)的位移值。一共可得12個(gè)關(guān)于i 的方程組，聯(lián)立求解可得i 。 如果采用局部坐標(biāo)（，）并用單元節(jié)點(diǎn)位移值來表示位移函數(shù)，則 ywxxwy4, 3 , 2, 1),(iyiyixixiiiNNwNw土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-32/64形函數(shù)矩陣: x

17、NxNyNyNNNNNNNNyyyxyx/4141444111 edNw (4-2-2) 4, 3 , 2, 1iyiyixixiiixyNyNwyN4, 3 , 2, 1iyiyixixiiiyxNxNwxN寫成矩陣形式: 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-33/64式中形函數(shù):2221181iiiiiN211181iiixibN211181iiiyiaN(i=1 2 3 4) (4-2-3)在上面的推導(dǎo)中，我們?nèi)匀贿x用了局部坐標(biāo)(無因次坐標(biāo))。局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系為: 01xxa01yybz 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-34/64四、單元的幾何矩陣四、單元的幾何矩陣B和內(nèi)力矩

18、陣和內(nèi)力矩陣S1幾何矩陣B由前可知 ,將（4-2-2）的w代入,得到幾何矩陣： z yxNyxNyNyNxNxNxNxNByyyyx421224221224221221221222（4-2-4） B以子塊形式表示： B=B1 B2 B3 B4。 edBzz則應(yīng)變可以表示為：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-35/64土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-36/64土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-37/642.內(nèi)力矩陣內(nèi)力矩陣S由基本方程（4-1-5） 可得到： eedSdBDF0（4-2-6） S稱為內(nèi)力矩陣，把單元的四個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別代入(4-2-4)，求得B后，即可獲得S ,內(nèi)力矩陣 S

19、的顯式如下： DtF123其中薄板彎曲問題的彈性矩陣：21000101)1 (12230EtD2100010112ED內(nèi)力向量，和結(jié)點(diǎn)力向量不同 xyyxMMMF土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-38/64)1 (1223Et土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-39/64土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-40/64五、單元?jiǎng)偠染仃囄?、單元?jiǎng)偠染仃囉梢话愎降? aabbTdxdyBDBK 0將幾何矩陣B和彈性矩陣D的表達(dá)式代入，積分可得薄板彎曲問題矩形單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨娘@式公式： 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-41/643659111416192124810131518201111

20、07161512212017365192114162418201315121201716151236591124810111107365241000000000000030kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkabDK土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-42/64土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-43/64土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-44/64六、荷載等效變換六、荷載等效變換由荷載等效變換的一般公式可得 aabbTdxdyyxFyxNR,),(1法向均布荷載q 1111,),(ddFyxNa

21、bTTababababqabR331331331331TqF00,代入上述公式得：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-45/642單元內(nèi)部點(diǎn)受法向集中力(或力偶)ababababPR22228如：?jiǎn)卧行狞c(diǎn)受法向集中力 aabbPPTdxdyyxPyxNR,),(),(),(PNPyxNTPPTPPTPP00 代入上述公式可得：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-46/64七、位移邊界條件七、位移邊界條件 對(duì)稱、固定邊和簡(jiǎn)支邊上支點(diǎn)的已知位移條件如下：對(duì)稱軸: 法線轉(zhuǎn)角=0固定邊: 撓度=0 (或已知值) 邊線轉(zhuǎn)角=0 (或已知值) 法線轉(zhuǎn)角=0 (或已知值) 簡(jiǎn)支邊: 撓度=0 (或已知值)

22、 邊線轉(zhuǎn)角=0 (或已知值)自由邊上節(jié)點(diǎn)的撓度、邊線和法線轉(zhuǎn)角均為特定參數(shù)，同內(nèi)部節(jié)點(diǎn)一樣。與板鉸接的固定立柱，其節(jié)點(diǎn)撓度w = 0，也可以是已知值。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-47/64八、計(jì)算例題例題1 計(jì)算圖示四邊固定方板。 方板的邊長(zhǎng)為l，厚度為t，彈性模型量為E，波松比=0.3，全板承受均布法向荷載，求薄板中的撓度和內(nèi)力。 單元?jiǎng)澐郑簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)澐郑?為了說明解題方法，采用最簡(jiǎn)單的網(wǎng)格22，即把方板分成四個(gè)矩形單元。由于對(duì)稱性，只需計(jì)算一個(gè)單元，例如，計(jì)算圖中有陰影的單元，單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為，。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-48/64此時(shí)，單元的a, b是:a=b=l/4 計(jì)

23、算節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算節(jié)點(diǎn)荷載: 由前面的均布荷載計(jì)算公式得：TllllllllqlR 21 12 12 121922邊界條件：邊界條件：邊界23和34為固定邊，因此節(jié)點(diǎn)2, 3, 4的撓度、邊線和法線轉(zhuǎn)角均為零。邊界12和14為對(duì)稱軸，因此x1 =0、y1 =0。于是，在4個(gè)節(jié)點(diǎn)12個(gè)位移分量中，只有一個(gè)待求的未知量w1 。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-49/64解出 16)681(15815821201120qlwlDwklD04100148. 0Dqlw 323009158. 0)1 (12EtEtD其中： 結(jié)構(gòu)的代數(shù)方程組：結(jié)構(gòu)的代數(shù)方程組：這是一個(gè)單元的計(jì)算題目，單元?jiǎng)偠染仃囋诖颂幖礊?/p>

24、總剛度矩陣。引入支承條件后，在總剛度矩陣中只取第一行、列元素，在方程組右端項(xiàng)中只保留第一個(gè)元素。于是結(jié)構(gòu)的代數(shù)方程為：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-50/64內(nèi)力內(nèi)力: 利用式(4-2-6)可求得單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)力矩為：位移向量?jī)H有w1土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-51/64由表看出，網(wǎng)格越密，計(jì)算結(jié)果越接近于精確答案。還可看出，位移的精度一般比內(nèi)力的精度高，這是因?yàn)樵谖灰品ㄖ?，位移是由基本方程直接求出的，而?nèi)力則是根據(jù)位移間接求出的。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-52/644.3 薄板有限元程序設(shè)計(jì)薄板有限元程序設(shè)計(jì) 一、總框圖一、總框圖 根據(jù)彎曲板有限元分析方法的解題過程，

25、可寫出其總框圖如下：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-53/64二、子框圖二、子框圖、單元坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)編號(hào)及單剛形式為了取撓度向下為正，又能與前述坐標(biāo)系統(tǒng)統(tǒng)一，特將前述坐標(biāo)前翻180 xzy土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-54/64程序中單剛數(shù)組為 DK(20, 20), 子程序: Subroutine DG(A, B, E, T, U)為其形成單剛的子程序。 為了能適用板的彈性分析,程序采用了應(yīng)力元和彎曲元的組合形式，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)考慮5個(gè)位移分量: u, v, w, x , y , 前2個(gè)為平面應(yīng)力問題的未知量,后3個(gè)為彎曲板的結(jié)點(diǎn)未知量。當(dāng)只作彈性分析時(shí)，平面應(yīng)力元和彎曲元是非藕連的，即單

26、剛的兩個(gè)副塊恒為0, 單剛的形式為：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-55/64、自動(dòng)形成單元編號(hào)信息（ 單元信息數(shù)組：IB）。、結(jié)點(diǎn)定位向量。、形成荷載列向量。（ a. 結(jié)點(diǎn)力； b. 非結(jié)點(diǎn)力(只考慮均布力)）、總剛，Subroutine ZG(M, N, LD, A, B, E, T,U)、解方程。 FJZG( ), HUD( )、算單元力。 Subroutine DYL( ) 、算等效結(jié)點(diǎn)力。 、彈性矩陣D 。10、幾何矩陣B。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-56/64三、輸入數(shù)據(jù)說明、總信息。共11個(gè)(見程序)、結(jié)點(diǎn)約束信息數(shù)組 JBJB(I,1) i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號(hào)JB(I,2

27、) i結(jié)點(diǎn)的約束分量號(hào)(15)結(jié)點(diǎn)約束信息應(yīng)根據(jù)支承條件或?qū)ΨQ條件決定，如算例中所給出的四邊簡(jiǎn)支方板，承受滿布均布力，此時(shí)可只取板的1/4作為分析對(duì)象，如下圖只取右上角1/4板，采用66網(wǎng)絡(luò)，則每個(gè)單元的邊長(zhǎng)為1米(a=0.5, b=0.5)。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-57/64設(shè)結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖示: 在y=0的邊界上(1-7結(jié)點(diǎn)): 撓度 w=0 (第3個(gè)分量) 繞y軸轉(zhuǎn)角y =0 (第5個(gè)分量) 同理,在平行于y軸的x=6m邊界上: w=0, x=0 (3,4分量) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-58/64在對(duì)稱軸x=0 邊界上 u=0, y =0在對(duì)稱軸y=6m 邊界上 v=0, x =0中點(diǎn)(43點(diǎn))除W外, 其余均=0同時(shí)，