精品數(shù)列中an與Sn的關(guān)系

1、課題淺談數(shù)列中an與sn的遞推公式的應(yīng)用對于任意一個數(shù)列，當(dāng)定義數(shù)列的前n項和通常用sn表示時，記作sna1a2an，此時通項公式an 而對于不同的題目中的an與sn的遞推關(guān)系，在解題時又應(yīng)該從哪些方向去靈活應(yīng)用ansnsn1(n2)去解決不同類型的問題呢？ 我們將從下面三個角度去探索在各類考試中出現(xiàn)的an與sn相關(guān)的問題：歸納起來常見的角度有：角度一：直觀運用已知的sn，求an；角度二：客觀運用ansnsn1(n2)，求與an，sn有關(guān)的結(jié)論；角度三：an與sn的延伸應(yīng)用角度一：直觀運用已知的sn，求an方法：已知sn求an的三個步驟(此時sn為關(guān)于n的代數(shù)式)：(1)先利用a1s1求出a1

2、；(2)用n1替換sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用ansnsn1(n2)便可求出當(dāng)n2時an的表達式；(3)對n1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫同時，在部分題目中需要深刻理解“數(shù)列的前n項和”的實際意義，對“和的式子”有本質(zhì)的認(rèn)識，這樣才能更好的運用sn求解如：a12a23a3nan2n1，其中a12a23a3nan表示數(shù)列nan的前n項和1已知數(shù)列an的前n項和snn22n2，則數(shù)列an的通項公式為()aan2n3 ban2n3can dan【解析】當(dāng)n2時，ansnsn12n3當(dāng)n1時，a1s11

3、，不滿足上式【答案】c2(2015·河北石家莊一中月考)數(shù)列an滿足：a13a25a3(2n1)·an(n1) ·3n+13(nn*)，則數(shù)列的通項公式an 【解析】當(dāng)n2時，a13a25a3(2n3)·an1(n2) ·3n3；則用已知等式減去上式得(2n1)·an(2n1)·3n，得an3n；當(dāng)n1時，a13，滿足上式；故an3n【答案】an3n3(2015·天津一中月考)已知an的前n項和為sn，且滿足log2(sn1)n1，則an 【解析】由已知得sn12n1，則sn2n11；當(dāng)n2時，ansnsn12n1

4、12n12n；當(dāng)n1時，a1s13，不滿足上式；故an【答案】an4(2015·四川成都樹德期中)已知an是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a545，a2a614(1)求an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：an1(nn*)，求bn的前n項和【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0， 由a2a614，可得a47 由a3a545，得(7d)(7d)45，解得d2 或d2(舍) ana4(n4)d72(n4)，即an2n1 (2)令cn，則c1c2c3cnan12n 當(dāng)n2時，c1c2c3cn12(n1) 由得，cn2， 當(dāng)n1時，c12，滿足上式；則cn2(nn*)，即2，bn

5、2n1， 故數(shù)列bn是首項為4，公比為2得等比數(shù)列， 數(shù)列bn的前n項和sn2n24角度二：客觀運用ansnsn1(n2)，求與an，sn有關(guān)的結(jié)論此類題目中，已知條件往往是一個關(guān)于an與sn的等式，問題則是求解與an，sn有關(guān)聯(lián)的結(jié)論那么我們需要通過對所求問題進行客觀分析后，判定最后的結(jié)果中是保留an，還是sn那么，主要從兩個方向利用ansnsn1(n2)：方向一：若所求問題是與an相關(guān)的結(jié)論，那么用snsn1an (n2)消去等式中所有sn與sn1，保留項數(shù)an，在進行整理求解；1(2015·廣州潮州月考)數(shù)列an的前n項和記為sn，a11，an12sn1(n1，nn*)，則數(shù)列

6、的通項公式是 【解析】當(dāng)n2時，an2sn11，兩式相減得an1an2(snsn1)，即an1an2an，得an13an；當(dāng)n1時，a23，則a23a1，滿足上式；故an是首項為1，公比為3得等比數(shù)列，an3n1【答案】an3n12數(shù)列an的前n項和為sn，若an14sn1，a11(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnnan，求數(shù)列bn的前n項和tn【解】(1)當(dāng)n2時，an4sn11，又an14sn1，an1an4an，即3(n2)，又a24a113，a11，數(shù)列an是首項為a11，公比為q3的等比數(shù)列，an(3)n1(2)由(1)可得bnn·(3)n1，tn1·(3)

7、02·(3)13·(3)2(n1)·(3)n2n·(3)n1，3tn1·(3)12·(3)2(n2)·(3)n2(n1)·(3)n1n(3)n，4tn1(3)1(3)2(3)n1n·(3)n，所以，tn方向二：若所求問題是與sn相關(guān)的結(jié)論，那么用ansnsn1(n2)消去等式中所有項數(shù)an，保留sn與sn1，在進行整理求解1已知數(shù)列an的前n項和為sn且滿足an2sn·sn10(n2)，a1(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達式【解】(1)證明：ansnsn1(n2)，又an2sn

8、3;sn1，sn1sn2sn·sn1，sn0因此2(n2)故由等差數(shù)列的定義知是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知(n1)d2(n1)×22n，即sn當(dāng)n2時，an2sn·sn1，又a1，不適合上式an2(2015·江西名校聯(lián)盟調(diào)考)已知正項數(shù)列an的前n項和為sn，且a2snan10(1)求數(shù)列sn的通項公式；(2)求證：2(sn+11)(提示：)【解】(1)ansnsn1(n2)，由a2snan10，得(snsn1)22sn(snsn1)10，整理得ss1當(dāng)n1時，a2s1a110，且a10，解得a11，故由等差數(shù)列的定義知s是以1為首項

9、，1為公差的等差數(shù)列sn，則sn(2)由(1)知2()， 2(1)2()2()2(1) 即2(sn11) 【總結(jié)】此類題目往往伴隨著等差、等比數(shù)列的判定，所以需要對數(shù)列的判定方法熟練掌握角度三：an與sn的延伸應(yīng)用解此類題目中不僅需要深刻理解“數(shù)列的前n項和”的實際意義，還需要對an關(guān)系式的形式結(jié)構(gòu)很熟練的掌握，這樣才能在題目中對已知等式靈活地變換當(dāng)然在解決問題的時候仍然需要從求誰的角度出發(fā)分析，確定等式的變換方向方向一：關(guān)于雙重前n項和此類題目中一般出現(xiàn)“數(shù)列an的前n項和為sn，數(shù)列sn的前n項和為tn”的條件，在解答時需要確定清楚求的是與an，sn，tn中誰相關(guān)的問題，確定已知等式的運用

10、方向但一般是求解最底層的an1(2015·湖北武漢質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列an的前n現(xiàn)和為sn，數(shù)列sn的前n項和為tn，滿足tn2snn2，nn*(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式【解】(1)當(dāng)n1時，t12s11，且t1s1a1，解得a11，(2)當(dāng)n2時，sntntn12snn22sn1(n1)22sn2sn12n1 sn2sn12n1 則sn12sn2n1 由，得an12an2， an122(an2)，即2(n2)， 易求得，a123，a226，則2，數(shù)列an2是首項為3，公比為2的等比數(shù)列， an23·2n1，則an3·2n12(nn*)2(2015

11、83;安徽滁州期末聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，數(shù)列sn的前n項和為tn，且2tn4sn(n2n)，nn*(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)設(shè)bn，證明：b1b2bn3【解】(1)當(dāng)n1時，2t14s12，且t1s1a1，解得a11，當(dāng)n2時，2t22(a1a1a2)4(a1a2)6，解得a23，當(dāng)n2時，2tn14sn1(n1)2(n1)2sn2tn2tn14sn(n2n)4sn1(n1)2(n1)整理得sn2sn1n 則sn12snn1 由，得an12an1， an112(an1)，即2(n2)， 顯然2，數(shù)列an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，(2)由(1)知，an12n，則

12、bn則b1b2bn，令tn，則tn ，由，得tn1 1則tn3，即b1b2bn3方向二：已知等式在整理過程中需要因式分解此類問題大多數(shù)時候會伴隨“各項均為正數(shù)的數(shù)列an”這樣的條件，運用在因式分解后對因式進行符號的判定，對因式進行的取舍1(2015·山東青島一模)各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a4sn2an1(nn*)，其中sn為an的前n項和(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式【解】(1)當(dāng)n1時，t12s11；又t1s1a1，則a12a11，解得a11；(2)當(dāng)n2時，sntntn1(2snn2)2sn1(n1)22sn2sn12n1， 整理得sn2sn12n1 sn1

13、2sn2n1 由，得an12an2an122(an2)，即2(n2)又t22s24；得a24當(dāng)n1時，a123，a226，則2，數(shù)列an2是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列則an23·2n1，所以an3·2n122已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，前n項和為sn，且sn，nn*(1)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn，tnb1b2bn，求tn【解】(1)由已知得，當(dāng)n1時，a1s1 (an0)，a11當(dāng)n2時，由得2anaanaan1 即(anan1)(anan11)0，anan1>0，anan11(n2)所以數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得an

14、n，sn，bntnb1b2b3bn11方向三：需對已知等式變形后，再求解1(2015·江西五校聯(lián)考)已知正項數(shù)列an中，其前n項和為sn，且an21(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，tn = b1b2b3bn，求tn【解】(1)由已知得，4sn(an1)2當(dāng)n2時，4sn1(an11)2，則4sn4sn1(an1)2(an11)2，整理得 (an1)2(an11)20，(anan12)(anan1)0又an0，則anan12，當(dāng)n1時，4s1(a11)2，得a11；故數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；an2n1(2)由(1)可得bn×，tn2(2015

15、3;浙江溫州中學(xué)月考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，已知a12，a28，sn14sn15sn(n2)，tn是數(shù)列l(wèi)og2an的前n項和(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求tn【解】(1)當(dāng)n2時，sn14sn15sn，sn1sn4(snsn1)，即an14an，當(dāng)n1時，a24a1；故數(shù)列an是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列an2·4n122n1(2)由(1)可知log2anlog222n12n1， tnlog2a1log2a2log2a3log2an1352n1n23(2015·江西三縣聯(lián)考)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記a(n)a1a2an，b(n)a2a3an1，c(n

16、)=a3a4an2，其中nn*(1)若a11，a25，且對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)依次組成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式；(2) a11，對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列an的前n項和an【解】(1)任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)依次組成等差數(shù)列，b(n)a(n)c(n)b(n)，則an1a1an2a2，即an2an1a2a14，故數(shù)列an是首項為1，公差為4的等差數(shù)列；an1(n1)×44n3(2)若對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列，b(n)qa(n)，

17、c(n)qb(n)，則c(n)b(n)qb(n)a(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1， 當(dāng)n1時，由b(1)qa(1)，可得a2qa1； 則an2qan1a2qa10，又an0，則q，故數(shù)列an是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列an4(2015·遼寧沈陽診斷考試)設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，a110，an19sn10(1)求證：lg an是等差數(shù)列；(2)設(shè)tn 是數(shù)列的前n項和，求tn；(3)求使tn(m25m)對所有的nn*恒成立的整數(shù)m的取值集合【解】(1)證明：當(dāng)n2時，an9sn110，an1an9(snsn1)，則an110an，即10，當(dāng)n1

18、時，a29a110100，則10，故數(shù)列an是以10為首項，10為公比的等比數(shù)列an10n，則lg ann，lg an1lg ann1n1，故數(shù)列l(wèi)g an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)知3， tn33(3)tn3， 當(dāng)n1時，tn取最小值依題意有(m25m)，解得1m6， 故整數(shù)m的取值集合為0,1,2,3,4,51(2015·江蘇揚州外國語中學(xué)模擬)已知數(shù)列an的前n項和sn2n3，則數(shù)列an的通項公式為 【解析】當(dāng)n2時，ansnsn12n32n132n1當(dāng)n1時，a1s11，不滿足上式【答案】an2(2015·遼寧沈陽二中月考)已知數(shù)列an滿足a1

19、a2n1，求數(shù)列an的通項公式【解】當(dāng)n2時，a1a2n21由已知等式減去上式，得a2n1a2n21(a21)a2n2，ann(a21)a2n2，當(dāng)n1時，a1a21，滿足上式；ann(a21)a2n23(2015·安徽江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)x，y都有f(x·y)= f(x)f(y)，若數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足f(sn2)f(an)= f(3)(nn*)，則an為( )a2n1bnc2n1dn1【解析】由f(x·y)= f(x)f(y)，f(sn2)f(an)= f(3)，得sn23an，sn123an1

20、(n2)，兩式相減得2an3an1；當(dāng)n1時，s123a1a12，則a11所以數(shù)列an是首項為1，公比為的等比數(shù)列【答案】ann14(2015·遼寧鞍山二中期中)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項和sn 滿足sn(bn1)，且a2b1，a5b2(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)設(shè)cnan·bn，tn為cn的前n項和，求tn【解】(1)當(dāng)n2時，sn1(bn11)，則bnsnsn1(bn1)(bn11)，整理得bn3bn1，當(dāng)n1時，b1(b11)，解得b13；故數(shù)列bn是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列bn3n，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a2b13，a5b29，則

21、解得d2，a11，an2n1，an2n1，bn3n(2)由(1)知cnan·bn(2n1)·3n，tn33·325·33(2n1)·3n，3tn 323·335·34(2n3)·3n(2n1)·3n1，由，得2tn32(32333n )(2n1)·3n132×(2n1)·3n1(22n)·3n16，tn(n1) 3n135在數(shù)列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nn*)，則數(shù)列的通項公式是 【解析】由已知n2時，an2sn1 ；當(dāng)n3時，a

22、n12sn2 整理得3 (n3)，an【答案】an6(2015·廣東桂城摸底)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為sn，且aan2sn(1)求a1；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)若bn(nn*)，tnb1b2bn，求證：tn【解】(1)當(dāng)n1時，aa12s1，且an0，得a11； (2)當(dāng)n2時，aan12sn1 ；且aan2sn ； 由，得(anan1)(anan11)0， 又an0，則anan11，故數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；ann(3)證明：由(2)知，bn， 當(dāng)n1時，b11，不等式成立； 當(dāng)n2時，2， tnb1b2bn1121，tn7(2015

23、3;大連雙基測試)已知數(shù)列an的前n項和snn22n1(nn*)，則an_【解析】當(dāng)n2時，ansnsn12n1，當(dāng)n1時，a1s142×11，因此an【答案】8(2014·煙臺一模)已知數(shù)列an前n項和為sn，首項為a1，且，an，sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(log2a2n1)×(log2a2n3)，求數(shù)列的前n項和【解】(1)，an，sn成等差數(shù)列，2ansn，當(dāng)n1時，2a1s1，a1，當(dāng)n2時，sn2an，sn12an1，兩式相減得：ansnsn12an2an1，2，所以數(shù)列an是首項為，公比為2的等比數(shù)列，即an&#

24、215;2n12n2(2)bn(log2a2n1)×(log2a2n3)(log222n12)×(log222n32)(2n1)(2n1)，×，數(shù)列的前n項和tn9(2014·山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為sn，sn2ann，則an_【解析】當(dāng)n2時，ansnsn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，數(shù)列an1是首項為a112，公比為2的等比數(shù)列，an12·2n12n，an2n1【答案】2n110(2014·湖南卷)已知數(shù)列an的前n項和sn，nn*(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn2an(

25、1)nan，求數(shù)列bn的前2n項和【解】(1)當(dāng)n1時，a1s11；當(dāng)n2時，ansnsn1n又a11滿足上式，故數(shù)列an的通項公式為ann(2)由(1)知，bn2n(1)nn，記數(shù)列bn的前2n項和為t2n，則t2n(212222n)(12342n)記a212222n，b12342n，則a22n12，b(12)(34)(2n1)2nn故數(shù)列bn的前2n項和t2nab22n1n211已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a34，an的前3項和為7(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，設(shè)數(shù)列bn的前n項和為sn，求證：2【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由

26、已知得q>0，且數(shù)列an的通項公式為an2n1(2)【證明】當(dāng)n1時，a1b11，且a11，解得b11當(dāng)n2時，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)·2n1an2n1，當(dāng)n2時，bn2n1b112×11滿足bn2n1，數(shù)列bn的通項公式為bn2n1(nn*)數(shù)列bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列snn2 當(dāng)n1時，12 當(dāng)n2時，2212設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，a11，an2 (n1) (nn*)(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并分別寫出an和sn關(guān)于n的表達式；(2)是否存在自然數(shù)n，使得s1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由【解】(1)由an2(n1)，得snnan2n(n1) (nn*)當(dāng)n2時，ansnsn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，故數(shù)列an是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列于是，an4n3，sn2n2n (nn*)(2)由snnan2n(n1)，得2n1 (nn*)，又s1(n1)21357