量子力學(xué)第三章

1、 a. .my是是2zl,l得共同本征函數(shù)得共同本征函數(shù)m2m2y) 1(yl而讓而讓 ilz作用于作用于my上，有：上，有： ),(ylmz ie )(cospn) 1(immmm me )(cospn) 1(immmmmymb. .量子數(shù)量子數(shù)和和m由由22) 1(l可知，可知，表示軌道角動(dòng)量的大小， 稱為表示軌道角動(dòng)量的大小， 稱為(軌道軌道) )角量子數(shù)角量子數(shù)，角動(dòng)量是量子化的。，角動(dòng)量是量子化的。0的態(tài)稱為的態(tài)稱為 s態(tài)，態(tài)，3 , 2 , 1稱稱 p,d,fp,d,f態(tài)。態(tài)。c.c.2l的本征值的本征值22) 1(l的簡并度的簡并度 對應(yīng)一個(gè)本征值有一個(gè)以上的本征函數(shù)的情況成為簡

2、并。對對應(yīng)一個(gè)本征值有一個(gè)以上的本征函數(shù)的情況成為簡并。對應(yīng)同一個(gè)本征值的相互獨(dú)立的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。應(yīng)同一個(gè)本征值的相互獨(dú)立的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。 對對給給定定的的，m有有) 12(個(gè)個(gè)取取值值。2l的的本本征征值值是是) 12(度度簡簡并并的的。如：如：2時(shí)，時(shí)，2, 1, 0m，對應(yīng)的態(tài)為：，對應(yīng)的態(tài)為： 2222122120y,y,y,y,y 簡并度為簡并度為 5。 特點(diǎn)：特點(diǎn)：) r (u) r (u與與,無關(guān)，中心對稱。無關(guān)，中心對稱。一、電子在庫倫場中的運(yùn)動(dòng)（輳力場的一種形式）一、電子在庫倫場中的運(yùn)動(dòng)（輳力場的一種形式）rzerus2)(體系體系 hamilton

3、量量rzehs2222u(r)=-zes2/r考慮一電子在一帶正電的核考慮一電子在一帶正電的核 所產(chǎn)生的電場中運(yùn)動(dòng)，電子所產(chǎn)生的電場中運(yùn)動(dòng)，電子 質(zhì)量為質(zhì)量為，電荷為，電荷為 -e-e，核電，核電 荷為荷為 +ze+ze。取核在坐標(biāo)原點(diǎn)，。取核在坐標(biāo)原點(diǎn)， 電子受核電的吸引勢能為：電子受核電的吸引勢能為：h的本征方程的本征方程 erzes2222對于勢能只與對于勢能只與 r r 有關(guān)而與有關(guān)而與, 無關(guān)的有心力場，使用球坐標(biāo)求無關(guān)的有心力場，使用球坐標(biāo)求 解較為方便。于是方程可改寫為：解較為方便。于是方程可改寫為： rxz球球 坐坐 標(biāo)標(biāo)r yerzerrrrs2222222sin1)(sin

4、sin1)()1(2erzerlrrrrs2222222)(2 22222sin1)(sinsin1 l此式使用了角動(dòng)量平方此式使用了角動(dòng)量平方 算符算符 l2 的表達(dá)式：的表達(dá)式：2.2.求解求解 schrodinger schrodinger 方程方程（1 1）分離變量）分離變量 化簡方程化簡方程(r, ) = r(r) ylm(, )令令errrzerllrrrrs2222222) 1()(2注意到注意到 l2 ylm = ( +1) 2 ylm則方程化為：則方程化為：令令 r(r) = u(r) / r 代入上式得：代入上式得：0) 1(222222urllrzeedrudsrzerl

5、lrvs2222)1()(若令若令0)(2222 urvedrud 0)1(|22222222urllerzedrudserzerlrrrrs2222222)(2),()(),()(2)(2222222lmlmsyreryrrrzerlrrrr討論討論 e 0 e 0 情況，情況，方程可改寫如下：方程可改寫如下：于是化成了一維問題，勢于是化成了一維問題，勢v(r)v(r)稱為等效勢，它由離心勢和庫稱為等效勢，它由離心勢和庫侖勢兩部分組成。侖勢兩部分組成。0) 1(|84112222222urllerzedruds|22|82222ezezeess令令0)1(422 urllru 22222 d

6、uddrudddudrdur 0)1(41222 ulldud （2）求解）求解(i) 解的漸近行為解的漸近行為04122 udud 時(shí)，方時(shí)，方 程變?yōu)槌套優(yōu)?/2/ eaaeu 2/ aeu0)() 1()()(2 fllff2/)( efu所以可所以可 取取 解解 為為有限性條件要求有限性條件要求 a= 0 20)()1() 1)()1() 1(011220 sssbsbllssbllss(ii) (ii) 求級數(shù)解求級數(shù)解令令0)(00 bbfs 為了保證有限性條件要求：為了保證有限性條件要求：當(dāng)當(dāng) r 0 r 0 時(shí)時(shí) r = u / r 有限成立有限成立 100sb即即0)()1(

7、) 1)(0102 ssbsbllss0)()1()()(2 fllff代入方程代入方程令令 =-1 第一個(gè)求和改為第一個(gè)求和改為:把第一個(gè)求和號中把第一個(gè)求和號中= 0 = 0 項(xiàng)單獨(dú)寫出，則上式改為：項(xiàng)單獨(dú)寫出，則上式改為： 011)1()11)(1( sbllss再將標(biāo)號再將標(biāo)號改用改用 后與第二項(xiàng)合并，后與第二項(xiàng)合并， 代回上式得：代回上式得：0)()1()(1()1() 1(01120 ssbsbllssbllss102/2/)( sbeefrurs(s-1)-s(s-1)- ( ( +1)b +1)b0 0 = 0 = 0 s(s-1)- s(s-1)- ( ( +1) = 0 +

8、1) = 0 1llss = - 不滿足不滿足 s 1 條件，舍去。條件，舍去。s = +1高階項(xiàng)系數(shù)：高階項(xiàng)系數(shù)：(+ s + 1)(+ s )- ( + 1)b+1+(-s)b = 0系數(shù)系數(shù)b b的遞推公式的遞推公式 bllsssb)1()(1()(1 blllblllll)22)(1) 1() 1)(2(1注意到注意到 s = +1上式之和恒等于零，所以上式之和恒等于零，所以得各次冪得系數(shù)分別等于零，即得各次冪得系數(shù)分別等于零，即3.3.使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解（3）有限性條件）有限性條件（1）單值；）單值； （2）連續(xù)。）連續(xù)。二條件滿足二條件滿足1. 0 時(shí)，時(shí)， r(r)

9、 有限已由有限已由 s = + 1 條件所保證。條件所保證。2. 時(shí)，時(shí)， f () 的收斂性的收斂性 如何？如何？ 需要進(jìn)一步討論。需要進(jìn)一步討論。 ! 2! 112 e 1)22)(1limlim1 lllbb所以討論波函數(shù)所以討論波函數(shù) 的收斂的收斂 性可以用性可以用 e 代替代替 f () 1)!1(!1)!1(1 后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比 2/2/2/)()(eeefeur級級 數(shù)數(shù) e 與與f() 收收 斂斂 性性 相同相同 2/e 可見若可見若 f ()f () 是是無窮級數(shù)，則波函數(shù)無窮級數(shù)，則波函數(shù) r r不滿足有限性條件，所不滿足有限性條件，所以必須把級數(shù)從某項(xiàng)

10、起以必須把級數(shù)從某項(xiàng)起截?cái)嘟財(cái)?。與諧振子問題類似，為討論與諧振子問題類似，為討論 f () f () 的收斂性現(xiàn)考察級的收斂性現(xiàn)考察級數(shù)后項(xiàng)系數(shù)與前項(xiàng)系數(shù)之比：數(shù)后項(xiàng)系數(shù)與前項(xiàng)系數(shù)之比：最高冪次項(xiàng)的最高冪次項(xiàng)的 maxmax = n = nr r令令 001rrnnbb注意注意 此時(shí)多項(xiàng)式最高項(xiàng)此時(shí)多項(xiàng)式最高項(xiàng) 的冪次為的冪次為 n nr r+ + + 1 + 10) 22)(11 rrnrrrnblnlnlnb 則則nlnr 1 010 lnbrnr分分子子所所以以因因?yàn)闉橛谑沁f推公式改寫為于是遞推公式改寫為 角角量量子子數(shù)數(shù)徑徑量量子子數(shù)數(shù),2, 1 ,0,2, 1 ,0lnr量量 子子

11、數(shù)數(shù) 取取 值值主主量量子子數(shù)數(shù) , 3 , 2 , 1n由由 定定 義義 式式3 , 2 , 12|222422nnezeeezesns由此可見，在粒子能量由此可見，在粒子能量 小于零情況下（束縛態(tài)）小于零情況下（束縛態(tài)） 僅當(dāng)粒子能量取僅當(dāng)粒子能量取 e en n 給出給出 的分立值時(shí)，波函數(shù)才滿的分立值時(shí)，波函數(shù)才滿 足有限性條件的要求。足有限性條件的要求。3 , 2 , 122242nnezesn en 0)()(mkkkmmkeddel 0) 22)(11 bllnlb將將= n 代入遞推公式：代入遞推公式：利用遞推公式可把利用遞推公式可把 b1, b2, ., bn- -1 用用b

12、0 表示表示 出來。將這些系數(shù)代入出來。將這些系數(shù)代入 f ( )表達(dá)式得：表達(dá)式得： 010101100)(bbbbbflnlllnsnr )()!()!1()!12()()32)(22()!1(1)2)(1()1()32)(22( ! 2)2)(1()22( ! 111)(12112011210 lnllnlnlllnlnlblnlllnlnlnlllnlnllnbf!)!12()!1()!()1()(2110121 llnlnllnln式式中中其封閉形式如下：其封閉形式如下：締合拉蓋爾多項(xiàng)式締合拉蓋爾多項(xiàng)式rnazr02 注注意意到到： rnazlrnazenrrllnlrnaznlnl

13、012022)(0總總 波波 函函 數(shù)數(shù) 為：為：),()(),( lmnlnlmyrrr 至此只剩至此只剩 b b0 0 需要需要?dú)w一化條件確定歸一化條件確定則徑向波函數(shù)公式：則徑向波函數(shù)公式： )()()()()(1212/2/ llnlnlnlnllaefeurrurr22224222228|8neznezess徑向波函數(shù)徑向波函數(shù)22002seanaz其中第一第一borh borh 軌道半徑軌道半徑)(122/ llnlnllen1)(sin)(2200*22* drrrrddyydrrrrdnllmlmnlnlmnlm 使用球函數(shù)的使用球函數(shù)的 歸一化條件：歸一化條件：利用拉蓋爾多項(xiàng)

14、式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化利用拉蓋爾多項(xiàng)式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達(dá)式如下：系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達(dá)式如下：2/1330)!(2)!1(2 lnnlnnaznnl從而系數(shù)從而系數(shù) b b0 0 也就確定了也就確定了4.歸一化系數(shù)歸一化系數(shù)下面列出了前幾個(gè)徑向波函數(shù)下面列出了前幾個(gè)徑向波函數(shù) r n l 表達(dá)式：表達(dá)式： razzazrazazazrazazazrazazrazazrazazazazazazazerrrrerrrerrrrrerrerrrerr030003000030000200020000215812/323

15、138132722/32312274342/333032/32212/32202/310)()()()(2)()()2()(2)( （1 1）本征值和本征函數(shù)）本征值和本征函數(shù)lmnlyrrrnnezelmnlnlmsn, 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242（2 2）能級簡并性）能級簡并性能量只與主量子數(shù)能量只與主量子數(shù) n 有關(guān)，而本征函數(shù)與有關(guān)，而本征函數(shù)與 n, , m 有關(guān)，故能級存在簡并。有關(guān)，故能級存在簡并。當(dāng)當(dāng) n n 確定后，確定后， = n - n = n - nr r- 1- 1，所以，所以 最大值為最大值為 n - 1n

16、 - 1。當(dāng)當(dāng) 確定后，確定后，m = 0,m = 0,1,1,2,., 2,., 。 共共 2 2 + 1 + 1 個(gè)值。所以對于個(gè)值。所以對于 e e n n 能級其簡并度為：能級其簡并度為：210)12(nlnl 即對能量本征值即對能量本征值e en n由由 n n2 2 個(gè)本征函數(shù)與之對應(yīng)，也就是說有個(gè)本征函數(shù)與之對應(yīng)，也就是說有 n n2 2 個(gè)量子態(tài)的能量是個(gè)量子態(tài)的能量是 e en n。 n = 1 n = 1 對應(yīng)于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，對應(yīng)于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，e e1 1 =z=z2 2 e es s4 4 / 2 / 2 2 2，相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)是，相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)

17、是 100 100 = r= r1010 y y0000，所以基態(tài)是非簡并態(tài)。，所以基態(tài)是非簡并態(tài)。當(dāng)當(dāng) e 0 e 0 時(shí)，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內(nèi)，在無時(shí)，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內(nèi)，在無窮遠(yuǎn)處，粒子不出現(xiàn)，有限運(yùn)動(dòng)窮遠(yuǎn)處，粒子不出現(xiàn)，有限運(yùn)動(dòng), ,波函數(shù)可歸一化為一。波函數(shù)可歸一化為一。n = nn = nr r+ + + l + l = 0,1,2,. n = 0,1,2,. nr r = 0,1,2,.= 0,1,2,.二、總結(jié)二、總結(jié) 上面我們討論電子在核所產(chǎn)生的電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，選取了核上面我們討論電子在核所產(chǎn)生的電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，選取了核的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)。如把以上結(jié)果直

18、接應(yīng)用到氫原子，則只有的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)。如把以上結(jié)果直接應(yīng)用到氫原子，則只有當(dāng)原子核固定的時(shí)候，才完全準(zhǔn)確，即把核的質(zhì)量看作無窮。實(shí)當(dāng)原子核固定的時(shí)候，才完全準(zhǔn)確，即把核的質(zhì)量看作無窮。實(shí)際上核的質(zhì)量是有限的，在庫侖力的作用下，核與電子都繞它們際上核的質(zhì)量是有限的，在庫侖力的作用下，核與電子都繞它們的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。 （當(dāng)然質(zhì)心位置非常接近核的中心） 。于是氫原子問（當(dāng)然質(zhì)心位置非常接近核的中心） 。于是氫原子問題成為兩體問題。在經(jīng)典力學(xué)中兩體問題可歸結(jié)為單體問題，在題成為兩體問題。在經(jīng)典力學(xué)中兩體問題可歸結(jié)為單體問題，在量子力學(xué)中，也可以這樣做，引入電子相對核的坐標(biāo)和質(zhì)心在空量子力學(xué)

19、中，也可以這樣做，引入電子相對核的坐標(biāo)和質(zhì)心在空間的坐標(biāo)，可把兩體薛定鄂方程分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)電子間的坐標(biāo)，可把兩體薛定鄂方程分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)電子相對核的運(yùn)動(dòng)方程。相對核的運(yùn)動(dòng)方程。一、兩體問題化為單體問題：一、兩體問題化為單體問題： 由多粒子體系的薛定諤方程得：由多粒子體系的薛定諤方程得：) t ;z,y,x;z,y,x(ti222111)zyx(221221221212 u)zyx(222222222222) t ;zx(21 (1)其中其中1、2分別為電子與核的質(zhì)量。分別為電子與核的質(zhì)量。引入引入相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)：21221121rrrrrr電子相對于核

20、的坐標(biāo)的分量為：電子相對于核的坐標(biāo)的分量為： 21xxx，21yyy， 21zzz (2)質(zhì)心坐標(biāo)的分量為：質(zhì)心坐標(biāo)的分量為： mxxxxx2211212211 myyyyy2211212211 mzzzzz2211212211 (3)其中其中21m為體系的總質(zhì)量。為體系的總質(zhì)量。 1x+r1r2rr 2oyz則：則：xxmxxxxxxx1111)xxm(x1212)xxm(1222122221xxxm2xm同理：同理：222x222222222xxxm2xm同理可得：同理可得：212y、222y、212z和和222z的變換式。的變換式。把這些式子代入薛定諤方程把這些式子代入薛定諤方程(1)中

21、，可得到以相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐中，可得到以相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)表示的體系薛定鄂方程：標(biāo)表示的體系薛定鄂方程： ) t ,z,y,x, z, y, x(ti)zyx(m22222222 )z, y, x(u)zyx(22222222) t ,z, x( (4)式中式中2121 稱為稱為約化質(zhì)量約化質(zhì)量（或折合質(zhì)量）（或折合質(zhì)量） 。 采用分離變量法，設(shè)采用分離變量法，設(shè)) t ()z,y,x()z, y, x( 代入薛定代入薛定鄂方程鄂方程(4)且遍除且遍除 得：得： total2222e)z, y, x(u12)(1m2dtdi令相對質(zhì)心則：則：總edtdi，其解為，其解為teice) t (總 t

22、otal2222e) z, y, x(u121m2相對質(zhì)心而而221m2質(zhì)心 和和)z, y, x(u1222相對應(yīng)應(yīng)分分別別等等于于常常數(shù)數(shù)，令令為為eetotal和和e則：則：e)z, y, x(u)zyx(22222222 (5) )ee()zyx(m2total2222222 (6)二、單體方程的解二、單體方程的解1.1.質(zhì)心方程：質(zhì)心方程：)ee(m2)zyx(m2total222222222質(zhì)心即是能量為即是能量為eetotal的自由粒子的定態(tài)薛定鄂方程。的自由粒子的定態(tài)薛定鄂方程。 由此可見，質(zhì)心是按能量為由此可見，質(zhì)心是按能量為eetotal的自由粒子的方式運(yùn)的自由粒子的方式運(yùn)

23、動(dòng)，波函數(shù)是平面波。動(dòng)，波函數(shù)是平面波。2. .相對方程相對方程 我們感興趣的是原子內(nèi)部的狀態(tài)，即電子相對于核的運(yùn)動(dòng)狀我們感興趣的是原子內(nèi)部的狀態(tài)，即電子相對于核的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相對運(yùn)動(dòng)能量態(tài)。相對運(yùn)動(dòng)能量e就是電子的能級。就是電子的能級。 e) z, y, x(u222相對 對于氫原子：對于氫原子：rzeu2sre2s (1z ) 這樣，只要將粒子質(zhì)量理解為約化質(zhì)量就可以完全搬用上這樣，只要將粒子質(zhì)量理解為約化質(zhì)量就可以完全搬用上節(jié)的結(jié)果，即氫原子體系的解為：節(jié)的結(jié)果，即氫原子體系的解為： 224s2nn2eze , 3 , 2 , 1n (1z ) ),(y) r (r), r (lmnlnl

24、m， (1z )說明：由于說明：由于（電子）質(zhì)子）1(2，所以，所以與電子質(zhì)量相當(dāng)，即：與電子質(zhì)量相當(dāng)，即： 12121（這是從數(shù)量級上而言的）（這是從數(shù)量級上而言的）三、結(jié)果討論：三、結(jié)果討論：1 1. .能級能級a.a.束縛態(tài)束縛態(tài)（即結(jié)合態(tài)）（即結(jié)合態(tài)）能級取分立值， 即：能級取分立值， 即：224snn2ee (, 3 , 2 , 1n )且隨且隨n增大而增大增大而增大（ne減小） ；減小） ；能級間距：能級間距：2224sn1n)1n(n1n22eeee隨隨n的增大而減小，即能級越來越密。的增大而減小，即能級越來越密。b. .非束縛態(tài)非束縛態(tài)能譜為連續(xù)譜，電子處于電離狀態(tài)，能量能譜為

25、連續(xù)譜，電子處于電離狀態(tài)，能量0e 。這。這時(shí)電子脫離原子核的庫侖力作用而作自由運(yùn)動(dòng)，時(shí)電子脫離原子核的庫侖力作用而作自由運(yùn)動(dòng)，e 取大于零的任取大于零的任意值。意值。c. .電離能電離能：電子由基態(tài)躍遷到非束縛態(tài)所需的最小能量。由于：電子由基態(tài)躍遷到非束縛態(tài)所需的最小能量。由于當(dāng)當(dāng)n時(shí)，時(shí)，0e，電子不再束縛在核的周圍，完全電離，因，電子不再束縛在核的周圍，完全電離，因此此e與基態(tài)電子能量之差即為電離能。與基態(tài)電子能量之差即為電離能。 氫原子的電離能氫原子的電離能（基態(tài)原子的離解能）為：（基態(tài)原子的離解能）為： 1ee60.132e24sev.注：若采用折合質(zhì)量注：若采用折合質(zhì)量計(jì)算：計(jì)算：

26、5926.13e1ev (書上書上 13.597ev)2. .光譜公式光譜公式(躍遷頻率躍遷頻率)：2eenn)n1n1(4e2234s)n1n1(rc22 巴巴爾爾末末公公式式其中其中1 .10973731c4er34s1米 若用約化質(zhì)量若用約化質(zhì)量，則，則10967758r 1米 與實(shí)驗(yàn)值與實(shí)驗(yàn)值 6 .10967757r實(shí)驗(yàn)1米符合的很好。符合的很好。3.3.簡并度：簡并度： 氫原子氫原子（電子）的能量本征值（電子）的能量本征值ne依賴于主量子數(shù)依賴于主量子數(shù)n。對于給。對于給定的能級定的能級ne，, 2 , 1 , 01n 共共n個(gè)；而給定個(gè)；而給定2, 1, 0m,共共) 12(個(gè)，

27、所以個(gè)，所以能級能級ne的簡并度的簡并度1n02n) 12()n(f。 氫原子能量的簡并度比一般中心輳力場的能級簡并度氫原子能量的簡并度比一般中心輳力場的能級簡并度) 12(要大。原因在于庫侖勢要大。原因在于庫侖勢r1。這樣的中心力場比一般的。這樣的中心力場比一般的中心場中心場) r (v具有具有更多的對稱性更多的對稱性所致。所致。4. .幾率分布幾率分布 ddrdsinr),(y) r (rddw22mn2mn ddrdsinr),(y) r (r22m2n為氫原子處于為氫原子處于mn態(tài)時(shí)，電子處于態(tài)時(shí)，電子處于), r (點(diǎn)周圍的體積元點(diǎn)周圍的體積元ddrdsinrd2內(nèi)的幾率。內(nèi)的幾率。

28、徑向幾率分布：徑向幾率分布：b. .nl的的圖圖象象： 無論方向如何無論方向如何（即對（即對,積分）積分）在半徑在半徑drrr的球殼內(nèi)找到電的球殼內(nèi)找到電子的幾率是：子的幾率是：drrrddrdsinr),(y) r (rdw22n22200mnn rdra. .在不同球殼內(nèi)找到電子的幾率分布：在不同球殼內(nèi)找到電子的幾率分布：n=1=00 2 4 60.50.40.30.20.1a0rr2r20 4 8 12 160.20.1n=2=00.20.10 4 8 12 16=14a0n=3=00 10 20 0.20.1 =10 10 20 0.19a0 =20 10 20 0.1縱坐標(biāo)是縱坐標(biāo)是

29、1512nl210m) r (rr 從圖象中可以看出從圖象中可以看出1nnr ，給出了，給出了nr的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，如如 32曲線曲線：2, 3n ，0123nr無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)；另外，兩節(jié)點(diǎn)間有一極值另外，兩節(jié)點(diǎn)間有一極值。c. .與玻爾理論比較：與玻爾理論比較： 玻爾原子模型中電子有確定的軌道，圓軌道半徑玻爾原子模型中電子有確定的軌道，圓軌道半徑20nnar （a529. 0a0 為氫原子第一玻爾軌道半徑）即：為氫原子第一玻爾軌道半徑）即： ,ar01,a4r0203a9r 在量子力學(xué)中，電子并無嚴(yán)格的軌道概念，量子力學(xué)認(rèn)為在量子力學(xué)中，電子并無嚴(yán)格的軌道概念，量子力學(xué)認(rèn)為只能給出其位置

30、幾率分布，有若干極大值，以基態(tài)為例：只能給出其位置幾率分布，有若干極大值，以基態(tài)為例：2ar230221010re4)a1(rr0令令0drd10 ，則則可可得得：0max10a)r ( (玻爾半徑玻爾半徑)所以玻爾軌道與量子力學(xué)中電子位置幾率分布最大位置符合，所以玻爾軌道與量子力學(xué)中電子位置幾率分布最大位置符合，此也即為此也即為玻爾電子軌道半徑的本質(zhì)。玻爾電子軌道半徑的本質(zhì)。其它為：其它為：0max21a4)r ( ，0max32a9)r ( ，0max43a16)r (角向幾率分布角向幾率分布:a. .無論無論r取何值，在方向取何值，在方向),(附近立體角附近立體角ddsind內(nèi)找內(nèi)找到電

31、子的幾率是：到電子的幾率是：drdr),(y) r (rd),(),(dw220rmnmmd),(y2md)(cospn2m2m其中角向幾率密度其中角向幾率密度2mmmyd),(dw),(而而my中關(guān)于中關(guān)于的部分僅為的部分僅為ime則則)(y),(m2mm僅與僅與有關(guān)，而與有關(guān)，而與無關(guān)，關(guān)于無關(guān)，關(guān)于是對稱的。是對稱的。所以角向幾率分布繞所以角向幾率分布繞 z軸具有旋轉(zhuǎn)對稱性。軸具有旋轉(zhuǎn)對稱性。b. .m的圖象的圖象： 如：如：0m, 0時(shí)，幾率密度為時(shí)，幾率密度為:4141y2200001m, 1時(shí)，幾率密度分別為：時(shí)，幾率密度分別為：22i21111sin83esin83y22i211

32、11sin83esin83y在在2時(shí)有最大值，在極軸方向時(shí)有最大值，在極軸方向)0( 時(shí)值為時(shí)值為 0。zxyzy0m, 1時(shí)，幾率密度為時(shí)，幾率密度為:2210cos43cos43在在0處幾率最大，處幾率最大，2處幾率為零。處幾率為零。zyyxz一、兩函數(shù)正交的定義：一、兩函數(shù)正交的定義： 三維空間中二矢量正交：三維空間中二矢量正交： 0rrrrrrrrrr31iii332211n 維空間中二矢量正交：維空間中二矢量正交： 0vuvuin1ii 對于二實(shí)函數(shù)對于二實(shí)函數(shù))x(),x(21，也可看成二矢量，但因，也可看成二矢量，但因)x(),x(21隨隨x連續(xù)變化，原來取和變成積分，這時(shí)正交定

33、義連續(xù)變化，原來取和變成積分，這時(shí)正交定義為：為： 0dx)x()x(21類似的有：類似的有：0d) r () r (21，積分對，積分對 r變化的全部區(qū)域進(jìn)行。變化的全部區(qū)域進(jìn)行。例如：動(dòng)量本征函數(shù)例如：動(dòng)量本征函數(shù)) r (prpi2/3e)2(1，則：，則：這這就就是是說說屬屬于于動(dòng)動(dòng)量量算算符符不不同同本本征征值值的的兩兩個(gè)個(gè)本本征征函函數(shù)數(shù)) r (),r (pp相相互互正正交交。1. .非簡并情況：非簡并情況： 0dk )k(證明：證明： 因因kkkf； f ，則有：，則有： d)f(kkkddkk dfkdk而而d)f(kdfk則：則：dkkdk即：即：0d)(kk而而k所以：所

34、以：0dk這就證明了無論這就證明了無論f的本征值組成分立譜還是連續(xù)譜，屬于不同的本征值組成分立譜還是連續(xù)譜，屬于不同本征值的本征函數(shù)都是正交的。本征值的本征函數(shù)都是正交的。說明說明：假若：假若1dkk，則：，則：k, 1k, 0dkk于是稱于是稱n321,為厄米算符為厄米算符f的的正交歸一正交歸一本征函數(shù)系本征函數(shù)系。 假若假若f的本征值組成連續(xù)譜，則代替上式有：的本征值組成連續(xù)譜，則代替上式有： )(d, 0于是稱于是稱為厄米算符為厄米算符f的的正交歸一本征函數(shù)系正交歸一本征函數(shù)系。2.2.簡并情況簡并情況上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時(shí)，曾假設(shè)上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時(shí)，曾假設(shè)

35、這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。如果如果 f f 的本征值的本征值 是是f f度簡并的，則對應(yīng)度簡并的，則對應(yīng) 有有f f個(gè)本征函數(shù)：個(gè)本征函數(shù)：n1n1 , ,n2 n2 , ., , ., nfnf 滿足本征方程：滿足本征方程：fifninni, 2 , 1一般說來，這些函數(shù)一般說來，這些函數(shù) 并不一定正交。并不一定正交。證證明明由這由這 f 個(gè)個(gè)n i 線性組合成線性組合成 f 個(gè)新函數(shù)個(gè)新函數(shù) n jfjanijifinj, 2 , 11 可以滿足正交歸一化條件：可以滿足正交歸一化條件：fjjdaadj jinniijjififijn

36、nj,2,1,*11 證明分證明分如下兩如下兩步進(jìn)行步進(jìn)行2. 滿足正交歸一條件的滿足正交歸一條件的 f 個(gè)新函數(shù)個(gè)新函數(shù)n j可以組成?？梢越M成。可以證明由這可以證明由這 f f 個(gè)函數(shù)可以線性組合成個(gè)函數(shù)可以線性組合成 f f 個(gè)獨(dú)立的新函數(shù)，個(gè)獨(dú)立的新函數(shù)，它們?nèi)詫儆诒菊髦邓鼈內(nèi)詫儆诒菊髦?且滿足正交歸一化條件。且滿足正交歸一化條件。但是但是n1. 1. nj nj 是本征值是本征值 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。nnnnijifinjaff1nijififa1nijifina1njn1. 1. njnj是本征值是本征值 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。2. 滿足正交歸一條件的滿足正交歸一條件的f個(gè)新

37、函數(shù)個(gè)新函數(shù)nj可以組成。可以組成。fjjdaadj jinniijjififijnnj,2 , 1,*11 方程的歸一化條件有方程的歸一化條件有 f f 個(gè)，正交條個(gè)，正交條 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 個(gè)，所以共有獨(dú)立方個(gè)，所以共有獨(dú)立方 程數(shù)為二者之和等于程數(shù)為二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。fjanijifinj, 2 , 11 為此只需證明線性為此只需證明線性 疊加系數(shù)疊加系數(shù) a aji ji 的個(gè)的個(gè) 數(shù)數(shù) f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交歸一條件方程正交歸一條件方程 個(gè)數(shù)即可。個(gè)數(shù)即可。綜合上述討論可得如下結(jié)論：綜合上述討論可得如下結(jié)論

38、： 既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時(shí)，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時(shí)， 都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。因?yàn)橐驗(yàn)?f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程個(gè)數(shù)少于待定系數(shù)所以，方程個(gè)數(shù)少于待定系數(shù) a aji ji 的個(gè)數(shù)，因而，我們的個(gè)數(shù)，因而，我們有多種可能來確定這有多種可能來確定這 f f 2 2 個(gè)系數(shù)使上式成立。個(gè)系數(shù)使上式成立。f f 個(gè)新函個(gè)新函數(shù)數(shù)nj nj

39、的確是算符的確是算符 f f 對應(yīng)于本征值對應(yīng)于本征值 的正交歸一化的正交歸一化的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。nn三、正交歸一函數(shù)系的例子：三、正交歸一函數(shù)系的例子：1. .線性諧振子的能量本征函數(shù)：線性諧振子的能量本征函數(shù)： )x(nnn)x(henx2122 ), 2 , 1 , 0n(組成正交歸一系。組成正交歸一系。 nnnn22n ,nnnxdx)x(h)x(he2. .角動(dòng)量算符的本征函數(shù)：角動(dòng)量算符的本征函數(shù)：角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符z分量分量zl的本征函數(shù)：的本征函數(shù)： imme21)( (2, 1, 0m)組組成成正正交交歸歸一一系系： d)()(m20*mde21)mm( i20mm

40、角動(dòng)量平方算符角動(dòng)量平方算符2l 屬于本征值屬于本征值2) 1(的本征函數(shù)的本征函數(shù) immmme )(cospn),(y組成正交歸一系：組成正交歸一系： ddsin),(y),(ym020*m 把合寫把合寫mmm020*mddsin),(y),(y 3. .氫原子的波函數(shù)：氫原子的波函數(shù)： ),(y) r (r), r (mnmn組組成成正正交交歸歸一一系系： n ,n2mn0020mnddrdsinr （給定（給定)m, 與合寫為：與合寫為： mmn ,n2mn0020mnddrdsinr 所以所以)x(n、), r (mn、),(ym、)(m都是正交歸都是正交歸一函數(shù)系。一函數(shù)系。一、厄

41、米算符的本征函數(shù)的完全性一、厄米算符的本征函數(shù)的完全性1 1. .復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3.13.1 的兩個(gè)假定的兩個(gè)假定假定假定 1：量子力學(xué)中的每個(gè)力學(xué)量用一個(gè)線性厄米算符表示：量子力學(xué)中的每個(gè)力學(xué)量用一個(gè)線性厄米算符表示。假定假定 2：算符：算符f的本征值集合即是測量體系力學(xué)量的本征值集合即是測量體系力學(xué)量 f可能得到的可能得到的所有量值；體系處在所有量值；體系處在f的屬于本征值的本征態(tài)的屬于本征值的本征態(tài)n時(shí)時(shí)，測力學(xué)量測力學(xué)量f，得到確定值，得到確定值n。 但是在任意態(tài)但是在任意態(tài)中中（非（非f的本征態(tài)） ，此時(shí)的本征態(tài)） ，此時(shí)f與代表的力學(xué)與代表的力學(xué)量量f的的關(guān)系如何？這需引進(jìn)新的假設(shè)，適合

42、于一般情況，且不能關(guān)系如何？這需引進(jìn)新的假設(shè)，適合于一般情況，且不能與與假定假定 2相抵觸，應(yīng)包含它。相抵觸，應(yīng)包含它。2. .完全性：完全性： 若若f是滿足一定條件是滿足一定條件級數(shù)收斂的平方可積的nnf)2(f) 1 (的厄米算符，的厄米算符，且且它它的正交歸一的正交歸一的的本征函數(shù)系本征函數(shù)系)x(1、)x(2)x(n對應(yīng)的本征對應(yīng)的本征值為值為1、2n，則任一函數(shù)，則任一函數(shù))x(可以按可以按)x(n展為級數(shù)：展為級數(shù)： )x(c)x(nnn 式中式中nc是是與與 x 無關(guān)的展開系數(shù)。無關(guān)的展開系數(shù)。我們我們稱本征函數(shù)稱本征函數(shù))x(n的這種的這種性質(zhì)為完全性，或者說性質(zhì)為完全性，或者

43、說)x(n組成完全系。組成完全系。說明：說明：展開系數(shù)展開系數(shù)dx)x(cnn 以以)x(m左乘左乘)x(c)x(nnn，且對，且對 x的整個(gè)區(qū)域積分的整個(gè)區(qū)域積分有有 mmnnnmnnnnnmmccdx)x()x(cdx)x(cdx)x()x( 即：即：dx)x(cnn 表示力學(xué)量的算符是厄米算符，不管它是否滿足完全性關(guān)系表示力學(xué)量的算符是厄米算符，不管它是否滿足完全性關(guān)系要求的條件，都可以直接將數(shù)學(xué)上證明過的定理拿來就用，即要求的條件，都可以直接將數(shù)學(xué)上證明過的定理拿來就用，即假定力學(xué)量算符本征函數(shù)的正交歸一系具有完全性假定力學(xué)量算符本征函數(shù)的正交歸一系具有完全性。3. .展開系數(shù)展開系數(shù)

44、2nc的物理含義：的物理含義： 設(shè)設(shè))x(為歸一化的波函數(shù)，則根據(jù)為歸一化的波函數(shù)，則根據(jù))x(n是正交歸一化的完是正交歸一化的完全函數(shù)系，有：全函數(shù)系，有： 1dx)x()x(=dxccnnnmmm =dxccnmnn ,mmn ,mnn ,mmcc2nnc即：即：1c2nn因左邊是總幾率，因左邊是總幾率，所以所以2nc有幾率的意義有幾率的意義。例：若例：若)x(是算符是算符f的一個(gè)本征態(tài)，例如的一個(gè)本征態(tài)，例如)x()x(i 則：則：)x(nnnc)x(i按假設(shè)按假設(shè) 2 2，在該態(tài)中測得，在該態(tài)中測得fi的幾率是的幾率是1c2i，其中，其中nc也也可由可由式求得。式求得。 由此特例同樣可

45、以看出由此特例同樣可以看出2nc具有幾率的意義，即具有幾率的意義，即2nc表表示了在示了在)x(態(tài)中測量力學(xué)量態(tài)中測量力學(xué)量 f得到的結(jié)果是得到的結(jié)果是 f的本征值的本征值 n的幾率，于是的幾率，于是稱稱nc為幾率振幅為幾率振幅。二、基本假設(shè)二、基本假設(shè)（力學(xué)量與算符的關(guān)系）（力學(xué)量與算符的關(guān)系）假假設(shè)設(shè) 3：在在)x(c)x(nnn（n是是f的的本本征征函函數(shù)數(shù)）描描寫寫的的態(tài)態(tài)中中，測測量量體體系系的的力力學(xué)學(xué)量量 f得得到到 n的的幾幾率率是是2nc，其其中中dxcnn。 綜合假設(shè)綜合假設(shè)31可得一個(gè)基本假定可得一個(gè)基本假定（基本原理） ，即（基本原理） ，即量子力學(xué)中量子力學(xué)中關(guān)于力學(xué)

46、量與算符關(guān)系的基本假設(shè)關(guān)于力學(xué)量與算符關(guān)系的基本假設(shè)： 量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符f都是線性厄米算符，它們的都是線性厄米算符，它們的本征函數(shù)組成正交歸一的完全系本征函數(shù)組成正交歸一的完全系n；當(dāng)體系處于波函數(shù)；當(dāng)體系處于波函數(shù))x(c)x(nnn所描述的狀態(tài)時(shí)，測量力學(xué)量所描述的狀態(tài)時(shí)，測量力學(xué)量f所得數(shù)值必須所得數(shù)值必須是是f的本征值的本征值n之一，且測得之一，且測得n的幾率是的幾率是2nc。 若若f的本征值的本征值為連續(xù)譜，則由本征函數(shù)的完全性，在任意的為連續(xù)譜，則由本征函數(shù)的完全性，在任意的態(tài)態(tài)dc中，測得中，測得f的值在的值在d的幾率是的幾率是dc2，且且cd

47、x)x()x(?？梢姡毫W(xué)量在一般的狀態(tài)中沒有確定值，而有許多可能值，這可見：力學(xué)量在一般的狀態(tài)中沒有確定值，而有許多可能值，這些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量算符的本征值的集合，且每個(gè)可能些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量算符的本征值的集合，且每個(gè)可能值都以確定的幾率出現(xiàn)。值都以確定的幾率出現(xiàn)。解釋：解釋： dx)x()x(dxd)x()x(c dcdx)x()x(dc)(= =c即：即：cdx)x()x( ( (同理可得二、三維的結(jié)果同理可得二、三維的結(jié)果) )三、平均值公式三、平均值公式 在在)x(所描寫的狀態(tài)中，所描寫的狀態(tài)中，f在在)x(態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值（由幾（由幾率求平均值）為率求平

48、均值）為 2nnncfdx)x(f)x( (假定假定1dx )證明：證明：dx)x(f)x(代入完全性dxcfcnnnmmm nnmmccdxfnm本征方程nmnmccdxnnm nnnmmcc正交歸一dxnmnnnmmccn ,m n2nnc說明說明：a. .以上證明中假定以上證明中假定)x(已正交歸一化，對沒有正交歸一已正交歸一化，對沒有正交歸一化的波函數(shù)：化的波函數(shù)： dx)x()x(dx)x(f)x(fn2n2nnncc fdc2dxf證明：證明：dxfdcf)dc( （dx)dc=ccdxfdd本征值方程ccdxdd正交歸一cc）（dd函數(shù)的性質(zhì)dcdcc2四、推廣四、推廣 若若f的

49、本征值的組成中既有分立譜又有連續(xù)譜，則以上結(jié)的本征值的組成中既有分立譜又有連續(xù)譜，則以上結(jié)果可表示為：果可表示為： 完全性關(guān)系：完全性關(guān)系：)x(nnnc dc其中：其中：dxcnn；dxc；n2nc1dc2； 2nc為在為在)x(態(tài)中測態(tài)中測f得得n的幾率；的幾率； dc2為為在在)x(態(tài)態(tài)中中測測f得得在在d 范范圍圍內(nèi)內(nèi)的的幾幾率率 平均值公式：平均值公式： 2nnncfdc2；說明：當(dāng)說明：當(dāng)0cn時(shí)為連續(xù)譜情況；時(shí)為連續(xù)譜情況；0c 時(shí)為分立譜的情況；時(shí)為分立譜的情況；0cn， 0c 時(shí)為一般情況。時(shí)為一般情況。例題：求氫原子處于基態(tài)時(shí)，電子的幾率分布。例題：求氫原子處于基態(tài)時(shí)，電子

50、的幾率分布。解：體系處于解：體系處于) r (100態(tài)，將態(tài)，將) r (100按動(dòng)量算符的本征函數(shù)按動(dòng)量算符的本征函數(shù)p（動(dòng)量算符的本征值組成連續(xù)譜）展開，即：（動(dòng)量算符的本征值組成連續(xù)譜）展開，即： ) r (100pc) r (ppd幾率振幅：幾率振幅：pc) r (p) r (100d而而) r (1000ar03ea1；prpi2/3e)2(1則：則：pc 00202/3)2(1rpie0ar03ea1ddsindrr2選選p沿沿z方向方向則：則：pc2/3)2(12/302/1a1 01120ar0ecospriedcosdrdr2 = =2/302)a2(1 01120ar0ep

51、rxiedrdxdr2 （積分次序是先對（積分次序是先對，再，再x，再對，再對r） 2/30)a2(2 0ar1120erprxiedrdx 2/30)a2(2drer0ar20dree /ipr1pripri 2/30)a2(pi 2dree r0priarpriar00 2/30)a2(pi 2 drre0r )pia1(0drre0r )pia1(0 2/30)a2(pi 2 20)pia1(120)pia1(1 2/30)a2(pi 2 2222020)pa1()pia1()pa1()pia1(2222020 2/30)a2(pi 2222200)pa1(pi

52、30)ap(a)a2(8 222022/3030)ap(1)a2()a2( = =222022/30)ap()a2(此式僅與此式僅與p的大小有關(guān)，而與的大小有關(guān)，而與p的方向無關(guān)的方向無關(guān)于是動(dòng)量的幾率密度分布為：于是動(dòng)量的幾率密度分布為：2pc)p(242202530)ap(a8所所以以氫氫原原子子處處于于基基態(tài)態(tài)時(shí)時(shí)，電電子子動(dòng)動(dòng)量量的的絕絕對對值值在在dppp范范圍圍內(nèi)內(nèi)的的幾幾率率為為： )p(dwpd)p(32pcdpp4242202250)pa(dpp)a(32注：利用公式注：利用公式32)x1 (dxx0422 可證：可證：1pd )p(30研究算符之間的關(guān)系以及它們代表的物理量

53、之間的關(guān)系。研究算符之間的關(guān)系以及它們代表的物理量之間的關(guān)系。一、算符的對易關(guān)系：一、算符的對易關(guān)系： 不對易對易g,f0g,f0gffgf,g1. .坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符x 和動(dòng)量算符和動(dòng)量算符xp 的對易關(guān)系的對易關(guān)系?p , xx 將將xp , xxp p xxx作用在任意波函數(shù)上，即：作用在任意波函數(shù)上，即： (xp p xxx)x(x)i(x)(xi)x(x(x i)x(xxi)(xxxi)(x )x(i 而而)x(是任意的是任意的所以：所以：xp , x= i 該式稱為該式稱為x和和xp 的對易關(guān)系，等式右邊不等于的對易關(guān)系，等式右邊不等于 0，即，即x和和 xp 不不對易。對易。同樣

54、可得：同樣可得：yp , y = i zp , z = i yp , x0p , xz； zp , y =0p , y x； yp , z 0p , z x； yxp ,p =zxp ,p =zyp ,p =0以上可總結(jié)為基本對易關(guān)系：以上可總結(jié)為基本對易關(guān)系：0p,p0 x,xip,xjijiijji 3 , 2 , 1j , i即動(dòng)量分量和它所對應(yīng)的坐標(biāo)分量是不對易的，而和不對應(yīng)的坐即動(dòng)量分量和它所對應(yīng)的坐標(biāo)分量是不對易的，而和不對應(yīng)的坐標(biāo)分量是對易的；動(dòng)量各分量和坐標(biāo)各分量是對易的。標(biāo)分量是對易的；動(dòng)量各分量和坐標(biāo)各分量是對易的。說明說明：a. .gffgf,g叫叫g(shù)與與f的對易關(guān)系，等

55、于的對易關(guān)系，等于 0 叫二算符叫二算符對易；否則叫二算符不對易對易；否則叫二算符不對易 。 b. .以上以上ix和和jp 的對易關(guān)系是量子力學(xué)算符的基本對易關(guān)的對易關(guān)系是量子力學(xué)算符的基本對易關(guān)系，由它們可以推出其他的一些算符系，由它們可以推出其他的一些算符（有經(jīng)典對應(yīng)的）對易關(guān)系。（有經(jīng)典對應(yīng)的）對易關(guān)系。2. .角動(dòng)量算符的對易關(guān)系：角動(dòng)量算符的對易關(guān)系： yxl,lxyyxllll =)p z p y (yz)p x p z (zx)p x p z (zx)p z p y (yz =xzp z p y zzp x p y xyp z p z +zyp x p z zxp y p z y

56、xp z p z +zzp y p x yzp z p x =xzp z p y xzp p z y +x p z p zyx z p p zy =xp y i+x p iy =zli即：即：yxl,lzli同理可證：同理可證： zyl,lxli；xzl,lyli說明說明：a. .yxl,lzli；zyl,lxli；xzl,lyli可合并寫為：可合并寫為：lill (矢量式矢量式)，即角動(dòng)量算符的定義式。，即角動(dòng)量算符的定義式。b. .利利用用lill可可以以證證明明：l,lx2=l,ly2=l,lz2 =0； l,lx2=2xx2llll =3xl+x2yll+x2zll3xl2yxll2z

57、xll =ylylxlylxlyl+ylxlylxlylyl +zlzlxlzlxlzl+zlxlzlxlzzll =l,llxyy+yxyll,l+l,llxzz+zxzll,l =03. .算符對易關(guān)系的運(yùn)算法則：算符對易關(guān)系的運(yùn)算法則：b,a=a,b；a,a =0； c,a =0 （c為復(fù)常數(shù)） ；為復(fù)常數(shù)） ；cb,a=b,a+c,a；cb,a=c,ab+cb,a；c,ba=c,ba+bc,a。證明證明：等式右邊：等式右邊=cabcbaacbcab=acbcba 等式左邊等式左邊=acbcba，等式成立。，等式成立。說明說明：利用算符對易關(guān)系的運(yùn)算法則可以大大簡化算符對易關(guān)：利用算符對

58、易關(guān)系的運(yùn)算法則可以大大簡化算符對易關(guān)系的證明，例如：系的證明，例如： l,lzy=p y p x ,p x p z xyzx =p y p x ,p z xyx p y p x ,p x xyz =p x ,p z yxp y ,p z xxp x ,p x yz+p y ,p x xz =yxp x ,p z +zxp p , x y =)p z p y (iyz =xli p ,lyz=p ,p y p x yxy=p ,p x yyp ,p y yx =p ,p x yy+yyp p , x p ,p y yxxyp p , y =xp i l,lx2=l,lx2x+l,lx2y+l,

59、lx2z =yll,lxy+l,lxyyl+zll,lxz+l,lxzzl =zylliyzlli+yzlli+zylli =0同理可證：同理可證：l,ly2=l,lz2=0，即：，即：l,li2=0 ，, y, xi z二、兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件二、兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件1. .定理定理 定理定理 1：如果兩個(gè)算符：如果兩個(gè)算符f和和g有一組共同本征函數(shù)有一組共同本征函數(shù)n，而且，而且n組成完全系，則算符組成完全系，則算符f和和g對易。對易。證明：設(shè)有兩力學(xué)量證明：設(shè)有兩力學(xué)量f和和g有一組共同的本征函數(shù)有一組共同的本征函數(shù)n，即：，即： nnnf； nnng而而n組組成成完

60、完全全系系，即即對對于于任任意意的的波波函函數(shù)數(shù)都都可可按按n展展為為級級數(shù)數(shù)： =nnna 則：則：)fggf(=)fggf(nnna =nna)fggf(n而而)fggf(n=gfnfgn=fnngnn =nnnnnn=0于是：于是：)fggf(0而而是任意的波函數(shù)是任意的波函數(shù)所以：所以：fggf=0即：即：g, f=0，定理得證。，定理得證。說明說明：若：若f和和g有一組共同本征函數(shù)有一組共同本征函數(shù)n，并不一定能夠得到，并不一定能夠得到g, f=0的結(jié)論，除非的結(jié)論，除非n組成完全系。組成完全系。例：例：00yxyl,l(xyyxllll)00y=000y=0，但，但0l,lyx定理