二項(xiàng)式定理經(jīng)典習(xí)題及答案

1、二項(xiàng)式定理1. 求展開(kāi)式的：（1）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（2）第3項(xiàng)的系數(shù)；（3）的系數(shù)。分析：（1）由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式易得：第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為；（2），故第3項(xiàng)的系數(shù)為9；（3），令，故r3，所求系數(shù)是2. 求證：能被7整除。分析：，除以外各項(xiàng)都能被7整除。又顯然能被7整除，所以能被7整除。3. 求除以100的余數(shù)。分析：由此可見(jiàn)，除后兩項(xiàng)外均能被100整除，而故除以100的余數(shù)為81。4.（2009北京卷文）若為有理數(shù)），則 a33b29c23d19【答案】b.w【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. ， 由已知，得，.故選b.5.（2009

2、北京卷理）若為有理數(shù)），則 （ ） a45 b55 c70 d80【答案】c【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. ， 由已知，得，.故選c.6. 已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列。（1）證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)。分析：依條件可得關(guān)于n的方程求出n，然后寫(xiě)出通項(xiàng)，討論常數(shù)項(xiàng)和有理項(xiàng)對(duì)r的限制。解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值分別為1，且即解得n8或n1（舍去）（1）若為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，而，這不可能，故展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。（2）若為有理數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)。，即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，7. （1）如果，則 （答：

3、128）；（2）化簡(jiǎn)（答：）已知，則等于_（答：）；（2），則_（答：2004）；（3）設(shè),則_（答：）。8（湖南理15）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 圖1【答案】，329（04. 上海春季高考）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4

4、 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 _34 _行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為.10.（2009江西卷理）展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，則的值可能為 a b c d . . 答案：d【解析】，則可取，選d11.(2009湖北卷理)設(shè)，則 【答案】b【解析】令得令時(shí)令時(shí)兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得，故選b12.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3,則b= . .【答案】40【解析】因?yàn)?解得13.（2009四川卷文）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）m 【答案】20【解析】，令，得 故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為1

5、4.(2009湖南卷理)在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)7_(用數(shù)字作答)【答案】：7 . 【解析】由條件易知展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是15.（2009浙江卷理）觀察下列等式： ， ，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于， . .答案：【解析】這是一種需類(lèi)比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，16.在(x23x2)5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為a.160b.240 c.360 d.80017.已知s在s的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為a.b.c.0d.118.(2002年全國(guó)高考題)(x2+1)(x-2)7的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)是_.答案: 100819.展開(kāi)式中x

6、4的系數(shù)為a.40b.10c.40d.4520.已知(3x2)n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).答案：(1) 21.設(shè)，則 。解：由二項(xiàng)式定理得，即，故原式。22. 在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含的奇次冪的項(xiàng)之和為，當(dāng)時(shí)，等于（ ）a. b. c. d.解：令，取，分別得兩式相減得故選b項(xiàng)。23. 農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元），預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其它收入每年增

7、加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（ ）a.4200元 4400元 b.4400元 4600元c.4600元 4800元 d.4800元 5000元解：2008年農(nóng)民工資性收入為 （元）又2008年農(nóng)民其它人均收入為（元）故2008年農(nóng)民人均總收入約為（元）。故選b項(xiàng)。24.（2003）已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a1，公比為q的等比數(shù)列，（1）求和：，；（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明。（1）；（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則 ，證明略25.（2007湖北文、理）如果 的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整

8、數(shù)n的最小值為（ b ）a.3 b.5 c.6 d.1026（2007江蘇）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，則的值為（b）a b c d27（2007江西文）設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為（ ）a2 b1 c1 d228（2007江西理）已知()n展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于（ c ） a4 b5 c6 d729. (2007安徽文)已知,則( 的值等于 -256 .30.（2005浙江卷理第5題）在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( )(a) 74 (b) 12

9、1 (c) 74 (d) 121答案：d10求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)； 解：記第項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有 又，那么有 即 解得，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)。（1） 系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例11在（的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是 ；解：求系數(shù)絕對(duì)最大問(wèn)題都可以將“”型轉(zhuǎn)化為型來(lái)處理，故此答案為第4項(xiàng)，和第5項(xiàng)。31（99全國(guó)）若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = =32（04天津）若， 則 ；解：， 令，有 令，有故原式= 在用“賦值法”求值時(shí)，要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：特殊值在解題過(guò)程中考慮的比較多。33設(shè)， 則 ；分析：解題過(guò)程分兩步走；第一步確定所給

10、絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào)；第二步是用賦值法求的化簡(jiǎn)后的代數(shù)式的值。 解： = =034. (江蘇省啟東中學(xué)2008年高三綜合測(cè)試一)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+a6x6且a1+a2+a6=63,則實(shí)數(shù)m的值為（ ）a. 1 b. -1 c. -3 d. 1或-3 答案：d35. (廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2008屆第三次質(zhì)檢)若，則= （ ） a32 b1 c-1 d-32答案：a36. (河北省正定中學(xué)2008年高三第五次月考)若二項(xiàng)式展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小取值是 （ ）a 5 b 6 c 7 d 8答案：c37.(黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試)設(shè)1+（1+x）2

11、+（1+2x）2+（1+3x）2+（1+nx）2=a0+a1x+a2x2，則的值是（ ）a0 b c1 d2答案：c38.(湖南省長(zhǎng)沙市一中2008屆高三第六次月考)代數(shù)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是a30b30c70d90答案：a39. （08年遼寧卷15）已知的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且2n8，則n=_分析：本小題主要考查二項(xiàng)式定理中求特定項(xiàng)問(wèn)題。依題對(duì)中，只有時(shí)，其展開(kāi)式既不出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，也不會(huì)出現(xiàn)與、乘積為常數(shù)的項(xiàng)。故填5。40(04天津)若 ,則 .解析：直接展開(kāi)由各項(xiàng)系數(shù)求解將誤入歧途。二項(xiàng)式定理既是公式，又可視為方程式或恒等式，故可用多項(xiàng)式恒等理論和賦值法去求解。解：取得 ；故原式=41.（2009北京卷理）若為有理數(shù)），則 （ ） a45 b55 c70 d80【答案】c【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. ， 由已知，得，.故選c.42.（2009江西卷理）展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，則的值可能為 a b c d答案：d【解析】，則可取，選d43.（2009陜西卷文）若,則的值為 （a）2（b）0 （c） (d) 答案:c. 解析:由題意容易發(fā)現(xiàn),則, 同理可以得出,亦即前2008項(xiàng)和為0,