高中物理光學(xué)1.4.光在球面上的反射與折射

1、高中物理競(jìng)賽光學(xué)§1.4、光在球面上的反射與折射1.4.1、球面鏡成像（1）球面鏡的焦距球面鏡的反射仍遵從反射定律，法線是球面圖1-4-1圖1-4-2的半徑。一束近主軸的平行光線，經(jīng)凹鏡反射后將會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)f（圖1-4-1），這f點(diǎn)稱為凹鏡的焦點(diǎn)。一束近主軸的平行光線經(jīng)凸面鏡反射后將發(fā)散，反向延長(zhǎng)可會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)f（圖1-4-2），這f點(diǎn)稱為凸鏡的虛焦點(diǎn)。焦點(diǎn)f到鏡面頂點(diǎn)o之間的距離叫做球面鏡的焦距f?？梢宰C明，球面鏡焦距f等于球面半徑r的一半，即（2）球面鏡成像公式 根據(jù)反射定律可以推導(dǎo)出球面鏡的成像公式。下面以凹鏡為例來(lái)推導(dǎo)：（如圖1-4-3所示）設(shè)在凹鏡的主軸上有一個(gè)物體

2、s，由s發(fā)出的射向凹鏡的光線鏡面a點(diǎn)反射后與主軸交于點(diǎn)，半徑ca為反射的法線，即s的像。根據(jù)反射定律，則ca為角a的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有 由為sa為近軸光線，所以，式可改寫為 式中os叫物距u，叫像距v，設(shè)凹鏡焦距為f，則 代入式 化簡(jiǎn) 這個(gè)公式同樣適用于凸鏡。使用球面鏡的成像公式時(shí)要注意：凹鏡焦距f取正，凸鏡焦距f取負(fù)；實(shí)物u取正，虛物u取負(fù)；實(shí)像v為正，虛像v為負(fù)。上式是球面鏡成像公式。它適用于凹面鏡成像和凸面鏡成像，各量符號(hào)遵循“實(shí)取正，虛取負(fù)”的原則。凸面鏡的焦點(diǎn)是虛的，因此焦距為負(fù)值。在成像中，像長(zhǎng) 和物長(zhǎng)h之比為成像放大率，用m表示，由成像公式和放大率關(guān)系式可以討論球面鏡成

3、像情況，對(duì)于凹鏡，如表所列；對(duì)于凸鏡，如表所列。表 凹鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虛實(shí)實(shí)物同側(cè)f縮小倒實(shí)2f同側(cè)f2f縮小倒實(shí)2f同側(cè)2f等大倒實(shí)2ff同側(cè)f2f放大倒實(shí)f放大f0異側(cè)0放大正虛虛物異側(cè)0f縮小正實(shí)表 凸鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性質(zhì)實(shí)物f同側(cè)0f縮小正虛虛物2f同側(cè)f2f縮小倒虛2f同側(cè)2f等大倒虛f2f同側(cè)2f放大倒虛ff0異側(cè)0放大正實(shí)（3）球面鏡多次成像 球面鏡多次成像原則：只要多次運(yùn)用球面鏡成像公式即可，但有時(shí)前一個(gè)球面鏡反射的光線尚未成像便又遇上了后一個(gè)球面鏡，此時(shí)就要引進(jìn)虛像的概念。圖1-4-4如圖1-4-4所

4、示，半徑為r的凸鏡和凹鏡主軸相互重合放置，兩鏡頂點(diǎn)o1 、 o2 相距2.6r，現(xiàn)于主軸上距凹鏡頂點(diǎn)o1為0.6r處放一點(diǎn)光源s。設(shè)點(diǎn)光源的像只能直接射到凹鏡上，問(wèn)s經(jīng)凹鏡和凸鏡各反射一次后所成的像在何處？s在凹鏡中成像， 可解得 ,根據(jù)題意：所以凹鏡反射的光線尚未成像便已又被凸鏡反射，此時(shí)可將凹鏡原來(lái)要成像作為凸鏡的虛物來(lái)處理， ， 可解得 說(shuō)明凸鏡所成的像和s在同一位置上。1.4.2、球面折射成像（1）球面折射成像公式 （a）單介質(zhì)球面折射成像圖1-4-5如圖1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分別為1和n，為s的像。因?yàn)閕、r均很小，行以 因?yàn)?，代入式可有 對(duì)近軸光線來(lái)說(shuō)，、同樣很

5、小，所以有 ，代入式可得 當(dāng)時(shí)的v是焦距f，所以 （b）雙介質(zhì)球面折射成像如圖1-4-6所示，球形折射面兩側(cè)的介質(zhì)折射率分別n1和n2，c是球心，o是頂點(diǎn)，球面曲率半徑為r，s是物點(diǎn)，是像點(diǎn)，對(duì)于近軸光線 ， ，聯(lián)立上式解得 圖1-4-6這是球面折射的成像公式，式中u、的符號(hào)同樣遵循“實(shí)正虛負(fù)”的法則，對(duì)于r；則當(dāng)球心c在出射光的一個(gè)側(cè)，（凸面朝向入射光）時(shí)為正，當(dāng)球心c在入射光的一側(cè)（凹面朝向入射光）時(shí)為負(fù)。若引入焦點(diǎn)和焦距概念，則當(dāng)入射光為平行于主軸的平行光（u=）時(shí)，出射光（或其反向延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)即為第二焦點(diǎn)，（也稱像方焦點(diǎn)），此時(shí)像距即是第二焦距，有。當(dāng)出射光為平行光時(shí)，入射光（或其延

6、長(zhǎng)線）的交點(diǎn)即第一焦點(diǎn)（即物方焦點(diǎn)），這時(shí)物距即為第一焦距，有，將、代入成像公式改寫成 反射定律可以看成折射定律在時(shí)的物倒，因此，球面鏡的反射成像公式可以從球面鏡折射成像公式中得到，由于反射光的行進(jìn)方向逆轉(zhuǎn)，像距和球面半徑r的正負(fù)規(guī)定應(yīng)與折射時(shí)相反，在上述公式中令，即可得到球面鏡反射成像公式，對(duì)于凹面鏡，對(duì)于凸面鏡，厚透鏡成像。（c）厚透鏡折射成像圖1-4-7t設(shè)構(gòu)成厚透鏡材料的折射率為n，物方介質(zhì)的折射率為，像方介質(zhì)的折射率為，前后兩邊球面的曲率半徑依次為和，透鏡的厚度為，當(dāng)物點(diǎn)在主軸上的p點(diǎn)時(shí)，物距，現(xiàn)在來(lái)計(jì)算像點(diǎn)的像距。，首先考慮第一個(gè)球面aob對(duì)入射光的折射，這時(shí)假定第二個(gè)球面aob不

7、存在，并認(rèn)為球aob右邊，都為折射率等于n的介質(zhì)充滿，在這種情況下，p點(diǎn)的像將成在處，其像距，然后再考慮光線在第二個(gè)球面的折射，對(duì)于這個(gè)球面來(lái)說(shuō)，便是虛物。因此對(duì)于球面aob，物像公式為 對(duì)于球面aob，物像公式為這樣就可以用二個(gè)球面的成像法來(lái)求得透鏡成像的像距u。（2）光焦度 60cm30cm圖1-4-8折射成像右端僅與介質(zhì)的折射率及球面的曲率半徑有關(guān)，因而對(duì)于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來(lái)說(shuō)是一個(gè)不變量，我們定義此量為光焦度，用表示： 它表征單折射球面對(duì)入射平行光束的屈折本領(lǐng)。的數(shù)值越大，平行光束折得越厲害；0時(shí)，屈折是會(huì)聚性的；0時(shí)，屈折是發(fā)散性的。=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于，即為平面折射。這時(shí)，沿軸

8、平行光束經(jīng)折射后仍是沿軸平行光束，不出現(xiàn)屈折現(xiàn)象。光焦度的單位是米-1，或稱屈光度，將其數(shù)值乘以100，就是通常所說(shuō)的眼鏡片的“度數(shù)”。（3）鍍銀透鏡與面鏡的等效 圖1-4-9有一薄平凸透鏡，凸面曲率半徑r=30cm，已知在近軸光線時(shí)：若將此透鏡的平面鍍銀，其作用等于一個(gè)焦距是30cm的凹面鏡；若將此透鏡的凸面鍍銀，其作用也等同于一個(gè)凹面鏡，其其等效焦距。當(dāng)透鏡的平面鍍銀時(shí)，其作用等同于焦距是30cm的凹面鏡，即這時(shí)透鏡等效面曲率半徑為60cm的球面反射鏡。由凹面鏡的成像性質(zhì)，當(dāng)物點(diǎn)置于等效曲率中心 時(shí)任一近軸光線經(jīng)凸面折射，再經(jīng)平面反射后將沿原路返回，再經(jīng)凸面折射后，光線過(guò) 點(diǎn)，物像重合。如

9、圖1-4-8所示。，。依題意，故。凸面鍍銀，光路如圖1-4-9所示。關(guān)鍵尋找等效曲率中心，通過(guò)凸面上任一點(diǎn)a作一垂直于球面指向曲率中心c的光線。此光線經(jīng)平面折射后交至光軸于，令則，得。圖1-4-10由光的可逆性原理知，是等效凹面鏡的曲率中心，f=10cm。例1、如圖1-4-10所示，一個(gè)雙凸薄透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑均為r，透鏡的折射率為n，考察由透鏡后表面反射所形成的實(shí)像。試問(wèn)物放于何處，可使反射像與物位于同一豎直平面內(nèi)（不考慮多重反射）。解: 從物點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面（即左表面）反射后形成虛像，不合題意，無(wú)須考慮。從物點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面折射后，再經(jīng)透鏡后表面反射折回，又經(jīng)前表面折射共

10、三次成像，最后是實(shí)像，符合題意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，結(jié)合物與像共面的要求。就可求解。球面反射的成像公式為：，其中反射面的焦距為（r為球面半徑），對(duì)凹面鏡，f取正值，對(duì)凸面鏡，f取負(fù)值。圖1-4-11甲球面折射的成像公式為：。當(dāng)入射光從頂點(diǎn)射向球心時(shí)，r取正值，當(dāng)入射光從球心射向頂點(diǎn)時(shí)，r取負(fù)值。如圖1-4-11甲所示，當(dāng)物點(diǎn)q發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面折射后成像于，設(shè)物距為u，像距為v，根據(jù)球面折射成像公式： 這里空氣的折射率，透鏡介質(zhì)的折射率，入射光從頂點(diǎn)射向球心，r=r取正值，所以有 （1）圖1-4-11乙圖1-4-11丙這是第一次成像。對(duì)凸透鏡的后表面來(lái)說(shuō)，物點(diǎn)q經(jīng)透鏡前表

11、面折射所成的風(fēng)點(diǎn)是它的物點(diǎn)，其物距（是虛物），經(jīng)透鏡后表面反射后成像于，像距為（如圖1-4-11乙所示），由球面反射成像公式 將前面數(shù)據(jù)代入得 （2）這是第二次成像。由透鏡后表面反射成的像點(diǎn)又作為透鏡前表面折射成像的物點(diǎn)，其物距（是虛物），再經(jīng)過(guò)透鏡前表面折射成像于，像距為，（見(jiàn)圖1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式 這時(shí)人射光一側(cè)折射率，折射光一側(cè)折射率(是空氣），入射光由球心射向頂點(diǎn)，故r值取負(fù)值。所以可寫出 代入前面得到的關(guān)系可得 （3）這是第三次成像，由（1）、（2）兩式可解得 （4）再把（4）式和（3）式相加，可得 （5）為使物點(diǎn)q與像點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，這就要求 代入（5）是

12、可解得物距為 圖1-4-12說(shuō)明 由本題可見(jiàn)，觀察反射像，調(diào)整物距，使反射像與物同在同一豎直平面內(nèi)，測(cè)出物距p，根據(jù)上式就可利用已知的透鏡折射率n求出透鏡球面的半徑r，或反過(guò)來(lái)由已咋的球面半徑r求出透鏡的折射率n。例2、顯微鏡物鏡組中常配有如圖1-4-12所示的透鏡，它的表面是球面，左表面的球心為，半徑為，右表面的球心為，半徑為，透鏡玻璃對(duì)于空氣的折射率為n，兩球心間的距離為 。在使用時(shí)，被觀察的物位于處，試證明1、從物射向此透鏡的光線，經(jīng)透鏡折射后，所有出射光線均相交于一點(diǎn)q。2、 。解: 首先考慮面上的折射，由于物在球心處，全部入射光線無(wú)折射地通過(guò)面，所以對(duì)來(lái)說(shuō)，物點(diǎn)就在處。再考慮到面上的

13、折射。設(shè)入射光線與主軸的夾角為，入射點(diǎn)為p，入射角為i，折射角為r，折射線的延長(zhǎng)線與主軸的交點(diǎn)為q如圖1-4-13，則由折射定律知圖1-4-13 在中應(yīng)用正弦定理得已知 由此得 所以 設(shè)cp與主軸的夾角為，則有 顯然，0時(shí)，r，因此出射線與主軸相交之點(diǎn)q必在透鏡左方。為的外角 在中應(yīng)用正弦定理，得 的數(shù)值與無(wú)關(guān)，由此可見(jiàn)，所有出射線的延長(zhǎng)線都交于同一點(diǎn)，且此點(diǎn)與的距離為。圖1-4-14例3、有一薄透鏡如圖1-4-14，面是旋轉(zhuǎn)橢球面（橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面），其焦點(diǎn)為和；面是球面，其球心c與 重合。已知此透鏡放在空氣中時(shí)能使從無(wú)窮遠(yuǎn)處于橢球長(zhǎng)軸的物點(diǎn)射來(lái)的全部入射光線（不限于傍軸光線）會(huì)聚于

14、一個(gè)像點(diǎn)上，橢圓的偏心率為e。(1)求此透鏡材料的折射率n（要論證）；(2)如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能達(dá)到上述的同樣的要求，橢圓應(yīng)滿足什么條件？圖1-4-15分析: 解此題的關(guān)鍵在于是正確地運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)及折射定律。解: (1)根據(jù)題設(shè)，所有平行于旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)軸的入射光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)橢球面和球面兩次折射后全部都能會(huì)聚于同一像點(diǎn)，可作出如下論證：如果經(jīng)橢球面折射后射向球面的光線都射向球心c，即射向旋轉(zhuǎn)橢球面的第二焦點(diǎn)，則可滿足題設(shè)要求。光路圖如圖1-4-15所示：pa為入射線，ac為經(jīng)橢球面折射后的折射線，bn為a點(diǎn)處橢球面的法線，i為入射角，r為折射角。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，法線bn平分 ，

15、故與法線的夾角也是r，由正弦定律可得 ，從而可求得 2a為長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，2c為焦點(diǎn)間的距離；即只要n滿足以上條件，任意入射角為i的平行于旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)軸的入射光線都能會(huì)聚于c（即）點(diǎn)。（2）如果透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，則要求 即橢圓的偏心率e應(yīng)滿足 圖1-4-16圖1-4-17由于橢圓的e1，如果就無(wú)解。只要 ，總可以找到一個(gè)橢球面能滿足要求。例4、（1）圖1-4-16所示為一凹球面鏡，球心為c，內(nèi)盛透明液體。已知c至液面高度ce為40.0cm，主軸co上有一物a，物離液面高度ae恰好為30.0cm時(shí)，物a的實(shí)像和物處于同一高度。實(shí)驗(yàn)時(shí)光圈直徑很小，可以保證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。

16、（2）體溫計(jì)橫截面如圖1-4-17所示，已知細(xì)水銀柱a離圓柱面頂點(diǎn)o的距離為2r，r為該圓柱面半徑，c為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2，e代表人眼，求圖示橫截面上人眼所見(jiàn)水銀柱像的位置、虛像、正倒和放大倍數(shù)。圖1-4-18解: （1）主軸上物a發(fā)出的光線ab，經(jīng)液體界面折射后沿bd方向入射球面鏡時(shí)，只要bd延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)球心c，光線經(jīng)球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光線相交于a（圖1-4-18）。對(duì)空氣、液體界面用折射定律有 當(dāng)光圈足夠小時(shí)，be，因此有 圖1-4-19（2）先考慮主軸上點(diǎn)物a發(fā)出的兩條光線，其一沿主軸方向acoe入射界面，無(wú)偏折地出射，進(jìn)入人眼e。其二

17、沿ap方向以入射角i斜入射界面p點(diǎn)，折射角為r。折射光線pq要能進(jìn)入人眼e，p點(diǎn)應(yīng)非?？拷黲點(diǎn)，或說(shuō)入射角i 折射角r應(yīng)很小。若角度以弧度量度，在小角（近軸）近似下，折射定律可寫為。這兩條光線反向延長(zhǎng)，在主軸上相交于，即為物a之虛像點(diǎn)（圖1-4-19）對(duì)用正弦定律，得 在小角（近軸）近似下：，上式可寫為 解上式得 為了分析成像倒立和放大情況，將水銀柱看成有一定高度的垂軸小物體ab，即然是一對(duì)共軛點(diǎn)，只要選從b發(fā)出的任一條光線經(jīng)界面折射后，反向延長(zhǎng)線與過(guò)垂軸線相交于，是點(diǎn)物b虛像點(diǎn)，即是物ab之正立虛像。圖1-4-20選從b點(diǎn)發(fā)出過(guò)圓柱面軸心c之光線bc。該光線對(duì)界面來(lái)說(shuō)是正入射（入射角為零），

18、故無(wú)偏折地出射，反向延長(zhǎng)bc線交過(guò)垂軸線于，從得放大率=例5、有一半徑為r=0.128m的玻璃半球，過(guò)球心o并與其平面部分相垂直的直線為其主軸，在主軸上沿軸放置一細(xì)條形發(fā)光體（離球心較近），其長(zhǎng)度為l=0.020m。若人眼在主軸附近對(duì)著平面部分向半球望去（如圖1-4-20），可以看到條形發(fā)光體的兩個(gè)不很亮的像（此處可能還有亮度更弱圖1-4-21圖1-4-22的像，不必考慮），當(dāng)條形發(fā)光體在主軸上前后移動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)像也在主軸上隨之移動(dòng)?，F(xiàn)在調(diào)整條形發(fā)光體的位置，使得它的兩個(gè)像恰好頭尾相接，連在一起，此時(shí)條形發(fā)光體的近端距球心o的距離為。試?yán)靡陨蠑?shù)據(jù)求出構(gòu)成此半球的玻璃折射率n（計(jì)算時(shí)只考慮近軸

19、光線）。解: 1、條形發(fā)光體的兩個(gè)像，一個(gè)是光線在平面部分反射而形成的，一個(gè)是光線經(jīng)平面折射進(jìn)入玻璃，在凹面鏡上反射后，又經(jīng)平面折射穿出玻璃而形成的。2、求半球外任一個(gè)在軸上的光點(diǎn)a的上述兩個(gè)像。平面反射像在處，（見(jiàn)圖1-4-21）凹面鏡反射像d求法如下：（1）a點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)平面折射后進(jìn)入玻璃，射向凹面鏡，對(duì)凹面鏡來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于光線從b點(diǎn)射來(lái)（1-4-22）。令ob=b，則 （1） （2）用凹面鏡公式圖1-4-23 （f為焦距）求凹面鏡成的像c的位置。令oc=c，則 ，代入上式 解出c得 （2）由此可以看出，c點(diǎn)在半球之內(nèi)。（3）由c點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)折射穿出玻璃外時(shí)，由外面觀察其像點(diǎn)在d處（見(jiàn)圖

20、1-4-23）。令od=d，則 （3）d點(diǎn)就是人眼所看到的光點(diǎn)a的像的位置。由（3）式可知，a越大，d也越大，且da3現(xiàn)在，條形發(fā)光體經(jīng)平面反射成的像為 ，設(shè)經(jīng)凹面鏡反射所成的像為。根據(jù)（3）式所得的a與d間的關(guān)系，可知離球心o比和近。所以當(dāng)二像恰好頭尾相接時(shí)，其位置應(yīng)如圖1-4-24圖1-4-24所示，即與重合 （4）即 式中為距球心o的距離。因此得 （5）代入已知數(shù)據(jù)：r=0.128m，得 例6、某人的眼睛的近點(diǎn)是10cm，明視范圍是80cm，當(dāng)他配上-100度的近視鏡后明視范圍變成多少？解:在配制眼鏡中，通常把眼睛焦距的倒數(shù)稱為焦度，用d表示，當(dāng)焦距的單位用m時(shí)，所配眼鏡的度數(shù)等于眼鏡焦

21、度的100倍。本題中此人所配的近視眼鏡的度數(shù)是-100度，此人眼睛的度數(shù)，所以此近視鏡的焦距為 當(dāng)此人戴上此眼鏡看最近距離的物體時(shí)，所成的虛像在他能看清的近點(diǎn)10cm，由 解得物距 因?yàn)榇巳说拿饕曔h(yuǎn)點(diǎn)是10 cm +80 cm =90 cm，所以此人戴上眼鏡以后在看清最遠(yuǎn)的物體時(shí)，所成的虛像在離他90 cm處，再根據(jù)透鏡公式可解得他能看清的最遠(yuǎn)物距是： 所以，他戴上100度的近視眼鏡后，明視范圍是0.11m9.0m。說(shuō)明 不管是配戴近視眼鏡還是遠(yuǎn)視眼鏡，他戴上眼鏡后，不是把他的眼睛治好了，而是借助把他要看清的物體成虛像到他不戴眼鏡時(shí)所能看清的明視范圍內(nèi)。嗄嗄錒茇礤駴笪笪疸扼鄂鍔萼琺旮虐暱咯臘國(guó)藍(lán)罵異燒嗄嗄錒茇礤駴笪笪疸扼鄂鍔萼琺旮虐暱咯臘國(guó)藍(lán)罵異