北京卷高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

1、絕密啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本市卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）若集合a=x|5x2，b=x|3x3，則ab= a. x|3x2 b. x|5x2 c. x| 3x3 d. x|5x3（2）圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（a）（x-1）2+（y-1）2=1 （b）（x+1）2+（y+1）2=1（c）（x+1）2+（y+1）2=2 （d）（x-1）2+（y-1）2=2

2、（3）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）（a）y=x²sinx （b）y=x²cosx（c）y=|ln x| （d）y=2x（4）某校老年，中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年人數(shù)為（）（a）90 （b）100 （c）180 （d）300類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300(5) 執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的k值為 （a）3 （b）4 (c)5 (d)6（6）設(shè)a，b是非零向量，“a·b=|a|b|”是“a/b”的（a） 充分而不必要條件（b） 必要而不充分條件

3、（c）充分必要條件（d）既不充分也不必要條件（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(a)1 （b） （b） (d)2（8）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況。注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（a）6升（b）8升（c）10升（d）12升第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）復(fù)數(shù)i（1+i）的實數(shù)為（10）2-3, ,log25三個數(shù)中最大數(shù)的是 （11）在abc中，a=3,b=,a=，b= （12）已知（2，0）是雙曲線=1(b>0)的一個焦點，則

4、b=.（13）如圖，abc及其內(nèi)部的點組成的集合記為d，p（x，y）為d中任意一點，則z=2x+3y的最大值為（14）高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生。從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，兩同學(xué)的成績名次更靠前的科目是三、解答題（共6題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）（15）（本小題13分）已知函數(shù)f（x）= （）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間上的最小值。（16）（本小題13分）已知等差數(shù)列滿足+=10，-

5、=2.（）求的通項公式；（）設(shè)等比數(shù)列滿足，；問：與數(shù)列的第幾項相等？（17）（本小題13分）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“×”表示未購買。商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100×217××200×300××85×××98×××（）估計顧客同時購買乙和丙的概率（）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率（）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？（18）（本小題1

6、4分）如圖，在三棱錐e-abc中，平面eab 平面abc，三角形eab為等邊三角形，ac bc,且ac=bc=,o,m分別為ab,va的中點。（1） 求證:vb/平面moc.（2） 求證：平面moc平面 vab（3） 求三棱錐v-abc的體積。 （19）（本小題13分）設(shè)函數(shù)f（x）= ,k>0（i）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（ii）證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間（1，）上僅有一個零點。(20)(本小題14分)已知橢圓,過點且不過點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線.（1）求橢圓的離心率；（ii）若ab垂直于x軸，求直線bm的斜率；（iii）試判斷直線bm與直線de的位置關(guān)系

7、，并說明理由。2015年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）a （2）d （3）b （4）c（5）b （6）a （7）c （8）b二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）1 （10）log25（11） （12）（13）7 （14）乙 數(shù)學(xué)三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分） 解：（i）因為 所以的最小正周期為2. （ii）因為0，所以. 當(dāng)，即時，取得最小值. 所以在區(qū)間上的最小值為.（16）（共13分）解：（i）設(shè)等差數(shù)列的公差為. 因為，所以. 又因為，所以，故. 所以. （ii）設(shè)等比數(shù)列的公比為

8、q. 因為， 所以，. 所以. 由128=得. 所以與數(shù)列的第63項相等.（17）（共13分） 解：（i）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙， 所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為. （ii）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁， 另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品， 所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為 .（iii）與（i）同理，可得： 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為， 顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為， 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為. 所以，如果顧客購買

9、了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大。（18）（共14分） 解：（i）因為o,m分別為ab，的中點，所以/. 又因為平面moc， 所以vb/平面moc. （ii）因為，為ab的中點， 所以ocab. 又因為平面平面，且平面，所以平面所以平面平面（iii）在等腰直角三角形中，所以，所以等邊三角形的面積又因為平面，所以三棱錐的體積等于又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為（）（共分）解：（）由（k>0）得 . 由=0解得 與在區(qū)間（）上的情況如下：0+所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（ii）由（i）知，在區(qū)間上的最小值. 因為存在零點，所以，從而. 當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且， 所以是在區(qū)間上的唯一零點. 當(dāng)>e時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且>< 所以在區(qū)間上僅有一個零點. 綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.（20）（共14分） 解：（i）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 所以. 所以橢圓的離心率. （ii）因為過點且垂直于軸，所