2021研究生入學(xué)考試考研數(shù)學(xué)試卷解析(一)

1、2021研究生入7考試考研數(shù)7試卷(數(shù)學(xué))2021研究生入學(xué)考試考研數(shù)學(xué)試卷及解析(數(shù)學(xué)一)一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中， 只有一個選項是符合題目要求的請將所選項前的字母填在答題紙扌旨定位置上. e” 一 1 n丫工01. /«= X ，在 “0 處1 ,x = 0(A) 連續(xù)且取得極大值(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零(B) 連續(xù)且取得極小值(D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零2. 設(shè)函數(shù)f(x,y)可微 且/(x+l,") = x(x+l)2, f(x9x2) = 2x2nx,則 #(!,!) =(A) dx + dy (B) dx-dy (C) dy

2、(D) -dy3. 設(shè)函數(shù)/(x) = 4在x = 0處的3次泰勒多項式為ax + bx2+cx則 1 +十77(A) a = .b = 0,c =(B) q = 1" = 0，c = 66(C) a = _l,b = _l，c = _?(D) a = -,b = -,c = 6 64. 設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，則/(x)dx =(c)啤他5二次型/(心左,兀)=(禹+禺)'+(禺+兀3)'-(不一西的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)依(A) 2.0(B)1.1(C) 2.1(D) 1.2V、2<36.已知可=0©2 =2,他=1記孫J丿<2&g

3、t;次為%卩2 = 口2 -k伙、03 =-1點 -1護2、若2021研究生入7考試考研數(shù)7試卷(數(shù)學(xué))久爲(wèi),03兩兩正交，則厶仏依次為-討(c) r 2(D)4o、(AAB(A) rata；=2心)(B) rV"ABA、'Ao)(C) r=2心)(D) /-BAA A)力丿7.設(shè)A. B為階實矩陣，下列不成立的是= 2r(A)= 2r(A)8. 設(shè)力，為隨機事件.且0v P(B)v,下列為假命題的是(A) 若P(AB) = P(A)MP(AB)= P(A)(B) 若 P(AB)> P(A),mij P(A |> P(J)(C) 若 P(AB)> P(41B

4、)，則 PAB)> P(J)(D) 若| AjB)>PAM5),則P(A)> P(B)9. 設(shè)(心仆(兀必)，(圮比)為來自總體/("，舛亓厲;。)的簡單隨機樣本 令 2,心糾，學(xué)2",則(A)&是0的無偏差估計，Do(C)0卜牛3是&的無偏差估計.D=尤衛(wèi)二型也0不是&的無偏差估計.D(D)3不是。的無偏差估計.£)仏/ +巧二2燈込10 設(shè)%p%2,.l6是來自總體2(“，4簡單隨機樣本，考慮假設(shè)檢驗問題：Hu：“S10,/£:“>l(VD(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正太分布函數(shù)，若該檢驗問題的拒絕域為7X 竺 =

5、>11,M中X二為尤，則“ =115,該檢驗犯第二類錯誤的概率為16 r=|(A) 1-0(0.5)(B) 1-0(1)(C) 1-O)(l .5)(D) 1-0(2)二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位 置上.卄 dx0 x2 + 2x + 212.設(shè)函數(shù)y = y(x)由參數(shù)方程*x = 2ef +t + 亠,(/2y. 尸4(一1)+確疋則而I/=013.14.15.求極限切1+陽ex-l1sinx歐拉方程xy+xyAy = 0滿足條件y(l) = 1,(1) = 2的解為y =設(shè)工為空間區(qū)域(x,z)|x2+4/ <4,0<z<

6、;2表面的外側(cè).則曲面積分 jj x2dydz + y2dzdx + zdxdy = 設(shè)人=仏、為3階矩陣.血為代數(shù)余子式.若力的每行元素之和均為2.且|J| = 3.貝lj £ + 給 + 力3| =16. 甲、乙兩個盒子中有2個紅球和2個白球.選取甲盒中任意一球，觀察顏色后放入乙 盒.再從乙盒中任取一球.令分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球的個數(shù)，則光與Y的相關(guān)系數(shù)為 三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步 驟.請將答案寫在答題紙指定位置上. 17. (本題滿分10分)18. (本題滿分12分)設(shè)A(x)=嚴(yán)+Jw = 1,2,.),求級數(shù)Yun(

7、x)的收斂域及和函數(shù). 嗆?+1)気19. (本題滿分12分)+ 2 v" _ _ = 6已知曲線G JJ °C求C上的點到兀6坐標(biāo)面距離的最大值.4x + 2y + z = 3020. (本題滿分12分)設(shè)DuW是有界單連通區(qū)域，1(0) = Jj(4-x2-/yixdy取得最大值的積分區(qū)域記為D(1) 求/(QJ的值.仏宀“ + 尹)t/x+(4>07 -xdy(2) 計算I °)、 其中是卩的正向邊界% :(a 1 -r21設(shè)矩陣力二1 a -1 、T j J(1) 求正交矩陣P，使ptap為對角矩陣(2) 求正定矩陣C.®C2=(«

8、;4-3)£-J,E為3階單位矩陣.22.在區(qū)間(0,2)上隨機取一點，將該區(qū)間分成兩段，較短一段的長度記為X,較長一段的長Y度記為丫令Z =.AX(1)求*的概率密度；(2)求Z的概率密度;(3)求E(y).2021研究生入7考試考研數(shù)7試卷（數(shù)學(xué)）2021考研數(shù):學(xué)試卷答案速查（數(shù)學(xué)一）一、選擇題(1) (D)(2)(C)(3) (A)(4)(B)(B)(A)(7)(C)(8) (D)(9)(C)(10) (B)二、填空題(H)-4(12)Z3( y = x2(14) 4rc(15)32(1三、解答題1+Jo er dtjsinx-ex + 原式=lim.ytO(17)（2分）(

9、$ -l)sinxlimxtOsinx-ev + l (er -l)sinx+ lim.r-M)sinxf e1 dtJo(er-l)sinxX + o(x )+1 1 + x + X" + =limxtO（4分） erdt+ Iim (7 分)心0x=limxtO1=2-一x2 +o(x2)、+ hme" (9 分)x->0（10 分）(18)g)十+n(n +1)( =12 )設(shè)vjx) = e-. (x) = .則說I+恥)收斂區(qū)間為（o,+8）. y-一 收斂區(qū)間為（-1,1）（3分）x = 0 時，88Xm«w=E1-級數(shù)發(fā)散 w=ln-x = l

10、 時，8J，級數(shù)收斂 id «（w+i）所以級數(shù)的收斂域為（01（4分）g8I°-宓10 S©) =工匕="=lim - = -(X > 0) (6 分)tr tt i l-e” l-e-nx-x-x嗆7 + 1)S2(x)二乞叫(x)二, n=l/i=lS；(x)-S；(0) =丄擊= -ln|l-x|.因為 S；(0) = 0,所以 S；= -ln|l-x|(xl)1 fS2(x)-S2(0) = £-ln|l-/|dr =(l-x)ln|l-x| + x,因為S2(0) = 0.所以S2(x) = (1 - x)In|1 -x| +

11、 x(x 1) (9 分) 因此xHl 時.S(x) = S1(x)+52(x) = - +(1 -x)ln卩一x| + xl-e-X、-1當(dāng)x=l 時，和函數(shù)連續(xù)，所以S(l) = lim -7 + (l-x)ln|l-x| + x =-r + 1nii_e'丿 1ee-x +(l-x)l n卩一 x + x. 0 <x< 1所以.S(x) = P_e V(12 分)-1(19)根據(jù)題意，目標(biāo)函數(shù)為f(x,y9z) = z2,約束條件是r+2y-z-6 = 0以及 4x+2y+二一30 = ( (2 分)設(shè) F(x,y, z,入 /) = z2 4- A(x2 + 2y2

12、 - z - 6)+(4x+2y+z - 30)F； = 2Ax + 4p = ()F； = 4Ay + 2p = 0<= 2z-2 + /7 = 0(6 分)F； = x2+2y2-z-6 = 0F；t=4x + 2y + z-30 = 0解得(x,y,二)=(4,1,12)或者(x j, z) = (一& -2,66) (10 分)/(4,1,12) = 122. /(-8,-2,66) = 662因此距離的最大值為66 (12分)(20)62021研究生入7考試考研數(shù)7試卷（數(shù)學(xué)）(1)根據(jù)題意,易知耳=疋+尸冬4Jj4-x2 -y2dxdy = j (4一r2)rdrd&

13、#176; = 8兀(4 分) D4r+4”卜/2+刃& +（4舛2制® 卜嚴(yán)押+”心+佝/“制 a鑫x2+4y2?x2+4y2由格林公式可知，X "2 +"&+（伽2 -Rd），°（初）護（3）如廠0n2x2 + 4y2% +/ix2 + 4y2+ y) dr + (4yex2 + 4y2 +x + 4ydP(x.y) _ Sxyex +4 (x2 +4y2 -l) + x2 -4y2 _ dQ(x,y) dy(x2+4y2)2dx補充曲線/（:x2+4y2=?（順時針方向）宀2+y)dx +(4jbW x) '4_ x) dy

14、其中2為°。和厶圍成的封閉區(qū)域.（8分）*卜宀詞豊;宀朋誨（宀*（十怏根據(jù)格林公式Ag（xb f4-r* + y）dx + 4yex +4r -xjdv = -jj-2dxdy = -2兀兀其中是厶圍成的封閉區(qū)域.（x/+4/ +y）dx +（4y/® 一“所以J -，打? 二兀（12分）LX +4廠(2)因為 P AP = 可知 A = PPf,4 0 0、r2 0 0、r2 0 0、C2 =(a + 3)E-A = P(a + 3)E-Pr = P0 4 ()PT = P0 2 0PTP0 2 0W o b、0 0 1 丿、o o 1,(21)(1) |qe_/|= _

15、i1一1 1A,ci 1 =(久一a + 1)(久一a 2)1久一 a1 1 -1>3T(a-)E-A0 0 0.解得4 =10,0 0 0 丿小丿丄令 口£一/| = 0,解得&二入一 1，人=。+ 2（2 分）n o r(a + 2)E- A ->0 1 1.解得為二-i,0 o o;丿(4分)（-1將&，。2進行施密特正交化可得卩=1I。丿(6分)(2丿將（幾02必）單位化可得人11疋0必=、 丿1 一76丄“ 2_苗<<可得正交矩陣P二丄喬丄V62761 一72丄>/2O使 P AP = A =17-100a-< ° °0、（）（8 分）a + 2丿因為C為正定矩陣，所以112 0 0r p- <=cfv2o2 0 0zr Lx丄>/3丄V3丄731_>/6丄>/62 _>/6、 丿 -37芍 1_>/61_ f