高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見(jiàn)求法_蘇教版必修

1、求解數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。一 觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041， 通項(xiàng)公式為： （2） （3） （4）.觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。 二、定義法例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qr且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f

2、 (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qr，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。三、    &#

3、160; 疊加法例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。解 易知 各式相加得一般地，對(duì)于型如類的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。四、疊乘法例4：在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以一般地，對(duì)于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法。五、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。例5：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）。 （2）解： （1）=3此時(shí)，。=3為所求數(shù)列

4、的通項(xiàng)公式。（2），當(dāng)時(shí) 由于不適合于此等式 。 注意要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。 例6. 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和sn滿足關(guān)系求證：數(shù)列是等比數(shù)列。 解析：因?yàn)?所以 所以，數(shù)列是等比數(shù)列。六、階差法例7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系是 ，其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且。求出用n和b表示的an的關(guān)系式。解析：首先由公式：得： 利用階差法要注意：遞推公式中某一項(xiàng)的下標(biāo)與其系數(shù)的指數(shù)的關(guān)系，即其和為。七、待定系數(shù)法例8：設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項(xiàng)公式cn解：設(shè) 點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法解題時(shí)，常先假定

5、通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。八、 輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例9.在數(shù)列中，求。解析：在兩邊減去，得 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由累加法得= = = 例10.（2003年全國(guó)高考題）設(shè)為常數(shù)，且（），證明：對(duì)任意n1，證明：設(shè)， 用代入可得 是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列， （），即：型如an+1=pan+f(n) (p為常數(shù)且p0, p1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.(1)f(n)= q (q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an

6、+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以a1+k為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列。例11：已知數(shù)的遞推關(guān)系為，且求通項(xiàng)。解： 令則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列即 例12： 已知數(shù)列中且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： ， 設(shè)，則故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 例13.（07全國(guó)卷理21）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)（1）求的通項(xiàng)公式；解：（1）由整理得又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得注：一般地，對(duì)遞推關(guān)系式an+1=pan+q (p、q為常數(shù)且，p0，p1)可等價(jià)地改寫(xiě)成 則成等比數(shù)列，實(shí)際上，這里的是特征方程x=px+q的根。(2) f(n)為等比數(shù)列，如f(n)= qn (q為常數(shù)) ，兩邊同除以qn，

7、得，令bn=，可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。例14.已知數(shù)列an中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通項(xiàng)公式。解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan= an=(3) f(n)為等差數(shù)列例15.已知已知數(shù)列an中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通項(xiàng)公式。解： an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。注：一般地，這類數(shù)

8、列是遞推數(shù)列的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，要理解掌握。(4) f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列例16.（07天津卷理）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為這種方法類似于換元法, 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。九、歸納、猜想如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。例17.（2002年北京春季高考）已知點(diǎn)的序列，其中，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，（1） 寫(xiě)出與之間的關(guān)系式（）。（2） 設(shè)，計(jì)算，由此推測(cè)的通項(xiàng)公式，并加以證明。（3） 略解析：（1） 是線段的中點(diǎn)， （2），=，=，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立； 假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即 則n=k+1時(shí)，= = 當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立， 命題對(duì)任意都成立。例18：在數(shù)列中，則的表達(dá)式為 。分析：因?yàn)?，所以得：，猜想：。十、倒?shù)法數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出例19設(shè)數(shù)列滿足求解：原條件變形為兩邊同乘以得.綜而言之，