專(zhuān)題411相似三角形幾何模型（旋轉(zhuǎn)模型）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（浙教版）

專(zhuān)題4.11相似三角形幾何模型（旋轉(zhuǎn)模型）（培優(yōu)練）1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱(chēng)之為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接、、．

（1）試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．（3）如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間數(shù)量關(guān)系．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)M，N，連接，可得．探究一：如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線上．求證：；探究二：在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：；探究三：把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)O，求的值．

3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，，于點(diǎn)．將與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)與重合，其中，，．繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，分別交邊于點(diǎn)．

（1）求證：四邊形為矩形；（2）求的長(zhǎng)；（3）若，求的長(zhǎng)；（4）恰好為等腰三角形，求．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系：____________；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖①，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．（2）如圖①，若，，求的長(zhǎng)．（3）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明．7．（2023春·山西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，中，，的大小保持不變，點(diǎn)在斜邊上，，垂足為點(diǎn)．如圖2，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求作點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，，，直線，相交于點(diǎn)，試探究在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線，所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請(qǐng)證明：若有變化，說(shuō)明理由．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀材料，解決問(wèn)題折疊、旋轉(zhuǎn)是我們常見(jiàn)的兩種圖形變化方式如圖1，在中，，點(diǎn)D，E在邊上，，若，，求的長(zhǎng)．小明發(fā)現(xiàn)，如果將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接（如圖2）．使條件集中在中，可求得（即）的長(zhǎng)，具體作法為：作，且，連接，可證，再結(jié)合已知中，可證，得，接著在中利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)．（1）請(qǐng)你回答：與全等的條件是__________（填“”、“”、“”、“”或“”中的一個(gè)），的長(zhǎng)為_(kāi)_________；（2）如圖3，正方形中，點(diǎn)P為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將沿翻折至位置，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．①求證：；②連接交于點(diǎn)O，連接（如圖4），請(qǐng)你直接寫(xiě)出的值．9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形和正方形（其中），的延長(zhǎng)線與直線交于點(diǎn)H．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在上時(shí)，求證：；（2）將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線右側(cè)時(shí)，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；②當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在銳角中，，，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值與最小值．11．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，在中，，，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．（3）問(wèn)題解決繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)______．12．（2023春·山西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．13．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）（探索發(fā)現(xiàn)）如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，連接．（1）試判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）如圖①如果正方形的邊長(zhǎng)為4，求三角形的周長(zhǎng)；（3）如圖②，點(diǎn)分別在正方形的邊的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．14．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，D為上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到，連接，直接寫(xiě)出的值．15．（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．（1）如圖，求證：≌；（2）直線與相交于點(diǎn)．如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值．16．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，求的度數(shù)．張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造，連接，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決．（1）請(qǐng)你計(jì)算圖1中的度數(shù)；（2）參考張明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，求的度數(shù)．17．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長(zhǎng)AE交于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）如圖①，若AB＝5，CF＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．18．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；（2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．參考答案1．(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先利用證明，得，從而得出答案；（2）在上取,連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可證明結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得點(diǎn)、、共線，由（1）同理可得，得，從而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，證明如下：如圖：四邊形是正方形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，點(diǎn)、、共線，，，，，在和中，，，，；（2）解：，證明如下：如圖，在上取，連接，，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，

，，，，，點(diǎn)、、共線，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．探究一：見(jiàn)解析；探究二：見(jiàn)解析；探究三：【分析】探究一：求出，證明即可；探究二：根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，等量代換求出，加上公共角，進(jìn)而可證明；探究三：先證明，得到，，然后將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)G在直線上，得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得到，可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出．【詳解】探究一：證明：∵把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)H在直線上，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；探究二：證明：如圖，

∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；探究三：解：∵，是正方形的對(duì)角線，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴，，如圖，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，則點(diǎn)G在直線上，

∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題是相似三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．(1)8(2)(3)存在最小值1，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先求出，再在中，求出，從而可得；（2）過(guò)作交于，過(guò)作于，先證明，再根據(jù)，求出，進(jìn)而可得和及，由得，即可得；（3）過(guò)作交延長(zhǎng)線于，連接，先證明，得，再證明得，是的中位線，，要使最小，只需最小，此時(shí)共線，的最小值為，即可得最小值為．【詳解】（1）解：，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，，中，，；（2）解：過(guò)作交于，過(guò)作于，如圖：

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，中，，，，中，，同理，，，，，，；（3）解：存在最小值1，理由如下：過(guò)作交延長(zhǎng)線于，連接，如圖：

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，而，，，，，，，，在和中，，，，即是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，要使最小，只需最小，此時(shí)共線，的最小值為，最小為．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換，涉及勾股定理、平行線分線段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．4．(1)見(jiàn)解析(2)6(3)(4)16或【分析】（1）根據(jù)矩形的證明方法即可得證；（2）根據(jù)四邊形為矩形，可得的長(zhǎng)度，根據(jù)含有角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)四邊形為矩形，可得的長(zhǎng)，從而可求出的長(zhǎng)，在中，由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，，即，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，在中，，，；（3）解：四邊形是矩形，，，，在中，；（4）解：①當(dāng)時(shí)，，，，，②當(dāng)時(shí)，此種情況不存在，③當(dāng)時(shí)，如圖所示，

，，在中，，解得：，，綜上所述，恰好為等腰三角形，的值為或16．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)成立；理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；綜上分析可知，或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，注意分類(lèi)討論．6．(1)四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析(2)(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．證明，推出，，利用勾股定理求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：結(jié)論：四邊形是正方形．理由如下：是由繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，，，又，，四邊形是矩形，由旋轉(zhuǎn)可知：，四邊形是正方形；（2）如圖①，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．則四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，在中，，根據(jù)勾股定理得：，，或（舍去），，故答案為：12．（3）結(jié)論：．證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，

由（1）可知：四邊形是正方形，，，．【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．7．(1)見(jiàn)解析(2)不變，理由見(jiàn)解析【分析】（1）作，，則點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)題意得出，則，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，證明得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；（2）解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，∵的大小保持不變，∴是定值．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．(1)，(2)①證明見(jiàn)詳解；②【分析】（1）根據(jù)繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到可得，，結(jié)合可得，根據(jù)邊角邊定理即可得到證明，在中利用勾股定理即可得到答案；（2）①連接，根據(jù)定理即可得到，即可得到證明；②連接，過(guò)C作交延長(zhǎng)線于一點(diǎn)G，根據(jù)折疊得到，，由①可得，，即可得到，從而得到，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，結(jié)合可得，即可得到，即可得到答案.【詳解】（1）解：∵繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴，在與中，∴，∵，，∴，∵繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，在中，，∵，∴，故答案為：，；（2）解：①連接，∵沿翻折至位置，四邊形是正方形，∴，，在在與中，，

∴，∴；②連接，過(guò)C作交延長(zhǎng)線于一點(diǎn)G，∵沿翻折至位置，∴，，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，

∵，∴，在與中，，∴，∴，，∴，在中，，∴.【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線．9．(1)證明見(jiàn)解析(2)①，證明見(jiàn)解析；②或【分析】（1）證明，即可得到，再由角的等量代換即可證明；（2）①在線段上截取，連接，證明，得到為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的邊角性質(zhì)即可；②分兩種情況，一是如圖3所示，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．求出BD，設(shè)，則．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如圖4所示，當(dāng)B，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．設(shè)，中利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和均為正方形，∴，，

∴．∴．

又∵，∴．∴．（2）解：①，證明如下：如圖所示，在線段上截取，連接．由（1）可知，，又∵，∴．∴．

∴，即．∴為等腰直角三角形．∴．∴，∴．

②第一種情況：如圖3所示，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)G、H重合，連接．由①可知，且．又∵，∴．設(shè)，則．∴在中，由勾股定理得．∴，解得（負(fù)值舍），∴；第二種情況：如圖4所示，當(dāng)B，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．設(shè)，∵，∴．在中，由勾股定理得．∴．解得，∴∴的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識(shí)點(diǎn)，并正確作出輔助線．10．(1)(2)(3)線段長(zhǎng)度的最大值為7與最小值為【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，易證得，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出；（3）由①當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小；②當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，即可求得線段長(zhǎng)度的最大值與最小值．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，∴．（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，，，∴，，∴，∴，∴，即，解得：．（3）解：過(guò)點(diǎn)B作，D為垂足，∵為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段上，在中，,，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∵點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，∴；①如圖1，當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，且最小值為：；②如圖2，當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，且最大值為：．綜上分析可知，線段長(zhǎng)度的最大值為7與最小值為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．11．(1)；(2)沒(méi)有，證明見(jiàn)解析(3)滿足條件的的長(zhǎng)為或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，在Rt中，勾股定理，可求的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，分別求出的大小，即可求出的的值；當(dāng)時(shí)，可得，然后根據(jù)，可求的值；（2）首先判斷出，再根據(jù)，判斷出，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求解；（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，Rt中，，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，，，故答案為：；如圖，當(dāng)時(shí)，可得，，，故答案為：；（2）解：如圖，當(dāng)時(shí)，的大小沒(méi)有變化，，，，，；（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt中，，，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在Rt中，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．12．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）通過(guò)證明，可得結(jié)論；（2）連接和，證明可得的值．【詳解】證明：（1）將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度得到，，，，，，；（2）連接和，四邊形和四邊形均為正方形，，，，則，，，．．．【點(diǎn)撥】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．13．(1)，證明見(jiàn)詳解；(2)8；(3)，證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，，，，即可得到即可得到答案；（2）由（1）結(jié)論代入即可得到答案；（3）在上取連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可得到答案．【詳解】（1）解：，理由如下，證明：∵是繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）得，；∴，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴；（3）解：在上取，連接，在與中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．由三角形外角的性質(zhì)易求．根據(jù)題意可求，即得出．設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可求出．從而可列出關(guān)于x的方程，解出x，即可求出的長(zhǎng)；（2）連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q．易得出，根據(jù)勾股定理可得出．結(jié)合題意又可得出．設(shè)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．結(jié)合題意利用三角形中位線定理可得，，從而可證，最后根據(jù)勾股定理可求出；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，即易證四邊形是矩形，得出，，進(jìn)而可求出，，，最后根據(jù)勾股定理求出和的長(zhǎng)，作比即可．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．

∵，，，∴，即．∵，∴，∴．設(shè)，則，∴．∴，解得：，∴；（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q．∵，∴，∴，∴．∵，∴．設(shè)．∵，，∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，即，∴，，∴，∴，，∴；（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴．∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，，∴，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．15．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析②【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，．，．，，在和中，≌；（2）證明：如圖中，設(shè)與相交于點(diǎn)．，．≌，．，．，，，四邊形是矩形，．四邊形是正方形，，．．又，≌．．矩形是正方形；解：作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵∴≌．．，，最大時(shí)，最小，．．由可知，是等腰直角三角形，．【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．16．(1)(2)【分析】（1）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABP≌△ACP′，求證△APP′為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠APB=150°；（2）將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知是等腰直角三角形，求證∠APP′=45°，用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．【詳解】（1）（1）如圖2，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴；∴；（2）如圖3，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵.17．(1)四邊形BFE是正方形，見(jiàn)解析(2)線段CF與的數(shù)量關(guān)系是CF=，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再證明有一組鄰邊線段即可得證．(2)過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AE，垂足為Q，得證AE=2AQ=2QE，再證明△DAQ≌△ABE，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到△≌△ABE，得到DQ=AE==2=+CF，得證．(3)過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為M，證明△DAM≌△ABE，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到△≌△ABE，得到DM=AE==+CF，設(shè)=x，則DM=AE==x+1，根據(jù)勾股定理，，求得x的值，再利用計(jì)算即可．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°．∵Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）∴△ABE≌△，∴∠AEB=∠=90°，BE=，∠ABE=∠，∴∠+∠CBE=90°，∴∠BEF=90°，四邊形是正方