第三BiZWiZ杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽數(shù)學(xué)模型論文

1、第三屆biz-wiz杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了第三屆biz-wiz杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽的競賽細(xì)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們的參賽報(bào)名號(hào)為： 036 參賽隊(duì)員 (簽名) ：隊(duì)

2、員1： 譚鵬瑤 隊(duì)員2： 歐燕青 隊(duì)員3： 符建偉 武漢工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)第三屆biz-wiz杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽組委會(huì)第三屆biz-wiz杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽編 號(hào) 專 用 頁選擇的題號(hào)： b 參賽的編號(hào)： 036 （以下內(nèi)容參賽隊(duì)伍不需要填寫） 競賽評(píng)閱編號(hào)： 第三屆biz-wiz杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽題目：免費(fèi)自行車交通系統(tǒng)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)布局規(guī)劃【摘 要】 本文主要為了解決題目提出的如何選擇網(wǎng)點(diǎn)和網(wǎng)點(diǎn)車輛如何分配才能最大可能方便居民的問題。根據(jù)題目要求我們以用戶的滿意度和自行車使用率作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。只有在用戶滿意下自行車的使用率越大模型越合理。怎樣處理好網(wǎng)點(diǎn)分配選擇，

3、車輛分布，人口密度，區(qū)域面積之間的關(guān)系是解決本問題的關(guān)鍵。（1）網(wǎng)點(diǎn)的分布：由于網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)范圍是有限的，為了各大程度的方便居民，則必須保證網(wǎng)點(diǎn)服務(wù)能夠更大的，有效的，合理的覆蓋整個(gè)城區(qū)。網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)范圍跟網(wǎng)點(diǎn)規(guī)模，地段的選擇，人數(shù)的配置等眾多因素有關(guān)。因此為了簡化問題，我們根據(jù)社區(qū)與其他區(qū)域面積之比作為分配網(wǎng)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。而其他區(qū)域中存在人流量比較大的超市和地鐵。因此對(duì)于其他地區(qū)的網(wǎng)點(diǎn)分配。我們必需考慮超市和地鐵的影響。假設(shè)超市和地鐵的影響面積為1平方公里。我們可以求出其高峰時(shí)期的人口密度。根據(jù)地鐵，超市。其他區(qū)域的人口密度之比,分配其網(wǎng)點(diǎn)（包含在社區(qū)內(nèi)的地鐵和超市不另作考慮）（2）車輛的配置：自行

4、車的配置跟網(wǎng)點(diǎn)范圍內(nèi)的人口密度有關(guān)。假設(shè)人流量是一定的，居民租用自行車的概率為一定值設(shè)為k。而網(wǎng)點(diǎn)的作用域?yàn)閳A形，設(shè)半徑為a。網(wǎng)點(diǎn)配置的車輛數(shù)>=網(wǎng)點(diǎn)人口密度*網(wǎng)點(diǎn)作用面積*租車率*比例系數(shù).（如果網(wǎng)點(diǎn)附近有人流量比較集中的超市，地鐵站等其人口密度必然受其影響.。設(shè)p1為網(wǎng)點(diǎn)附（500m-700m）超市的數(shù)量,p2為網(wǎng)點(diǎn)附近（500m-700m）地鐵站的數(shù)量。p3為網(wǎng)點(diǎn)附近（500m-700m）社區(qū)的數(shù)量。則網(wǎng)點(diǎn)人口密度=（超市的人口密度*p1+地鐵的人口密度*p2+社區(qū)的人口密度*p3）*比例系數(shù)。）根據(jù)各個(gè)網(wǎng)點(diǎn)車輛數(shù)=總車輛數(shù)?？纱笾虑蟪龈鱾€(gè)網(wǎng)點(diǎn)車輛的分配數(shù)量。最后，我們從模型所用思

5、想方法的科學(xué)性，以及結(jié)果的合理性兩方面進(jìn)行了討論。 一.問題重述 某城區(qū)推行免費(fèi)公共自行車服務(wù)，已知地區(qū)基本信息如下（如圖所示） 此城區(qū)現(xiàn)有人口15 萬，地域面積約22.9平方公里(如圖長4.68公里，高4.89公里)，含兩座小山和一個(gè)湖泊（如圖）。已知規(guī)劃中的地鐵站有5個(gè)，圖上ae點(diǎn)，預(yù)計(jì)高峰時(shí)間人流量在4000-5000人/站，其余時(shí)間10002000人/站。大型社區(qū)有兩個(gè)，社區(qū)c有1.4萬人，社區(qū)c有2.8萬人，其余地區(qū)，除山地、湖泊和河流區(qū)域外，可以認(rèn)為人口是均衡分布的。大型超市有三個(gè)，預(yù)計(jì)高峰時(shí)間人流量在3000人/座，其余時(shí)間1000人/座?，F(xiàn)建設(shè)網(wǎng)點(diǎn)依據(jù)有限時(shí)間內(nèi)免費(fèi)租賃，隨處借

6、還的原則，最大可能方便居民使用，應(yīng)優(yōu)先考慮交通樞紐和地點(diǎn)人流量，根據(jù)現(xiàn)實(shí)中調(diào)查可以推斷：早晨在社區(qū)周邊的網(wǎng)點(diǎn)車輛數(shù)較多，下午下班時(shí)在地鐵站和超市附近網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)較多。十字路口的人流量一般較大。網(wǎng)點(diǎn)之間的距離一般控制在300米1000米之間。 目前該地區(qū)現(xiàn)有17個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，600輛免費(fèi)自行車，統(tǒng)計(jì)車輛數(shù)如下表所示編號(hào)上午7:00車輛數(shù)下午5:30車輛數(shù)17070260903403043010530106301075045830109307010301011302012308013201014506015201016205173060請(qǐng)你解決以下問題：1. 設(shè)定一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來衡量現(xiàn)有網(wǎng)點(diǎn)與車輛分布狀況

7、。2. 在規(guī)劃中要在圖中增加到100個(gè)網(wǎng)點(diǎn)和3600輛車，如何決定網(wǎng)點(diǎn)位置跟每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)，才能使在你的評(píng)價(jià)指標(biāo)下達(dá)到最優(yōu)。3. 但目前市政資金有限，只能拿出110萬元左右，已知建設(shè)一個(gè)網(wǎng)點(diǎn)需5000元，投入一輛自行車的成本約300元，現(xiàn)希望盡可能實(shí)現(xiàn)主要居民區(qū)網(wǎng)點(diǎn)平均間距500米的公共交通體系，并最大程度服務(wù)居民，則需要在此地區(qū)建立多少個(gè)，如何分布網(wǎng)點(diǎn)并確定每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)。二問題分析根據(jù)題目要求我們以用戶的滿意度和自行車使用率作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。只有在用戶滿意下自行車的使用率越大模型越合理。用戶的滿意度和區(qū)域內(nèi)人口分布，網(wǎng)點(diǎn)距離，網(wǎng)點(diǎn)自行車的數(shù)量等有關(guān)。根據(jù)合理假設(shè)我們得出：（1）網(wǎng)點(diǎn)的分布：

8、由于網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)范圍是有限的，為了各大程度的方便居民，則必須保證網(wǎng)點(diǎn)服務(wù)能夠更大的，有效的，合理的覆蓋整個(gè)城區(qū)。網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)范圍跟網(wǎng)點(diǎn)規(guī)模，地段的選擇，人數(shù)的配置等眾多因素有關(guān)。因此為了簡化問題，我們根據(jù)社區(qū)與其他區(qū)域面積之比作為分配網(wǎng)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。而其他區(qū)域中存在人流量比較大的超市和地鐵。因此對(duì)于其他地區(qū)的網(wǎng)點(diǎn)分配。我們必需考慮超市和地鐵的影響。假設(shè)超市和地鐵的影響面積為1平方公里。我們可以求出其高峰時(shí)期的人口密度。根據(jù)地鐵，超市。其他區(qū)域的人口密度之比。分配其網(wǎng)點(diǎn)（包含在社區(qū)內(nèi)的地鐵和超市不另作考慮）（2）車輛的配置：自行車的配置跟網(wǎng)點(diǎn)范圍內(nèi)的人口密度有關(guān)。假設(shè)居民租用自行車的概率為一定值設(shè)為k。

9、而網(wǎng)點(diǎn)的作用域?yàn)閳A形，設(shè)半徑為a。網(wǎng)點(diǎn)配置的車輛數(shù)>=網(wǎng)點(diǎn)人口密度*網(wǎng)點(diǎn)作用面積*租車率*比例系數(shù).（如果網(wǎng)點(diǎn)附近有人流量比較集中的超市，地鐵站等其人口密度必然受其影響.。設(shè)p1為網(wǎng)點(diǎn)附（500m-700m）超市的數(shù)量,p2為網(wǎng)點(diǎn)附近（500m-700m）地鐵站的數(shù)量。p3為網(wǎng)點(diǎn)附近（500m-700m）社區(qū)的數(shù)量。則網(wǎng)點(diǎn)人口密度=（超市的人口密度*p1+地鐵的人口密度*p2+社區(qū)的人口密度*p3）*比例系數(shù)。）根據(jù)各個(gè)網(wǎng)點(diǎn)車輛數(shù)=總車輛數(shù)。可大致求出各個(gè)網(wǎng)點(diǎn)車輛的分配數(shù)量。三基本假設(shè) 1設(shè)湖泊，山脈，河流的面積為一個(gè)定值且無人居住，約占總面積的5% 2假設(shè)人口流量基本不變，即不存在大面

10、積人口變動(dòng) 3研究區(qū)域封閉，即假設(shè)不會(huì)有其他區(qū)域的自行車流入，本區(qū)域自行車也不會(huì)流出； 4公共自行車不會(huì)有被偷、損壞等意外情況發(fā)生5包括在小區(qū)內(nèi)的地鐵站，超市不另作考慮6假設(shè)商場，地鐵站的影響面積為一平方公里 7網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)面積為圓形，設(shè)半徑為a 四變量說明：r：社區(qū)c、c地區(qū)以外的人口密度。r1: 社區(qū)c內(nèi)的人口密度。r2: 社區(qū)c內(nèi)的人口密度。xa：地鐵站a周邊的網(wǎng)點(diǎn)的總車輛數(shù)。xb：地鐵站b周邊的網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)。xc：地鐵站c周邊的網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)。xd：地鐵站d周邊的網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)。xe：地鐵站e周邊的網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)。x1分別為s1這三座超市周邊網(wǎng)點(diǎn)的總車輛數(shù)。x2分別為s2這三座超市周邊網(wǎng)點(diǎn)的總

11、車輛數(shù)。x3分別為s3這三座超市周邊網(wǎng)點(diǎn)的總車輛數(shù)。p1：為各車站早高峰小時(shí)進(jìn)站客流量，五模型的建立和求解問題（1）根據(jù)人口密度；人口密度p=人口/區(qū)域面積。據(jù)圖上測(cè)得c1的面積約等于1.69（平方千米），人口為1.4萬， c2的面積約等于3.4（平方千米），人口為2.8萬 其他地區(qū)的面積除去湖泊，河流，山脈大約為16.66（平方千米）人口10.8萬。 則社區(qū)c1的人口密度 r1=1.4/1.69=0.83(萬人/平方公里) 社區(qū)c2的人口密度 r2=2.8/3.4=0.82(萬人/平方公里) 其他地區(qū)的人口密度 r=10.8/16.66=0.64(萬人/平方公里) 地鐵站的最大人口密度 p4

12、=0.5(萬人/平方公里) 超市的最大人口密度 p5=0.3(萬人/平方公里)社區(qū)c1的面積：社區(qū)c2的面積：其他地區(qū)的面積=1.69:3.4:16.66=1:2.01:9.85第一問中總共有17個(gè)網(wǎng)點(diǎn)則按比例先分配且取整可得，c，和其他地區(qū)的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)比例分別為1.30:2.61:12.81。 因?yàn)轭}目重點(diǎn)是要滿足社區(qū)居民的需求，根據(jù)重點(diǎn)滿足社區(qū)居民要求的原則.所以其比例應(yīng)該為2:3:12。 因此現(xiàn)有網(wǎng)點(diǎn)分布不合理再從現(xiàn)有網(wǎng)點(diǎn)的車輛數(shù)據(jù)考慮，早上社區(qū)周邊網(wǎng)點(diǎn)存車量基本可以滿足市民，由于下午下班時(shí)在地鐵站和超市附近的人口集中，市民對(duì)自行車的需求量大，從現(xiàn)有數(shù)據(jù)來看，其周邊網(wǎng)點(diǎn)的自行車數(shù)量存在著不足

13、，例如網(wǎng)點(diǎn)4、5、8、10我們可以很容易得出結(jié)論：下午的各網(wǎng)點(diǎn)車輛數(shù)的分配也不合理。因此在我們所提供的標(biāo)準(zhǔn)下現(xiàn)有網(wǎng)點(diǎn)分布及車輛配置均不合理。問題（2）社區(qū)c1的面積：社區(qū)c2的面積：其他地區(qū)的面積=1.69:3.4:16.66=1:2.01:9.85現(xiàn)有100個(gè)網(wǎng)點(diǎn)則c，和其他地區(qū)附近的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)的比例=7.77:15:55:76.67按照優(yōu)先滿足社區(qū)居民的原則其比例=8；16；76因?yàn)槠渌麉^(qū)域中包含超市，地鐵，則根據(jù)其人口密度具體考慮其他區(qū)域的網(wǎng)點(diǎn)的分配超市的人口密度：商場的人口密度：其他地區(qū)的人口密度=3:5:6.4網(wǎng)點(diǎn)分布之比=15.83:26.38:33.7716：28:33（根據(jù)優(yōu)先滿足

14、人流量較大地區(qū)的原則）則在其他地區(qū)分布在地鐵站附近的網(wǎng)點(diǎn)為28個(gè)在其他地區(qū)分布在超市附近的網(wǎng)點(diǎn)為16個(gè)其他地區(qū)的另外地區(qū)網(wǎng)點(diǎn)為33個(gè)再根據(jù)人口密度。c1的人口密度：c2的人口密度：超市的人口密度：地鐵站的人口密度：其他地區(qū)的人口密度=0.83:0.82:0.64：0.3:0.5之比來分配其附近的車輛數(shù).其車輛數(shù)之比=966.99:955.33:745.63:349.51:582.52967:955：746:349:583綜上所述：c1社區(qū)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)=8。車輛數(shù)=967 c2社區(qū)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)=16。車輛數(shù)=955 超市附近網(wǎng)點(diǎn)數(shù)=16。車輛數(shù)=349 地鐵附近網(wǎng)點(diǎn)數(shù)=28。車輛數(shù)=583 其他地區(qū)網(wǎng)點(diǎn)

15、數(shù)=33。車輛數(shù)=7463問題三本問是一個(gè)線性規(guī)劃問題，設(shè)興建自行車網(wǎng)點(diǎn)x個(gè)，購進(jìn)自行車y輛，要求最大程度服務(wù)居民，即自行車的數(shù)量最大。另假設(shè)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)規(guī)模一樣，最大的容車量為100輛/個(gè)，市民每天對(duì)自行車的需求率為定值k。根據(jù)題目要求列出以下不等式:max y；0.5x+0.03y<=110;100x>=y;0<x<110/0.5;0<y<110/0.0315k>=y;根據(jù)實(shí)際情況求解得，y的最大值為3100，對(duì)應(yīng)的x值為31；根據(jù)第二問。社區(qū)c1的面積：社區(qū)c2的面積：其他地區(qū)的面積=1:2.01:9.85現(xiàn)有31個(gè)網(wǎng)點(diǎn)則c，和其他地區(qū)附近的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)的

16、比例=2.4:4.08:23.74按照優(yōu)先滿足社區(qū)居民的原則其比例=3；5；23超市的人口密度：商場的人口密度：其他地區(qū)的人口密度=3:5:6.4網(wǎng)點(diǎn)分布之比=4.79:7.98：10.225：8:10（根據(jù)優(yōu)先滿足人流量較大地區(qū)的原則）則在其他地區(qū)分布在地鐵站附近的網(wǎng)點(diǎn)為5個(gè)在其他地區(qū)分布在超市附近的網(wǎng)點(diǎn)為8個(gè)其他地區(qū)的另外地區(qū)網(wǎng)點(diǎn)為10個(gè)再根據(jù)人口密度。c1的人口密度：c2的人口密度：超市的人口密度：地鐵站的人口密度：其他地區(qū)的人口密度=0.83:0.82:0.64：0.3:0.5之比來分配其附近的車輛數(shù).其車輛數(shù)之比=806.58:798.86:621.94:291.53:485.89綜上所述：c1社區(qū)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)=3。車輛數(shù)=807 c2社區(qū)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)=5。車輛數(shù)=799 超市附近網(wǎng)點(diǎn)數(shù)=5。車輛數(shù)=622 地鐵附近網(wǎng)點(diǎn)數(shù)=8。車輛數(shù)=291 其他地區(qū)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)=10。車輛數(shù)=486六、模型總結(jié)該模型較好的處理了網(wǎng)點(diǎn)設(shè)置與自行車分配的問題，從問題分析到模型假設(shè)及問題求解都把握了自行車分配怎樣使人們滿意