全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案

1、2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1. 設(shè)，則 （ a ）a.24. b. 25. c. . d. .2在abc中，最大角a是最小角c的兩倍，且ab7，ac8，則bc （ c ）a. b. . c. . d. .3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為 （ c ）a.1. b. 2. c. 3. d. 4.4設(shè)正方形abcd的中心為點(diǎn)o，在以五個點(diǎn)a、b、c、d、o為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ b ）a. b. . c. . d. .5如圖，在矩形abcd中

2、，ab3，bc2，以bc為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)a作半圓的切線ae，則cbe （ d ）a. b. . c. . d. .6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是 （ b ）a.3. b. 4. c. 5. d. 6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個非負(fù)實(shí)根，則的最小值是_.2 設(shè)d是abc的邊ab上的一點(diǎn)，作de/bc交ac于點(diǎn)e，作df/ac交bc于點(diǎn)f，已知ade、dbf的面積分別為和，則四邊形decf的面積為_.3如果實(shí)數(shù)滿足條件，則_.4已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有_7_對.第二試 （a）一（本題滿

3、分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為a、b，與軸的交點(diǎn)為c.設(shè)abc的外接圓的圓心為點(diǎn)p.（1）證明：p與軸的另一個交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果ab恰好為p的直徑且，求和的值.解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)p與軸的另一個交點(diǎn)為d，由于ab、cd是p的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)o，所以oa×oboc×od，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)d在軸的正半軸上，所以點(diǎn)d為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1). （2）因?yàn)閍bcd，如果ab恰好為p的直徑，則c、d關(guān)于點(diǎn)o對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即. 又，所以，解得. 二（本題滿分25分）設(shè)cd是直角三角形abc的斜邊ad上的高

4、，、分別是adc、bdc的內(nèi)心，ac3，bc4，求.解 作eab于e，fab于f.在直角三角形abc中，ac3，bc4，.又cdab，由射影定理可得，故，. 因?yàn)閑為直角三角形acd的內(nèi)切圓的半徑，所以.連接d、d，則d、d分別是adc和bdc的平分線，所以dcdadcdb45°，故d90°，所以dd，. 同理，可求得，. 所以. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： 證明：以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形.證法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形. 證法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得

5、又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形. 第二試 （b）一（本題滿分20分）題目和解答與（a）卷第一題相同.二 （本題滿分25分） 已知abc中，acb90°，ab邊上的高線ch與abc的兩條內(nèi)角平分線 am、bn分別交于p、q兩點(diǎn).pm、qn的中點(diǎn)分別為e、f.求證：efab. 解 因?yàn)閎n是abc的平分線，所以.又因?yàn)閏hab，所以，因此. 又f是qn的中點(diǎn)，所以cfqn，所以，因此c、f、h、b四點(diǎn)共圓. 又，所以fcfh，故點(diǎn)f在ch的中垂線上. 同理可證，點(diǎn)e在ch的中垂線上.因此efch.又abch，所以efab

6、. 三（本題滿分25分）題目和解答與（a）卷第三題相同. 第二試 （c）一（本題滿分20分）題目和解答與（a）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（b）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： 是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.解法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90&#

7、176;.第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1. 設(shè)，則 （ a ）a.24. b. 25. c. . d. .2在abc中，最大角a是最小角c的兩倍，且ab7，ac8，則bc （ c ）a. b. . c. . d. .3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為 （ c ）a.1. b. 2. c. 3. d. 4.4設(shè)正方形abcd的中心為點(diǎn)o，在以五個點(diǎn)a、b、c、d、o為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ b ）a. b. . c. . d. .5如圖，在矩形abcd中，ab3，bc2，以bc為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)a作半圓的切線ae，則c

8、be （ d ）a. b. . c. . d. .6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是 （ b ）a.3. b. 4. c. 5. d. 6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個非負(fù)實(shí)根，則的最小值是_.2 設(shè)d是abc的邊ab上的一點(diǎn)，作de/bc交ac于點(diǎn)e，作df/ac交bc于點(diǎn)f，已知ade、dbf的面積分別為和，則四邊形decf的面積為_.3如果實(shí)數(shù)滿足條件，則_.4已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有_7_對.第二試 （a）一（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為a、b，與軸的交點(diǎn)為c.設(shè)ab

9、c的外接圓的圓心為點(diǎn)p.（1）證明：p與軸的另一個交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果ab恰好為p的直徑且，求和的值.解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)p與軸的另一個交點(diǎn)為d，由于ab、cd是p的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)o，所以oa×oboc×od，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)d在軸的正半軸上，所以點(diǎn)d為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1). （2）因?yàn)閍bcd，如果ab恰好為p的直徑，則c、d關(guān)于點(diǎn)o對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即. 又，所以，解得. 二（本題滿分25分）設(shè)cd是直角三角形abc的斜邊ad上的高，、分別是adc、bdc的內(nèi)心，ac3，bc4，求.解 作eab于e，fa

10、b于f.在直角三角形abc中，ac3，bc4，.又cdab，由射影定理可得，故，. 因?yàn)閑為直角三角形acd的內(nèi)切圓的半徑，所以.連接d、d，則d、d分別是adc和bdc的平分線，所以dcdadcdb45°，故d90°，所以dd，. 同理，可求得，. 所以. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： 證明：以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形.證法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形. 證法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三

11、邊長可構(gòu)成一個直角三角形. 第二試 （b）一（本題滿分20分）題目和解答與（a）卷第一題相同.二 （本題滿分25分） 已知abc中，acb90°，ab邊上的高線ch與abc的兩條內(nèi)角平分線 am、bn分別交于p、q兩點(diǎn).pm、qn的中點(diǎn)分別為e、f.求證：efab. 解 因?yàn)閎n是abc的平分線，所以.又因?yàn)閏hab，所以，因此. 又f是qn的中點(diǎn)，所以cfqn，所以，因此c、f、h、b四點(diǎn)共圓. 又，所以fcfh，故點(diǎn)f在ch的中垂線上. 同理可證，點(diǎn)e在ch的中垂線上.因此efch.又abch，所以efab. 三（本題滿分25分）題目和解答與（a）卷第三題相同. 第二試 （c）一（本題滿分20分）題目和解答與（a）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（b）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： 是否存在以為三邊長的三