清華附中物理補(bǔ)課資料電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的桿導(dǎo)軌模型問題

1、博微物理 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的“桿+導(dǎo)軌”模型問題清華附中 特級教師 孟衛(wèi)東解決電磁感應(yīng)電路問題的關(guān)鍵就是借鑒或利用相似原型來啟發(fā)理解和變換物理模型，即把電磁感應(yīng)的問題等效轉(zhuǎn)換成穩(wěn)恒直流電路，把產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的那部分導(dǎo)體等效為內(nèi)電路.感應(yīng)電動勢的大小相當(dāng)于電源電動勢.其余部分相當(dāng)于外電路，并畫出等效電路圖.此時(shí)，處理問題的方法與閉合電路求解基本一致，惟一要注意的是電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，有時(shí)導(dǎo)體兩端有電壓，但沒有電流流過，這類似電源兩端有電勢差但沒有接入電路時(shí)，電流為零。變換物理模型，是將陌生的物理模型與熟悉的物理模型相比較，分析異同并從中挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，從而建立起熟悉模型與未知現(xiàn)象之間相互關(guān)系的一種特殊

2、解題方法.巧妙地運(yùn)用“類同”變換，“類似”變換，“類異”變換，可使復(fù)雜、陌生、抽象的問題變成簡單、熟悉、具體的題型，從而使問題大為簡化.電磁感應(yīng)現(xiàn)象部分的知識歷來是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，出題時(shí)可將力學(xué)、電磁學(xué)等知識溶于一體，能很好地考查學(xué)生的理解、推理、分析綜合及應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力通過近年高考題的研究，此部分每年都有“桿+導(dǎo)軌”模型的高考題出現(xiàn)。一、命題演變“桿+導(dǎo)軌”模型類試題命題的“基本道具”：導(dǎo)軌、金屬棒、磁場，其變化點(diǎn)有：1導(dǎo)軌（1）導(dǎo)軌的形狀：常見導(dǎo)軌的形狀為u形，還可以為圓形、三角形、三角函數(shù)圖形等；（2）導(dǎo)軌的閉合性：導(dǎo)軌本身可以不閉合，也可閉合；（3）導(dǎo)軌電阻：不計(jì)、均勻分

3、布或部分有電阻、串上外電阻；（4）導(dǎo)軌的放置：水平、豎直、傾斜放置等等例1（2003·上海·22）如圖1所示，oaco為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌，o、c處分別接有短電阻絲（圖中粗線表法），r1= 4、r2=8（導(dǎo)軌其它部分電阻不計(jì)）導(dǎo)軌oac的形狀滿足方程y=2sin（x）（單位：m）磁感強(qiáng)度b=0.2t的勻強(qiáng)磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面一足夠長的金屬棒在水平外力f作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在導(dǎo)軌上從o點(diǎn)滑動到c點(diǎn)，棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終保持與oc導(dǎo)軌垂直，不計(jì)棒的電阻求：（1）外力f的最大值；（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動時(shí)電阻絲r1上消耗的最大功率；（3）在

4、滑動過程中通過金屬棒的電流i與時(shí)間t的關(guān)系解析：本題難點(diǎn)在于導(dǎo)軌呈三角函數(shù)圖形形狀，金屬棒的有效長度隨時(shí)間而變化，但第（1）（2）問均求的是某一狀態(tài)所對應(yīng)的物理量，降低了一定的難度解第（3）問時(shí)可根據(jù)條件推導(dǎo)出外力f的表達(dá)式及電流i與時(shí)間t的關(guān)系式，由三角函數(shù)和其他條件求出需要的量即可（1）金屬棒勻速運(yùn)動f外=f安 ，當(dāng)安培力為最大值時(shí)，外力有最大值 又e=blv圖1f安=bil= 即當(dāng)l取最大值時(shí)，安培力有最大值lmax=2 =2（m）（）代入數(shù)據(jù)得fmax=0.3（n）（2）r1、r2相并聯(lián)，由電阻絲r1上的功率，可知當(dāng)時(shí)p1有最大功率，即 （w） （3）金屬棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)間的長度隨時(shí)間變

5、化 l=2sin（x）（m）且x=vt，e=blv i= sin（t）（a）2金屬棒（1）金屬棒的受力情況：受安培力以外的拉力、阻力或僅受安培力；（2）金屬棒的初始狀態(tài)：靜止或運(yùn)動；（3）金屬棒的運(yùn)動狀態(tài)：勻速、勻變速、非勻變速直線運(yùn)動，轉(zhuǎn)動；（4）金屬棒割磁感線狀況：整體切割磁感線或部分切割磁感線；（5）金屬棒與導(dǎo)軌的連接：金屬棒可整體或部分接入電路，即金屬棒的有效長度問題3磁場（1）磁場的狀態(tài)：磁場可以是穩(wěn)定不變的，也可以均勻變化或非均勻變化（2）磁場的分布：有界或無界二、模型轉(zhuǎn)換電磁感應(yīng)現(xiàn)象考查的知識重點(diǎn)是法拉第電磁感應(yīng)定律，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律的表達(dá)式，有下列四個模型轉(zhuǎn)換：1b變化，

6、s不變（1）b均勻變化b隨時(shí)間均勻變化如果b隨時(shí)間均勻變化，則可以寫出b關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式，再用法拉第電磁感應(yīng)定律解題，如例2第（1）問b隨位置均勻變化b隨位置均勻變化的解題方法類似于b隨時(shí)間均勻變化的情形（2）b非均勻變化b非均勻變化的情況在高中并不多見，如例2第（3）問如果題目給出了b非均勻變化的表達(dá)式，也可用后面給出的求導(dǎo)法求解例2（2000·上海·23）如圖2所示，固定于水平桌面上的金屬框架cdef，處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦滑動此時(shí)abed構(gòu)成一個邊長為l的正方形，棒的電阻為r，其余部分電阻不計(jì)開始磁感強(qiáng)度為b0（1）若從t=0時(shí)刻起

7、，磁感強(qiáng)度均勻增加，每秒增量為k，同時(shí)棒保持靜止求棒中的感應(yīng)電流在圖上標(biāo)出感應(yīng)電流的方向；（2）在上述（1）情況中，始終保持棒靜止，當(dāng)t=t1末時(shí)需加的垂直于棒的水平拉力為多大？（3）若t=0時(shí)刻起，磁感強(qiáng)度逐漸減小，當(dāng)棒以恒定速度v向右做勻速運(yùn)動時(shí)，可使棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感強(qiáng)度應(yīng)怎樣隨時(shí)間變化（寫出b與t的關(guān)系式）？××××d××××××××ab圖2eb0cf解析：將加速度的定義式和電磁感應(yīng)定律的表達(dá)式類比，弄清k的物理意義，寫出可與相對照的b的表達(dá)式；第（3）問中b

8、、s均在變化，要能抓住產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件（回路閉合；回路中有磁通量的變化）解題（1）磁感強(qiáng)度均勻增加，每秒增量為k，得感應(yīng)電動勢感應(yīng)電流由楞次定律可判定感應(yīng)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針，棒ab上的電流方向?yàn)閎a（2）t=t1時(shí)，b=b0+kt1又f=bil（3）棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流回路中總磁通量不變bl（l+vt）=b0l2得2b不變，s變化（1）金屬棒運(yùn)動導(dǎo)致s變化mav0××××××××b圖3××××××××rxol金屬棒在勻強(qiáng)磁場中做切割磁感線

9、的運(yùn)動時(shí)，其感應(yīng)電動勢的常用計(jì)算公式為，此類題型較常見，如例3例3（2002·上海·22）如圖3所示，兩條互相平行的光滑金屬導(dǎo)軌位于水平面內(nèi)，距離為l=0.2m，在導(dǎo)軌的一端接有阻值為r=0.5的電阻，在x0處有一與水平面垂直的均勻磁場，磁感強(qiáng)度b=0.5t一質(zhì)量為m=0.1kg的金屬直桿垂直放置在導(dǎo)軌上，并以v0=2m/s的初速度進(jìn)入磁場，在安培力和一垂直于桿的水平外力f的共同作用下做勻變速直線運(yùn)動，加速度大小為a=2m/s2、方向與初速度方向相反設(shè)導(dǎo)軌和金屬桿的電阻都可以忽略，且接觸良好求：（1）電流為零時(shí)金屬桿所處的位置；（2）電流為最大值的一半時(shí)施加在金屬桿上外力f

10、的大小和方向；（3）保持其他條件不變，而初速度v0取不同值，求開始時(shí)f的方向與初速度v0取值的關(guān)系解析：桿在水平外力f和安培力的共同作用下做勻變速直線運(yùn)動，加速度a方向向左桿的運(yùn)動過程：向右勻減速運(yùn)動速度為零向左勻加速運(yùn)動；外力f方向的判斷方法：先假設(shè)，再根據(jù)結(jié)果的正負(fù)號判斷（1）感應(yīng)電動勢e=blv，感應(yīng)電流i=i=0時(shí)v=0x= =1（m）（2）當(dāng)桿的速度取最大速度v0時(shí)，桿上有最大電流im=安培力f安=bil=0.02（n）向右運(yùn)動時(shí)f+f安=ma，得f=ma- f安=0.18（n），方向與x軸相反向左運(yùn)動時(shí)f- f安=ma，得f=ma+f安=0.22（n），方向與x軸相反（3）開始時(shí)v

11、=v0，f安=biml=f+f安=ma，f=ma- f安=ma- 當(dāng)v0< =10m/s時(shí)，f>0，方向與x軸相反當(dāng)v0> =10m/s時(shí)，f<0，方向與x軸相同（2）導(dǎo)軌變形導(dǎo)致s變化常常根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律解題，如例4.圖4例4 （2001·上海·22）如圖4所示，半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)有均勻磁場，磁感強(qiáng)度為b0.2t，磁場方向垂直紙面向里，半徑為b的金屬圓環(huán)與磁場同心地放置，磁場與環(huán)面垂直，其中a0.4m，b0.6m，金屬環(huán)上分別接有燈l1、l2，兩燈的電阻均為r02，一金屬棒mn與金屬環(huán)接觸良好，棒與環(huán)的電阻均忽略不計(jì)（1）若棒以v05m/s

12、的速率在環(huán)上向右勻速滑動，求棒滑過圓環(huán)直徑oo的瞬時(shí)（如圖所示），mn中的電動勢和流過燈l1的電流（2）撤去中間的金屬棒mn將右面的半圓環(huán)ol2o以oo為軸向上翻轉(zhuǎn)90º，若此時(shí)磁場隨時(shí)間均勻變化，其變化率為（t/s），求l1的功率解析：（1）當(dāng)棒滑過圓環(huán)直徑oo的瞬時(shí)，棒的有效長度為2a，燈l1、l2是并聯(lián)的e1b2av0.2×0.8×5 0.8（v）（a）（2）將右面的半圓環(huán)ol2o以oo為軸向上翻轉(zhuǎn)90º后，圓環(huán)的有效面積為半圓其中b隨時(shí)間是均勻變化的，注意此時(shí)燈l1、l2是串聯(lián)的 （v）1.28×102（w）另外還可在s不規(guī)則變化上做文

13、章，如金屬棒旋轉(zhuǎn)、導(dǎo)軌呈三角形等等3. “雙桿+導(dǎo)軌”模型例5足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌e f，p q水平放置，質(zhì)量為m電阻為r的相同金屬棒ab，cd與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，磁感強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面向里如圖5所示?，F(xiàn)用恒力f作用于ab棒上，使它向右運(yùn)動。則圖5 efpqdbcafa安培力對cd做正功使它向右加速運(yùn)動b外力f做的功等于克服ab棒上安培力的功c外力作的功等于回路產(chǎn)生的總熱量和系統(tǒng)的動能d回路電動勢先增后減兩棒共速時(shí)為零解析：開始時(shí)ab棒在外力f作用下向右切割磁感線產(chǎn)生電磁感應(yīng)，ab棒相當(dāng)于電源，由右手定則，b端電勢較低，a端電勢高，形成由bacdb逆時(shí)轉(zhuǎn)電流。電流通過ab和cd棒

14、，由左手定則，ab棒安培力向左，做負(fù)功，阻礙速度增加；cd棒安培力向右，做正功，使cd棒動能增加速度增大。外力除克服ab棒上安培力做功外，還要對cd棒做正功。故a對b錯。由于外力和安培力的作用，開始時(shí)ab棒加速度大于cd棒，兩者速度差增大，回路感應(yīng)電動勢增大，感應(yīng)電流增大，使ab加速度減小，cd加速度增大，當(dāng)兩棒加速度相等時(shí)速度差最大，回路感應(yīng)電動勢最大。以后ab和cd棒在外力f作用下以相同加速度運(yùn)動，速度差恒定不可能共速，電動勢恒定不會等于零，故d錯。根據(jù)能量守恒整個過程外力做的功等于回路產(chǎn)生的總熱量和系統(tǒng)的動能，c項(xiàng)正確。所以正確選項(xiàng)為a、c。題后：電磁感應(yīng)中的金屬棒導(dǎo)軌問題，可以用力學(xué)中

15、滑塊a在滑板b上運(yùn)動作為物理模型。滑板b與地面光滑接觸，摩擦力分別對a、b做負(fù)功和正功,使部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，相當(dāng)于雙金屬棒情景。若b固定于地面，則類似單金屬棒。摩擦力做的總功等于系統(tǒng)內(nèi)能增量，相當(dāng)于安培力做功的情景。rb圖6s例6如圖6相距為l的兩光滑平行導(dǎo)軌，平行放置在傾角為的斜面上，導(dǎo)軌的右端接有電阻r（軌道電阻不計(jì)），斜面處在一勻強(qiáng)磁場b中，磁場方向垂直于斜面向上，質(zhì)量為m，電阻為2r的金屬棒ab放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好，由靜止釋放，下滑距離s后速度最大，則a下滑過程電阻r消耗的最大功率為；b下滑過程電阻r消耗的最大功率為；c下滑過程安培力做功；d下滑過程安培力做功 。解析：ab棒

16、下滑過程受重力，軌道支持力和安培力作用。加速度a=0時(shí)速度最大，感應(yīng)電動勢最大，電路中電流最大，電阻消耗熱功率最大。當(dāng)a=0，有 mgsin=bil= ， 。 ；回路總功率 ，電阻消耗功率 。所以a答案正確，b為回路總功率。在下滑過程中，安培力 是變力，不能用功定義式 計(jì)算。也不等于系統(tǒng)動能 。故c錯?？紤]到安培力做功等于系統(tǒng)（回路）產(chǎn)生總熱量，由能量守恒，重力勢能轉(zhuǎn)化為棒動能和系統(tǒng)內(nèi)能 mgh = + q 選項(xiàng)d正確。所以本題正確答案為a. d題后：猶如滑動摩擦力對系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)內(nèi)能增加一樣，安培力做功也使系統(tǒng)內(nèi)能增加。當(dāng)電源內(nèi)阻不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)熱量就是外電路電阻上熱量。否則外電阻熱量只是總熱

17、量的一部分。其次，安培力與摩擦力又有區(qū)別?；瑒幽Σ亮?與壓力成正比，通常表現(xiàn)為恒力。而安培力 正比于速度v，通常為變力。因此，求安培力做的功，除非恒力，一般不能用功的定義式計(jì)算，這時(shí)用能量知識（如動能定理或能量守恒）可方便求出或，再依兩者關(guān)系按題意求出答案。圖7例7兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為l，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路。如圖7所示，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m電阻皆為r，回路中其余部分的電阻可不計(jì)。在整個導(dǎo)軌面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁場強(qiáng)度為b。設(shè)兩導(dǎo)棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行。開始時(shí)，棒cd靜止，棒ab有指向cd的速度v0如圖。若兩根

18、導(dǎo)體棒在運(yùn)動中始終不接觸。求（1）在運(yùn)動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少？（2）當(dāng)棒ab的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時(shí)，棒cd的加速度時(shí)多少？解析：開始時(shí)ab向cd靠近，穿過回路的磁通量在減少，回路發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象，電流方向由楞次定律可判斷從abdca。于是電路中產(chǎn)生焦耳楞次熱。同時(shí)感應(yīng)電流產(chǎn)生的安培力對ab棒作負(fù)功使速度減小，對cd棒做正功使其向右加速運(yùn)動。隨著cd棒的運(yùn)動，ab、cd相對運(yùn)動速度減小，感應(yīng)電流 也減小，當(dāng)兩棒共速時(shí)，回路磁通量不變，感應(yīng)電動勢消失，電流消失，至此回路產(chǎn)生熱量最多。按上述分析，取兩棒為系統(tǒng)，其運(yùn)動過程等效于力學(xué)中光滑水平面上滑板滑塊模型。因兩棒長度相等安培力等值反向合力為

19、零，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能的減少量即為系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量。其次只需求出vab=3v0/4時(shí)ab棒所受安培力即可由牛頓定律求出加速度a 。取ab棒v0為初態(tài)，共速v為末態(tài)，由動量守恒有 mv0=2mv ， v=v0/2 。再由能量守恒，求得整個過程產(chǎn)生熱量 。取初態(tài)v0及ab速度v=3v0/4為末態(tài)，由動量守恒，可求cd棒速度。mv0=3mv0/4 + mv v=v0/4 。 回路感應(yīng)電動勢： ， 回路電流： ， cd受安培力： ， 由牛頓定律得加速度： 。三、預(yù)測如火如荼的新課程改革體現(xiàn)了培養(yǎng)高素質(zhì)人才的基本框架從“知識與技能”、“過程與方法”、“情感態(tài)度與價(jià)值觀”三個方面設(shè)計(jì)課程目標(biāo)、課程的內(nèi)容

20、、結(jié)構(gòu)和實(shí)施機(jī)制高考的命題趨勢也必將體現(xiàn)新課改的精神根據(jù)考綱要求掌握的知識，“桿+導(dǎo)軌”模型試題往往以選擇題和計(jì)算題的題型出現(xiàn)，且多以計(jì)算題的面目出現(xiàn)，高考命題也不出乎以上所介紹的四個模型轉(zhuǎn)換的角度，將多個命題變化點(diǎn)進(jìn)行不同的組合，從而能命出角度多樣的新題(m/s)(n)04812816圖8而多個命題變化點(diǎn)的組合，凸現(xiàn)了對學(xué)生能力的考查除考查學(xué)生的理解、分析、推理、綜合、計(jì)算等能力外，試題常常還可以借助函數(shù)圖象，考查學(xué)生的讀圖、畫圖能力，以計(jì)算題的題型加強(qiáng)對學(xué)生進(jìn)行了這方面的考查例8（2004·上海·22）如圖8所示，水平面上兩根足夠長的金屬導(dǎo)軌平行固定放置，間距為l，一端通過導(dǎo)線與阻值為r的電阻連接；導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，金屬桿與導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)；均勻磁場豎直向下，用與導(dǎo)軌平行的恒定拉力f作用在金屬桿上，桿最終將做勻速運(yùn)動當(dāng)改變拉力的大小時(shí)，相對應(yīng)的勻速運(yùn)動速度v也會變化，v和f的關(guān)系如右下圖.（取重力加速度g=10 m/s2）（1）金屬桿在勻速運(yùn)動之前做什么運(yùn)動？（2）若m=0.5 kg，l=0.5 m，r=0.5，磁感應(yīng)強(qiáng)度b為多大？（3）由v-f圖線的截距可求得什么物理量？其值為多少？解析：（1）感應(yīng)電動勢感應(yīng)電