高中數(shù)學(xué)競賽定理

1、重 心 定義：重心是三角形三邊中線的交點， 可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。 已知：abc中，d為bc中點，e為ac中點，ad與be交于o，co延長線交ab于f。求證：f為ab中點。 證明：根據(jù)燕尾定理，saob=saoc，又saob=sboc，saoc=sboc，再應(yīng)用燕尾定理即得af=bf，命題得證。 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。 5、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐

2、標(biāo)為()/3,()/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：()/3 縱坐標(biāo)：()/3 豎坐標(biāo)：（）/3 外 心 定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。 外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點，該點叫做三角形的外心。 外心性質(zhì)：三角形的外心是三邊中垂線的交點,且這點到三角形三頂點的距離相等。 設(shè),分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的數(shù)量積 =，=，=；c=+ 重心坐標(biāo)：( (）/2c，()/2c，()/2c ) 垂 心 定義：三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。 性質(zhì)： 銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部 直角三角形垂心在三角形直角頂點 鈍角三角形垂心在三角形外部設(shè),分別是三角形

3、三個頂點連向另外兩個頂點向量的數(shù)量積。 =，=，=；c=+垂心坐標(biāo)：( /c，/c，/c ) 九點圓 三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點九點共圓，這個圓為九點圓 或歐拉圓 或 費爾巴哈圓. ） 九點圓性質(zhì)： 1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; 即：=2：1 2.九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點; 3.三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切設(shè),分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的數(shù)量積=，=，=；c=+垂心坐標(biāo)：( ()/4c，()/4c，()/4c )歐拉線 定義：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心

4、，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。 歐拉線定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。歐拉線的性質(zhì)： 1、在任意三角形中，以上四點共線。 2、歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。歐拉線的證法1如圖 作abc的外接圓，連結(jié)并延長bo，交外接圓于點d。連結(jié)ad、cd、ah、ch、oh。作中線am，設(shè)am交oh于點g bd是直徑 bad、bcd是直角 adab，dcbc chab，ahbc da/ch，dc/ah 四邊形adch是平行四邊形 ah=dc m是bc的中點，o是bd的中點 om= dc om=

5、ah om/ah omg hag = g是abc的重心 g與g重合 o、g、h三點在同一條直線上 歐拉線的證法2 如圖 設(shè)h,g,o,分別為abc的垂心、重心、外心。連接ag并延長交bc于d, 則可知d為bc中點。 連接od o為外心odbc連接ah并延長交bc于eh為垂心 aebcod/ae，有oda=ead。由于g為重心，則ga:gd=2:1。 連接cg并延長交ba于f則可知f為ab中點同理，of/cmofc=mcf 連接fdfd/ac,df:ac=1:2dfc=fca，fda=cad又ofc=mcf，oda=ead相減可得 ofd=hca,odf=eacofdhcaod:ha=df:ac

6、=1:2又ga:gd=2:1od:ha=ga:gd=2:1 又oda=eadogdhgaogd=agh又連接ag并延長agh+dgh=180°ogd+dgh=180°即o、g、h三點共線歐拉線的證法3 設(shè)h,g,o,分別為abc的垂心、重心、外心. 則oh=oa+ob+oc og=（oa+ob+oc）/3， 3 ×og=oh o、g、h三點共線 (注：oh, oa, ob , oc ,og 均為向量）費馬點 定義：在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。費馬點的判定 （1）對于任意三角形abc，若三角形內(nèi)或三角形上某一點e,若ea+eb+

7、ec有最小值,則e為費馬點。 （2）如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。費馬點性質(zhì)： （1）平面內(nèi)一點p到abc三頂點的之和為pa+pb+pc，當(dāng)點p為費馬點時，距離之和最小。 （2）.特殊三角形中，三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以 ab,bc,ca，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形abc1,acb1,bca1,然后連接aa1,bb1,cc1,則三線交于一點p,則點p就是所求的費馬點. (3).特殊三角形中，若三角形有一內(nèi)角大于或等于12

8、0度,則此鈍角的頂點就是費馬點 (4)特殊三角形中，當(dāng)abc為等邊三角形時,此時外心與費馬點重合證明(1)費馬點對邊的張角為120度 在和中 bc=,ba=,=b+=, 和是全等三角形 pcb= 同理可得cbp= 由+=，得pcb+cbp=, cpb= 同理,apb=，apc= (2) pa+pb+pc= 將bpc以點b為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)與重合，連結(jié)pd，則pdb為等邊三角形 bpd= 又bpa= 因此a、p、d三點在同一直線上 又cpb=，pdb=，= a、p、d、四點在同一直線上故pa+pb+pc=(3) pa+pb+pc最短 在abc內(nèi)任意取一點m（不與點p重合），連結(jié)am、bm、cm，將b

9、mc以點b為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)與重合，連結(jié)am、gm、(同上)，則<a1g+gm+ma=am+bm+cm.所以費馬點到三個頂點a、b、c的距離最短。 梅涅勞斯定理 內(nèi)容：如果一條直線與abc的三邊ab、bc、ca或其延長線交于f、d、e點，那么××=1。 或 設(shè)x、y、z分別在abc的bc、ca、ab所在直線上，則x、y、z共線的充要條件是××=1證明一：如圖 過點a作agbc交df的延長線于g,則= ,= , =。 三式相乘得：××=××=1證明二： 過點c作cpdf交ab于p，則=，= ××

10、=××=1 它的逆定理也成立：若有三點f、d、e分別在abc的邊ab、bc、ca或其延長線上，且滿足××=1，則f、d、e三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。證明三：過abc三點向三邊引垂線aa'bb'cc'， ad：db=aa'：bb'， be：ec=bb'：cc'， cf：fa=cc'：aa' ××=1在abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點，又分比是=bl/lc、=cm/ma、=an/nb。于是l、m、n三點共線的充要條件是=1

11、。第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若e，f，d三點共線，則××=1即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積 第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點o，且edf共線，則××=1。(o不與點a、b、c重合)塞瓦定理內(nèi)容:在abc內(nèi)任取一點o直線ao、bo、co分別交對邊于d、e、f，則 (bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 證法:（）本題可利用梅涅勞斯定理證明： adc被直線boe所截 (cb/bd)*(do/oa)*(ae/ec)=1 而由abd被直線cof所截 (bc/cd)*(do/oa)*(af/fb)=1 ÷:即得：

12、(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 （）也可以利用面積關(guān)系證明 bd/dc=sabd/sacd=sbod/scod =(sabd-sbod)/(sacd-scod)=saob/saoc 同理 ce/ea=sboc/ saob af/fb=saoc/sboc ××得bd/dc*ce/ea*af/fb=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點: 設(shè)三邊ab、bc、ac的垂足分別為d、e、f， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，(ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=(cd*ctga）/(cd*ctgb）*(ae*ctgb)/(ae*ctgc)*(bf*ctgc)/

13、(bf*ctga)=1，三條高cd、ae、bf交于一點。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 d , e分別為bc , ac 中點 bd=dc ae=ec 所以bd/dc=1 ce/ea=1 af=bf af/fb=1 af=fb 三角形三條中線交于一點 可用定比分點來定義塞瓦定理： 在abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點，又分比是=bl/lc、=cm/ma、=an/nb。于是al、bm、cn三線交于一點的充要條件是=1。塞瓦定理推論: 1.設(shè)e是abd內(nèi)任意一點，ae、be、de分別交對邊于c、g、f， 則(bd/bc)*(ce/ae

14、)*(ga/dg)=1 (bc/cd)*(dg/ga)*(af/fb)=1，（塞瓦定理） (bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=k（k為未知參數(shù)）且(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=k（k為未知參數(shù)） 又由梅涅勞斯定理得：(bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=1 (bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 2.塞瓦定理角元形式 ad,be,cf交于一點的充分必要條件是 (sinbad/sindac)*(sinacf/sinfcb)*(sincbe/sineba)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對于圓周上順次6點a,b,c,d,e,f，直

15、線ad,be,cf交于一點的充分必要條件是： (ab/bc)*(cd/de)*(ef/fa)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點 設(shè)三邊ab、bc、ac的垂足分別為d、e、f， 根據(jù)塞瓦定理逆定 理，(ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=(cd*ctga/(cd*ctgb）*(ae*ctgb)/(ae*ctgc)*(bf*ctgc)/(ae*ctgb)=1， 三條高cd、ae、bf交于一點。燕尾定理 燕尾定理，因此圖類似燕尾而得名，是一個關(guān)于三角形的定理（如圖abc，d、e、f為bc、ca、ab 上的點，ad、b

16、e、cf 交于o點） sabc中，saob：saoc=sbdo：scdo=bd：cd 同理，saoc：sboc=safo：sbfo=af：bf sboc：sboa=sceo：saeo=ec：ea證法1 下面的是第一種方法：相似三角形法 已知：abc的兩條中線ad、cf相交于點o，連接并延長bo，交ac于點e。 求證：ae=ce 證明：如圖1，過點o作mnbc，交ab于點m，交ac于點n； 過點o作pqab，交bc于點p，交ac于點q。 mnbc amoabd，anoacd mo：bd=ao：ad，no：cd=ao：ad mo：bd=no：cd ad是abc的一條中線 bd=cd mo=no p

17、qab cpocbf，cqocaf po：bf=co：cf，qo：af=co：cf po：bf=qo：af cf是abc的一條中線 af=bf po=qo mo=no，mop=noq，po=qo mopnoq(sas) mpo=nqo mpac（內(nèi)錯角相等，兩條直線平行） bmrbae（r為mp與bo的交點），bprbce mr：ae=br：be，pr：ce=br：be mr：ae=pr：ce mnbc，pqab 四邊形bmop是平行四邊形 mr=pr（平行四邊形的對角線互相平分） ae=ce 命題得證。 證法2 下面的是第二種方法：面積法 已知：abc的兩條中線ad、cf相交于點o，連接并延

18、長bo，交ac于點e。 求證：ae=ce 證明：如圖2 點d是bc的中點，點f是ab的中點 scad = sbad，scod = sbod scad - scod = sbad - sbod 即saoc = saob sacf = sbcf，saof = sbof sacf - saof = sbcf - sbof 即saoc = sboc saob = sboc saoe:saob=oe:ob,scoe:sboc=oe:ob saoe:saob= scoe:sboc saob = sboc saoe = scoe ae=ce 命題得證。 證法3 下面的是第三種方法：中位線法 已知：abc的兩

19、條中線ad、cf相交于點o，連接并延長bo，交ac于點e。 求證：ae=ce 證明：如圖2，延長oe到點g，使og=ob og=ob 點o是bg的中點 又點d是bc的中點 od是bgc的一條中位線 adcg（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半） 點o是bg的中點，點f是ab的中點 of是bga的一條中位線 cfag adcg，cfag 四邊形aocg是平行四邊形 ac、og互相平分 ae=ce 命題得證。 證法四： 因為abco是凹四邊形，根據(jù)共邊比例定理，命題得證托勒密定理 定理的內(nèi)容：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩

20、形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和) 證明 一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形abcd中，作abe使bae=cad abe= acd abeacd be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd (1) 而bac=dae，acb=ade abcaed相似. bc/ed=ac/ad即ed·ac=bc·ad (2) (1)+(2),得 ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc 又be+edbd （僅在四邊形abcd是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、

21、d分別表示四邊形頂點a、b、c、d的復(fù)數(shù)，則ab、cd、ad、bc、ac、bd的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d) 。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點共圓等價。 四點不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 設(shè)abcd是圓內(nèi)接四邊形。 在弦bc上，圓周角bac = bdc，而在ab上，adb = acb。 在ac上取一點k，使得a

22、bk = cbd； abk + cbk = abc = cbd + abd，所以cbk = abd。 因此abk與dbc相似 同理也有abd kbc 因此ak/ab = cd/bd，且ck/bc = da/bd 因此ak·bd = ab·cd，且ck·bd = bc·da 兩式相加，得(ak+ck)·bd = ab·cd + bc·da 但ak+ck = ac，因此ac·bd = ab·cd + bc·da。證畢 三、已知：圓內(nèi)接四邊形abcd 求證：ac·bdab·cdad

23、·bc 證明：如圖，過c作cp交bd于p，使1=2，又3=4 acdbcp ac：bc=ad：bp，ac·bp=ad·bc 又acb=dcp，5=6， acbdcp ac：cd=ab：dp，ac·dp=ab·cd 得 ac(bpdp)=ab·cdad·bc 即ac·bd=ab·cdad·bc推論 1.任意凸四邊形abcd，必有ac·bdab·cd+ad·bc，當(dāng)且僅當(dāng)abcd四點共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角

24、線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式ac·bd|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ab·cd+bc·ad 注意： 1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點共圓等價。 2.四點不限于同一平面。 西姆松定理 西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）。 西姆松逆定理：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 性質(zhì)： （1）稱三角形的垂心為h。西姆松