特殊四邊形動點問題的解題方法圖解法

1、特殊四邊形動點問題的解題方法圖解法區(qū)鐵基摘要：圖解法數(shù)學(xué)思想依據(jù)是數(shù)形結(jié)合思想。它的應(yīng)用能使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。特殊四邊形的幾何問題，很多困難源于問題中的可動點。如何合理運用各動點之間的關(guān)系，同學(xué)們往往缺乏思路，常常導(dǎo)致思維混亂。實際上求解特殊四邊形的動點問題，關(guān)鍵是是利用圖解法抓住它運動中的某一瞬間，尋找合理的代數(shù)關(guān)系式，確定運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系，圖形位置關(guān)系，分類畫出符合題設(shè)條件的圖形進行討論，就能找到解決的途徑，有效避免思維混亂。本文試論從三個方面探究特殊四邊形動點問題的解題方法圖解法。以提高同學(xué)們的解題能力。關(guān)鍵詞：圖解法；動態(tài)圖形；靜態(tài)圖形；化“動”為“靜”。一、單動

2、點問題“數(shù)學(xué)是思維科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)”1。圖解法數(shù)學(xué)思想依據(jù)是數(shù)形結(jié)合思想。而特殊四邊形的幾何問題，很多困難源于問題中的可動點。如何合理運用各動點之間的關(guān)系，同學(xué)們往往缺乏思路，常常導(dǎo)致思維混亂。實際上求解特殊四邊形的動點問題，關(guān)鍵是要充分發(fā)揮空間想象的能力，不要被“動”所迷惑，而是要“動”中求“靜”，化“動”為“靜”，抓住它運動中的某一瞬間，尋找合理的代數(shù)關(guān)系式，確定運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系，圖形位置關(guān)系，通過點動帶線動，利用圖解法，分類畫出符合題設(shè)條件的圖形進行求解，就能找到解決的途徑，有效避免思維混亂。如圖1所示，已知 abcd中，ad=4cm，cd=6cm，a=450，點p

3、從點a沿射線ab運動，速度為1cm/s，若設(shè)運動時間為t(s)，連接pc，當(dāng)t為何值時pbc為等腰三解形？本題以平行四邊形為背景，結(jié)合特殊角，等腰三角形，勾股定理等知識編制而成，當(dāng)動點p沿射線ab運動時，探求等腰三角形的幾種情況。通常人們都是在給出的原始動態(tài)圖形中進行求解。同學(xué)們往往缺乏思路, 導(dǎo)致運算混亂。而我是利用圖解法，通過點p動帶線動，抓住等腰三角形的腰與底的分類從動態(tài)圖形中畫出四種不同的靜態(tài)圖形進行求解，化“動”為“靜”。解：1， 如圖2所示，當(dāng)bp=bc時pbc為等腰三角形則：6t=4 t=2(s) 2， 如圖3所示，當(dāng)bp=bc時pbc為等腰三角形則：t6=4 t=10(s) 3

4、， 如圖4所示，當(dāng)cb=cp時pbc為等腰三角形 abcd cbp=a=450 ,bc=ad=4cb=cp bpc=cbp=450 bcp=1800-450-450=900 在rtbcp中 4， 如圖5所示，當(dāng)pb=pc時pbc為等腰三角形 abcd cbp=a=450 ,bc=ad=4 pb=pc bcp=cbp=450 bpc=1800-450-450=900在rtbpc中設(shè)pb=pc=x, 則x2+x2=42 綜上所述當(dāng)t=2(s)或t=10(s)或t=(6+4)(s)或t=(6+2)(s)時pbc為等腰三角形。動態(tài)幾何題,是指以幾何知識和幾何圖形為背景,滲透運動變化觀點的一類試題，揭示

5、了“運動”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系，以及在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，通過幾何圖形的運動變化，使學(xué)生經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的重要題型，解決這類問題的關(guān)鍵是善于探索動點的運動特點和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動，從一般位置與特殊位置的比較中發(fā)現(xiàn)解題的方法和思路，或根據(jù)運動過程中的特殊位置,進行合理的分類2。二、雙動點問題如圖6所示， oabc的頂點o為坐標(biāo)原點，a點在x軸正半軸上，coa=450，oa=4cm，oc= cm,點p從c點出發(fā)沿cb方向，以1cm/s的速度向點b運動，點q從a

6、點同時出發(fā)沿ao方向，以2cm/s的速度向原點o運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動。1，求點c，b的坐標(biāo)2，從運動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形ocpq是平行四邊形，3，在點p,q運動的過程中，四邊形ocpq有可能成為直角梯形嗎？若能，求出運動時間，若不能，請說明理由，本題同樣也是以平行四邊形為背景，但它是以雙動點為載體的動點問題，我是在2010-2011學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試題中第23題改編而成的一道題。在平時的教學(xué)中，開始我也是在題目給出的原始動態(tài)圖形中進行解題講解，發(fā)現(xiàn)效果很差，特別是雙動點問題，學(xué)生不理解。后來我同樣也是利用圖解法，根據(jù)平行四邊形，

7、直角梯形的特征與性質(zhì)分類畫出以雙動點p，q為邊的平行四邊形和直角梯形進行講解效果很好。解：從動態(tài)圖形中分類畫出兩種靜態(tài)圖形進行討論：1，如圖6所示，過點c作ce軸于點e在rtoce中，coa45°，oce90°45°45°， eo=ec 設(shè)eo= x 由勾股定理得， 解得x1=1 x2=1（舍去） c點的坐標(biāo)為c（1，1），cboa，b點的坐標(biāo)為b（5，1）；2，如圖7所示，cpoq，要使四邊形ocpq是平行四邊形，只需cpoq，而oqoaaq設(shè)經(jīng)過t秒后，四邊形ocpq是平行四邊形，則有t42t，解得t（秒）即當(dāng)運動開始后，經(jīng)過秒時，四邊形ocpq是平

8、行四邊形；，可以如圖8所示，cpoq，要使四邊形是直角梯形，只需pq軸，即點p的橫坐標(biāo)與點q的橫坐標(biāo)相同即可點p的橫坐標(biāo)為t +1，點q的橫坐標(biāo)為42t，得t +142t，解得t1（秒），所以當(dāng)開始運動到1秒時，四邊形ocpq是直角梯形；三、多動點問題有一些比較抽象的題目，學(xué)生感到無從下手，原因是學(xué)生缺乏畫圖幫助解題的意識，如果根據(jù)題意轉(zhuǎn)換成輔助圖，就會化難為易，使問題直觀化和形象化，降低學(xué)生思考問題的難度3。如圖9所示，在矩形abcd中，bc=24cm，p，q，m，n分別從a，b，c，d出發(fā)沿ad，bc，cb，da方向在矩形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止

9、已知在相同時間內(nèi)，若bq=xcm(x0)，則ap=2xcm，cm=3xcm，dn=x2cm1，當(dāng)x為何值時，以pq，mn為兩邊，以矩形的邊（ad或bc）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；2，當(dāng)x 為何值時，以p，q，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形；（結(jié)果用根號表示）3，以p，q，m，n為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由本題我是從2009年淄博市中考題中最后一道題的第25題改編而成。它是以矩形為背景，4個動點為載體的動點問題。第（1）小題的必須條件是點p，n重合且點q，m不重合，此時ap+nd=ad，即2x+x2=24cm，bq+mcbc，即x+3x24cm，或

10、者點q，m重合點p，n不重合，此時ap+ndad，即，bq+mc=bc，即x+3x=24cm，所以可以根椐這兩種情況來求解x的值。而第2小題是要把p，n兩點分兩種情況討論：（1）點p在點n的左側(cè)，（2）點p在點n的右側(cè)。第3小題是利用等腰梯形同一底上的兩條高的特征進行討論判斷。同樣如果單獨利用題中給出的原始圖形進行解題講解，學(xué)生基本不理解，感覺是非常難的一道題，但我還是利用圖解法，分類畫出符合題設(shè)條件的相關(guān)圖形進行解題講解，化“動”為“靜”，學(xué)生很樂意接受，效果也很好。特別是第3問，如果不分類畫出相關(guān)圖形，學(xué)生根本不明白。解：從動態(tài)圖形中分類畫出五種靜態(tài)圖形進行討論：1，當(dāng)點p與點n重合或點q

11、與點m重合時，以pq，mn為兩邊，以矩形的邊（ad或bc）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形（1）如圖10所示，當(dāng)點p與點n重合時，由,得因為bq+cm=x+3x=4x=1624，此時點q與點m不重合所以x=4符合題意 （2）當(dāng)點q與點m重合時， x+3x=24 x=6此時，不符合題意 故點q與點m不能重合所以所求x的值為4 2，由1知，點q 只能在點m的左側(cè)，（1）如圖11所示，當(dāng)點p在點n的左側(cè)時，由，解得當(dāng)x=2時四邊形pqmn是平行四邊形 （2）如圖12所示，當(dāng)點p在點n的右側(cè)時，由， 解得當(dāng)時四邊形nqmp是平行四邊形所以當(dāng)時，以p，q，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形3，如圖13所

12、示，過點q，m分別作ad的垂線，垂足分別為點e，f由于2xx， 所以點e一定在點p的左側(cè)如圖14所示，若以p，q，m，n為頂點的四邊形是等腰梯形， 則點f一定在點n的右側(cè)，且pe=nf，即 解得由于當(dāng)x=2時， 以p，q，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形，所以以p，q，m，n為頂點的四邊形不能為等腰梯形 總之特殊四邊形動點問題，無論是單動點，雙動點，還是多動點，利用圖解法，善于探索動點的運動特點和規(guī)律，分類畫出符合題設(shè)條件的圖形進行討論。在分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置），尋找合理的代數(shù)關(guān)系式，確定運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系，圖形位置關(guān)系，就能找到解決的途徑，有效避免