從除法豎式到符號語言的教學(xué)思考

1、從“除法豎式”到“符號語言”的教學(xué)思考【文章摘要】本文源于對一位數(shù)除兩位數(shù)筆算除法第一課時中，如何提高學(xué)生對豎式的認(rèn)同感和認(rèn)知度的教學(xué)討論。在對“豎式是什么”進(jìn)行深層次的解析與思考中，我們達(dá)成了數(shù)學(xué)豎式是一種“符號語言數(shù)學(xué)的定義、定理中用文字來描述的稱之為文字語言，用數(shù)、字母、運(yùn)算符號等來表示的語言稱之為符號語言，用表示三角形，等稱之為圖形語言?！钡墓沧R，開始思考要讓學(xué)生在豎式學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷用“符號語言”對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的進(jìn)行濃縮和刻畫的過程。基于這樣的理念，我們對于教材中例題的教學(xué)順序，“先呈現(xiàn)48÷4”和“先呈現(xiàn)52÷4”進(jìn)行了調(diào)整與反思，試圖尋找促進(jìn)學(xué)生“符號語言”能力發(fā)展的

2、最佳教學(xué)順序。本文真實(shí)記錄這次教學(xué)研究的全過程，其中有我們的教學(xué)思考、也有我們的課堂實(shí)踐，更有我們透視現(xiàn)象后的理性反思，收獲和成長自在不言之中?！娟P(guān)鍵詞】符號語言 除法 豎式 教學(xué)順序【源起：由一個教學(xué)尷尬引出的話題】在小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排中，關(guān)于“除法運(yùn)算”的內(nèi)容，基本劃分成3個知識組塊，它們分別是“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法”、“除數(shù)是兩位數(shù)的整數(shù)除法”、“小數(shù)除法”。而“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法”又是另兩個知識組塊的基礎(chǔ)，這一內(nèi)容的知識基礎(chǔ)是表內(nèi)除法（有余數(shù)除法）的筆算、一位數(shù)除兩、三位數(shù)的口算。依據(jù)教材意圖，本課要在原有基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)從“表內(nèi)除法”到“被除數(shù)是兩位數(shù)，除數(shù)是一位數(shù)，商是兩位數(shù)（被除數(shù)

3、十位沒有余數(shù)或有余數(shù)）”的突破。據(jù)相關(guān)調(diào)查統(tǒng)計顯示，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時，一般存在以下困難：（1）難以理解和講清算理。（2）學(xué)生算法掌握基本停留在對算法程序的記憶上。（3）學(xué)生對算法學(xué)習(xí)的認(rèn)識存在思維偏差。有意義的教學(xué)研究應(yīng)該源于真實(shí)的教學(xué)困惑，源于真實(shí)的課堂。在一次教學(xué)自我診斷中，老師們對于除數(shù)是一位數(shù)除法的筆算第一課時進(jìn)行了教學(xué)解析，并由此構(gòu)建出一個由從尷尬走入沉思，從沉思走向?qū)嵺`，再從實(shí)踐走向思辨的教研話題發(fā) 現(xiàn) 的 震 動除法豎式教學(xué)，想說愛你不容易！在我們的教學(xué)研討中，一位教過三年級的老師回憶了這樣一幕尷尬：學(xué)生們在嘗試用豎式進(jìn)行計算48÷4時，出現(xiàn)了以下兩種寫法： 當(dāng)教師

4、引導(dǎo)學(xué)生對兩種豎式進(jìn)行評價時，同學(xué)們更多表示出是對寫法二的支持，許多同學(xué)認(rèn)為寫法一太復(fù)雜、沒必要。其后的過程，便是老師極其痛苦與艱難地“說服”學(xué)生用第一種寫法，并細(xì)致分析豎式、反復(fù)強(qiáng)調(diào)豎式書寫的格式和順序，但事與愿違，“會算”掩蓋了“理解”，結(jié)果依然有不少學(xué)生“將葫蘆畫成了瓢”。教師只能采取“頭痛醫(yī)頭”、“堤內(nèi)損失堤外補(bǔ)”等方式進(jìn)行高耗低效的補(bǔ)救，用“題海戰(zhàn)術(shù)”讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，直至掌握。繼后的教學(xué)討論中，我們了解到許多教過這一內(nèi)容的老師都在此教學(xué)中有著“切膚之痛”。失敗是一種經(jīng)歷，它并不可怕，關(guān)鍵是要學(xué)會反思自己的經(jīng)歷，尋找失敗的原因。以老師們的若干次失敗的實(shí)踐與思考作為研究基礎(chǔ)，我們在教研組

5、進(jìn)行了深層次的思辨認(rèn) 同 的 舒 暢尋求走出“困境”的“解徑”針對老師們提出的幾個有爭議的問題，我們首先在教研組內(nèi)進(jìn)行了討論，并在某些問題上達(dá)成了共識。問題一：除法豎式到底是什么？我們的共識：除法豎式是一種數(shù)學(xué)的符號語言，具有計算與表達(dá)的雙重功能。在教學(xué)中，一部分教師對于豎式的教學(xué)，往往停留在將豎式當(dāng)作是一種格式，當(dāng)作是“一種規(guī)定”，簡單地“告訴”給學(xué)生，在這樣的教學(xué)中，豎式只起到了計算的作用，而沒有凸顯它的表達(dá)和顯示功能。曾問過一位語文老師：“豎式是什么？”他給了一個非常形象的解釋：“豎式就是數(shù)學(xué)的表達(dá)?！睆臄?shù)學(xué)的角度來理解“表達(dá)”兩字，應(yīng)該就是用符號化的語言來刻畫和濃縮數(shù)學(xué)現(xiàn)象，即以符號的

6、方式不斷簡化操作語言，并以符號與邏輯不斷克服自然語言中含糊不清的地方，同時以數(shù)學(xué)模型的方式不斷地擴(kuò)充自然語言的表達(dá)范圍，豎式應(yīng)該具有表達(dá)與計算兩種功能。問題二：豎式教學(xué)需要創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境嗎？我們的共識：需要。情境的最終作用是為學(xué)生符號思維的提升提供物質(zhì)準(zhǔn)備。具體情境是思維的支柱。情境和操作缺失了，學(xué)生的符號化過程就無法落實(shí)。本課教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生突破從“表內(nèi)除法商是一位數(shù)”到“商是兩位數(shù)”的豎式表達(dá)。除數(shù)是一位數(shù)的除法中所創(chuàng)設(shè)的植樹的數(shù)學(xué)情景，正是讓學(xué)生經(jīng)歷分兩次的過程，以便學(xué)生能從這樣的操作活動中抽象出數(shù)學(xué)模型，建立起操作活動、分步口算和除法豎式間的對應(yīng)聯(lián)系。借助現(xiàn)實(shí)情景去抽象數(shù)學(xué)模型，其最本

7、質(zhì)的目的在于，讓學(xué)生經(jīng)歷一個由圖到式，由式到圖的數(shù)學(xué)建模過程，在數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)符號相互融合和轉(zhuǎn)化中，促進(jìn)學(xué)生符號思維的真正提升。綜上所述，我們認(rèn)為在筆算除數(shù)是一位數(shù)的除法教學(xué)中，應(yīng)將除法豎式作為一種近似符號化語言，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中提煉數(shù)學(xué)現(xiàn)象、表達(dá)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，經(jīng)歷一個較為完整的數(shù)學(xué)抽象與符號表達(dá)的學(xué)習(xí)過程。取 舍 的 艱 難兩種教學(xué)順序誰主浮沉？然而，“符號語言”的學(xué)習(xí)需要有較高的抽象概括能力，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生需要經(jīng)歷一個從具體表象抽象符號化的過程，這對三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力來說，不是一件很容易的事。當(dāng)我們教學(xué)研究重新陷入困境時，老師們開始進(jìn)行更深層次的教學(xué)思考與更為大膽的教學(xué)假設(shè)。

8、四年級備課組的楊老師提出，可否改變例題的呈現(xiàn)順序，先探究52÷4，再學(xué)習(xí)48÷4，先呈現(xiàn)十位有余的情況，這樣更有利于學(xué)生根據(jù)自己的口算與實(shí)物操作的經(jīng)驗(yàn)，對豎式?jīng)]能表達(dá)出“第一次分后有余”提出質(zhì)疑，會讓學(xué)生產(chǎn)生正確的豎式表達(dá)的需要。我們的教學(xué)思考行進(jìn)在了很有可能發(fā)生重大變化的拐點(diǎn)上，可以向左走，也可以向右走。可能使我們的教學(xué)發(fā)展向上升，也可能導(dǎo)致我們的教學(xué)研究向下墜。兩種不同的教學(xué)順序，誰主浮沉？【實(shí)踐：從搖擺走向平衡】面對拐點(diǎn)，我們的選擇便是實(shí)踐，以學(xué)生的學(xué)習(xí)方式來討論教學(xué)方式，在實(shí)踐中尋找教學(xué)順序與學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)得以平衡的支點(diǎn)。1實(shí)踐班級與實(shí)施教師的選擇。我們首先對三年級各

9、班學(xué)生就學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力、算理的理解水平、前期的知識準(zhǔn)備進(jìn)行了前測，選擇兩個知識水平與學(xué)習(xí)能力相近的班級進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。同時，我們選擇了兩位教齡相同、教學(xué)水平也相當(dāng)?shù)那嗄昀蠋焻⑴c教學(xué)實(shí)施。2教學(xué)方法與環(huán)節(jié)的確定。異構(gòu)順序：教學(xué)實(shí)踐一先探究48÷4 教學(xué)實(shí)踐二先探究52÷4同構(gòu)環(huán)節(jié)：3教學(xué)評估方法的確定。以學(xué)論教，需要獲得學(xué)生學(xué)習(xí)的充分信息，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)感受和體驗(yàn)，才能圍繞學(xué)習(xí)活動和學(xué)習(xí)狀態(tài)，作出更有價值和意義的討論。為了保證對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維信息的全面收集，教研組組織了兩方面的教學(xué)評估力量對課堂進(jìn)行全面的觀察與測量。（1）現(xiàn)場觀察：組織教師觀察、全真記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)進(jìn)程中的語言、

10、行動，課后組織訪談小組對部分上課學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)訪談。（2）課堂測量：對學(xué)生解答兩個例題的正確率進(jìn)行統(tǒng)計，課后對兩班同學(xué)就相關(guān)例題進(jìn)行教學(xué)后測，以便我們更理性地梳理行為、效果，作出更理性的教學(xué)推測。行到水窮處，坐看云起時記錄柳暗花明的原生態(tài)課堂在教學(xué)現(xiàn)場記錄、傾聽孩子們最真實(shí)的聲音，不僅是孩子們在課堂中參與反思、對比中獲得了提高，作為教學(xué)研究者的我們也能從中得到更多的啟示。1算理體驗(yàn)從“隔岸觀火”到“入乎其內(nèi)”。掌握算法和探究算理是計算教學(xué)的兩大任務(wù)，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴于成立的數(shù)學(xué)原理。在“先探究48÷4”中，學(xué)生對于算理的理解相對比較牽強(qiáng)，在課后訪問中我們發(fā)現(xiàn)，仍有

11、許多孩子堅持認(rèn)為式 式即 也能表達(dá)“分兩次”的過程，而且書寫時更加簡便。而在“先探究52÷4”學(xué)生就不得不直面“第一次分后有余”的茫然。教學(xué)現(xiàn)場片斷一：比較下面兩個除法豎式，哪種更能合理地表現(xiàn)我們剛才口算與分小棒的過程？ 生1：從書寫上看，我覺得第一個豎式更簡便，我也能看懂。生2：但是我不能從第一個豎式中看到我們剛才分的過程。生3：我覺得第二個豎式第一層就是我們第一次分的情況，第二層就是我們第二次分的情況。生4：是的，每一層都能讓我們看出有多少，分走了多少，還有沒有分完。第二個豎式更能表達(dá)我們分的過程。生5：我支持第一個豎式，我可以把第一次分的過程記在心里呀，這樣也很簡便。生6：如果

12、用第一個豎式，如果我們要分?jǐn)?shù)量更多的物品，記在心里，就算不快了。 (課堂上估計大約有三十幾位同學(xué)認(rèn)可了第二個豎式的寫法，有十余位同學(xué)仍然堅持第一個豎式的寫法)片斷二：全課小結(jié)，對于我們今天所學(xué)習(xí)的筆算除法，你有什么想說的嗎？ 生1：我覺得這樣的除法比我們以前學(xué)過的除法麻煩，豎式很長。師：想一想，為什么麻煩了？生1：可能是因?yàn)槲覀冊谶@里分的時候要分兩次分。生2：我發(fā)現(xiàn)其實(shí)豎式與口算的過程是一樣的，只是表達(dá)的方式不一樣。生3：我還是覺得象、，甚至是更復(fù)雜的這些題都不需要列豎式，我直接通過口算就可以計算出結(jié)果。（許多學(xué)生頷首表示贊同）生4：但是，如果象52÷4這樣，十位分后有余，如果借助豎

13、式就能幫助我們準(zhǔn)確計算了。從上面的片斷中，我們不難看出， “先探究52÷4”，把學(xué)生拋置到一個有難度的思維空間，學(xué)生會調(diào)動內(nèi)需用更合理的途徑去發(fā)現(xiàn)算理、理解算理。雖然，當(dāng)學(xué)生要把更為抽象的豎式計算順序與形象具體的分小棒過程建立聯(lián)系，需要延長豎式展現(xiàn)與辨析的時間與過程，但磨刀不誤砍柴工，實(shí)踐證明，學(xué)生從豎式計算、口算與操作過程的整體感知出發(fā)，在整體觀察下實(shí)施局部分析，更有利于達(dá)成豎式計算算理與實(shí)物操作過程的正確綜合?！跋?、，甚至是更復(fù)雜的這些題都不需要列豎式！”學(xué)生們的“茅塞頓開”，不僅讓課堂上的學(xué)習(xí)伙伴“豁然開朗”，也讓在場的老師們“怦然心動”， 算法探究能改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度，讓學(xué)

14、生的算理理解成了一個過程，而不是簡單的記憶程序和按程序操作，即便方法遺忘了，也可以依籍算理的探究過程得以恢復(fù)，使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識更具可持續(xù)發(fā)展的張力，效果果然“妙不可言”。 2算法掌握從“食而不化”到“水到渠成”。除法豎式計算時是從高位除起，這和筆算加,減,乘法的計算順序是不同的。在“先探究48÷4”的口算與分小棒的過程中，先算“40÷4”可以，先算“8÷4”亦可以，不能凸顯出“從高位除起”的必要性。學(xué)生對于“從高位除起”的算法，只能囫圇吞棗，機(jī)械記憶，最終食而不化。而當(dāng)我們調(diào)換了教學(xué)順序后，這一尷尬很快得到了化解。教學(xué)現(xiàn)場片斷一：用分小棒來操作表示52

15、7;4。 平均每班種多少棵樹苗？教師請了一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度中等的學(xué)生。拿到52根小棒時，他首先拿出2根試圖分給同學(xué)，因?yàn)椴粔蚍?，他馬上就停住了，又打算從其中一捆中抽出2根再分。同學(xué)們在下面提示：“先分大捆的，先分大捆的，這樣方便！”他隨即頓悟似的拿出4捆，平均分給每個人，再把剩余的一捆打開與2根合起來，平均分給了4個人。片斷二：探討豎式計算中，先算十位上的“5÷4”，還是先算“12÷4”。生1：當(dāng)然是從十位算起，我們剛才分小棒就是這樣操作的。生2：是的，先分了大“頭”，再把剩下的幾個十與零散的合起來再分。生3：對，生活中我們分東西時，一般就是這樣分的，這樣分得快。所以先從十位

16、算起也更簡便，不容易算錯。相對于“先探究48÷4”的教學(xué)中，因?yàn)槭慌c個位都夠除，所以學(xué)生對于從“十位除起”只能以強(qiáng)調(diào)機(jī)械的方式記憶。而學(xué)生們在“先探究52÷4”的教學(xué)過程中，體現(xiàn)了個位不夠分的矛盾后，會更多表現(xiàn)出對于“先從高位除起”的認(rèn)同感。符號語言的抽象應(yīng)該是顯性操作活動和內(nèi)隱思維活動的統(tǒng)一。在對學(xué)生的思維軌跡進(jìn)行記錄與分析中，我們發(fā)現(xiàn)“先探究52÷4”，給學(xué)生符號化的過程增加了障礙，更有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)了算理直觀到算法抽象的正確遷移，使學(xué)生在操作中能有所思、有所感、有所悟、有所得。魚與熊掌，不能兼得？直面南轅北轍的尷尬數(shù)據(jù)為了我們的實(shí)踐數(shù)據(jù)更科學(xué)，我們對學(xué)生在課

17、堂上的兩次學(xué)習(xí)表現(xiàn)，即兩個例題呈現(xiàn)學(xué)生嘗試列豎式的情況進(jìn)行了記錄，并對兩個教學(xué)班的學(xué)生進(jìn)行了課后測試。觀察記錄與課后測查的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：我們結(jié)合數(shù)據(jù)分析對教學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了更為理性的反思。分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)，“先探究52÷4”除了我們在現(xiàn)場觀測時發(fā)現(xiàn)的諸多優(yōu)勢以外，同時也存在著不可克服的不足：不足一：“先探究52÷4”，對一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)盲點(diǎn)預(yù)估不足。本課學(xué)習(xí)前，學(xué)生對三上年級時學(xué)的除法豎式計算，特別是書寫格式已生疏，因此在除法豎式時仍存在學(xué)習(xí)盲點(diǎn)?！跋忍骄?2÷4”的跳躍性過大，不僅在口算與分實(shí)物操作中給學(xué)生增加了難度，同時在豎式掌握時，一些程度不夠好的同學(xué)無法在

18、學(xué)習(xí)初期得到緩沖的機(jī)會，這種挫敗的經(jīng)歷無疑對這部分學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)是一種傷害。不足二：“先探究52÷4”，學(xué)生的達(dá)成率情況沒有顯著性差異。在課后的測查數(shù)據(jù)中，我們發(fā)現(xiàn)，兩種教學(xué)順序的知識性目標(biāo)的達(dá)成度教不夠，而“先探究52÷4”也沒有在這方面表現(xiàn)出優(yōu)勢，由此證實(shí)了教材例題安排的合理性和可行性。當(dāng)我們置身于“理性數(shù)據(jù)”與“現(xiàn)場記錄”的沖突中，我們開始從“孤芳自賞”的研究體驗(yàn)中清醒過來：的確，前期我們在教學(xué)現(xiàn)場觀察到的，由“先探究52÷4”帶來的 “花團(tuán)錦簇”，或多或少會由于實(shí)施觀察的老師往往根據(jù)自己的研究傾向，選擇了帶有傾向性的觀察視角，并不能代表學(xué)生在課堂真正沉淀下

19、來的獨(dú)特體驗(yàn)和學(xué)習(xí)體會。教研組的老師們開始在這樣的教學(xué)實(shí)驗(yàn)中汲取過濾，對于兩種教學(xué)順序的教學(xué)傾向也開始從搖擺走向平衡。且行且思，漸行漸遠(yuǎn)在“實(shí)踐”中尋覓到的教學(xué)智慧我們的課例研究源于實(shí)踐，起于思考，收于實(shí)踐。經(jīng)歷了教材研讀、現(xiàn)場觀察和數(shù)據(jù)解構(gòu)的研究過程，當(dāng)所有觀點(diǎn)交互碰撞、所有爭鳴趨于平衡后，我們沉淀下更為深入、更接近于本質(zhì)的思考，尋覓到了新的教學(xué)智慧：先教學(xué)52÷4時，在學(xué)生符號語言的理解上具有思維的優(yōu)勢，然而在學(xué)生正確書寫豎式的達(dá)成率方面，并不存在顯著優(yōu)勢。因此，老師只需要在理念處理上保持“同構(gòu)”要讓學(xué)生在經(jīng)歷符號語言的抽象過程。大可以在教學(xué)實(shí)施中，自主選擇更適合自己的、更適合學(xué)

20、生、更適合教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)方式和行為，靈活地根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)選擇“異序”?！静皇俏猜暎杭で榈男谐虅倓偲鸩健窟@似乎不能算是一個不成功的課例研究。結(jié)束時，我們既不能提出一個振聾發(fā)聵的研究結(jié)果，也不能提出一個成熟的范型可資參照。因?yàn)槭聦?shí)如此。但由此，我們開始對數(shù)學(xué)符號語言的教學(xué)衍生出更深層次的教學(xué)思考：思考一：“觸類”如何“旁通”？“除法豎式”的學(xué)習(xí)過程，可以看作是一個由操作體驗(yàn)到符號抽象的符號語言學(xué)習(xí)的過程。其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這樣的內(nèi)容遠(yuǎn)不止于此：將一個蘋果（一張紙、一塊蛋糕）平均分成兩份，其中的一份都可以分?jǐn)?shù)來表示，學(xué)生可以深刻體會到：一個小小的分?jǐn)?shù)卻能代表不同材質(zhì)分的過程與結(jié)果，以它濃縮的形式，表達(dá)了大量信息。如何從小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段中挖掘這些可以滲透符號語言的資源，如何將這些分散的教學(xué)資源系列化，建立起符號語言培養(yǎng)的資源體系，從而促進(jìn)學(xué)生符號思維能力的真正提升。我們需要思考：“觸類”如何“旁通”？思考二：“循序”如何“漸進(jìn)”？從低年級到高年級，學(xué)生不可能把教材中具體內(nèi)容不得的符號語言一下子徹底領(lǐng)悟。例如在一個簡單的不等式：3+8中，對低年級小學(xué)生來講，“”可以說表示許多個數(shù)(0、1、2、3、4)，對高年級學(xué)生來講，可以說是表示無數(shù)個數(shù)(05)再將“”用字母替代?？梢姡栒Z言的引入不是雜亂無章、漫無目的的, 應(yīng)該根據(jù)小學(xué)生的年齡、思維特