二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)(總)

1、126.1.2 26.1.2 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)2二次函數(shù)的定義：二次函數(shù)的定義： 注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自變量，是自變量，axax2 2是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)，a a是是二次向系數(shù)二次向系數(shù) bxbx是一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)，b b是一次項(xiàng)系數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù) c c是常數(shù)項(xiàng)。是常數(shù)項(xiàng)。 一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a 0a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 2 2、函數(shù)的右邊最高次數(shù)為、函數(shù)的右邊最高次數(shù)為2 2, ,可以沒(méi)有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以沒(méi)有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng), ,但

2、不能沒(méi)有二次項(xiàng)但不能沒(méi)有二次項(xiàng). .31 1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)2 2、當(dāng)、當(dāng)m m為何值時(shí)，函數(shù)為何值時(shí)，函數(shù)y y(m(m2)x2)xm m2 22 24x4x5 5是是x x的二次函數(shù)的二次函數(shù). .3 3、已知關(guān)于、已知關(guān)于x x的二次函數(shù)的二次函數(shù), , 當(dāng)當(dāng)x=x=1 1時(shí)時(shí), ,函數(shù)值為函數(shù)值為10,10, 當(dāng)當(dāng)x=1x=1時(shí)時(shí), , 函數(shù)值為函數(shù)值為4,4, 當(dāng)當(dāng)x=2x=2時(shí)時(shí), ,函數(shù)值為函數(shù)

3、值為7,7, 求這個(gè)二次函數(shù)的解析試求這個(gè)二次函數(shù)的解析試. .45噴泉(1)67創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 （2 2）你們知道：投籃時(shí)，）你們知道：投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的籃球運(yùn)動(dòng)的路線是什么曲線？路線是什么曲線？怎樣計(jì)算籃球達(dá)到怎樣計(jì)算籃球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的高度？最高點(diǎn)時(shí)的高度？（1 1）你們喜歡打籃球嗎？你們喜歡打籃球嗎？問(wèn)題：?jiǎn)栴}：826.1.2 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)9下面我們將通過(guò)畫二次函數(shù)的圖象來(lái)下面我們將通過(guò)畫二次函數(shù)的圖象來(lái)探索二次函數(shù)的性質(zhì)探索二次函數(shù)的性質(zhì)10-2-20 01 1-1-12 2x xy=xy=x2 2y=-xy=-x2 23 3-3-3例例1. .畫出函數(shù)

4、畫出函數(shù)y=xy=x2 2的圖象：的圖象：1.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：與與 y=-xy=-x2 2的圖像：的圖像：y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c ( (a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a a0)0)圖象是一條拋物線圖象是一條拋物線函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2的圖像拋物的圖像拋物線開口向上；線開口向上；函數(shù)函數(shù)y=-xy=-x2 2的圖像拋的圖像拋物線開口向下。物線開口向下。函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)圖象拋物線開口向上；圖象拋物線開口向上；函數(shù)函數(shù)y=a

5、xy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)圖象拋物線開口向下。圖象拋物線開口向下。頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)111X234567-2 -1-5 -4 -3-7 -68123-1465Y79-20yx212t x( ) = x xu x( ) = 2xx1.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：x xy=2xy=2x2 2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2y= xy= x2 21 12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)例例2. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2、y=2xy=2x2 2、y= xy= x2 2的圖象：的圖象：1 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2

6、 2y= xy= x2 21 12 213f1x( ) = -2xxg1x( ) = -12xx1.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：x xy=-2xy=-2x2 2-2-20 01 1-1-12 2y=-xy=-x2 2y=- xy=- x2 21 12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)例例3. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-xy=-x2 2、y=-2xy=-2x2 2、y=- xy=- x2 2的圖象：的圖象：1 12 2y=-xy=-x2 2y=-2xy=-2x2 2y=- xy=- x2 21 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2 2y= xy= x2 21 12 2函數(shù)函數(shù)

7、y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)中，中，|a|a|越大，拋物線開口越??；越大，拋物線開口越??；|a|a|越小，拋物線開口越大。越小，拋物線開口越大。14f x( ) = xxf x( ) = xxf x( ) = xxx xy=xy=x2 2+2+2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)y=xy=x2 2-2-21.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例4. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2、y=xy=x2 2+2+2、y=xy=x2 2-2-2的圖象：的圖象：y=xy=x2 2+2+2y=xy=x2 2y=xy

8、=x2 2-2-2151.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例5. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=- xy=- x2 2、y=- xy=- x2 2+3+3、y=- xy=- x2 2-3-3的圖象：的圖象：1 12 21 12 21 12 2x x-3-30 02 2-2-23 3頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)y=- xy=- x2 2-3-31 12 2y=- xy=- x2 21 12 2y=- xy=- x2 2+3+31 12 2形如形如y=axy=ax2 2+n+n這樣的二次函數(shù)，這樣的二次函數(shù)，( (這與這與y=ax2+c不是一個(gè)意義，不是一個(gè)意義，n不是不是c)當(dāng)當(dāng)n n0

9、0時(shí)，圖象是函數(shù)時(shí)，圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖圖象向上平移象向上平移|n|n|個(gè)單位；個(gè)單位；當(dāng)當(dāng)n n0 0時(shí)，圖象是函數(shù)時(shí)，圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖圖象向下平移象向下平移|n|n|個(gè)單位；個(gè)單位；y=- xy=- x2 2-3-31 12 2y=- xy=- x2 21 12 2y=- xy=- x2 2+3+31 12 2形如形如y=axy=ax2 2+n+n這樣的二次函數(shù)，這樣的二次函數(shù)，( (這與這與y=ax2+c不是一個(gè)意義，不是一個(gè)意義，n不是不是c)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，n n）16f x( ) = xxf x( ) = xxf x( ) = xx1

10、.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例6. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2、y=(x+2)y=(x+2)2 2、y=(x-2)y=(x-2)2 2的圖象：的圖象：x xy=(x+2)y=(x+2)2 2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2-4-44 4y=(x-2)y=(x-2)2 23 3-3-3y=(x+2)y=(x+2)2 2y=xy=x2 2y=(x-2)y=(x-2)2 2171.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例7. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-2xy=-2x2 2、y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2、y=

11、-2(x-1)y=-2(x-1)2 2的圖象：的圖象：x xy=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2-2-20 01 1-1-12 2y=-2xy=-2x2 2-4-44 4y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 23 3-3-3y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2這樣的二次這樣的二次函數(shù)，函數(shù)，當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，圖象是函數(shù)時(shí)，圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖象向左平移圖象向左平移|m|m|個(gè)個(gè)單位；單位；當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，圖象是函數(shù)時(shí)，圖象是函數(shù)y=axy=ax2

12、2圖象向右平移圖象向右平移|m|m|個(gè)個(gè)單位；單位；形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2這樣的二次函這樣的二次函數(shù)，數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-m，0 0）對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為x=-mx=-m181.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例8. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)x xy=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2y=xy=x2 2x x頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)f x( ) = xxf x( ) = xxf x( ) = xxy=(x+3)y=(x+3)2 2y=xy

13、=x2 2y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+219f x( ) = xx1.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例9. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)x xy=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2y=xy=x2 2x x頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)f x( ) = xxf x( ) = xxy=xy=x2 2+2+2y=xy=x2 2y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2201.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例10. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-2(x-

14、1)y=-2(x-1)2 2+3+3的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)x xy=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2x x頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3211.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例11. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)x xy=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3y=-2x

15、y=-2x2 2x x頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)y=-2xy=-2x2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n這樣的二次這樣的二次函數(shù)，函數(shù)，a a決定拋物線的開口和形狀決定拋物線的開口和形狀m m決定圖像上下平移決定圖像上下平移n n決定圖像左右平移決定圖像左右平移形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n這樣的二次這樣的二次函數(shù)，函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-m，n n）對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為x=-mx=-m22解析式解析式分情況討論分情況討論變換過(guò)程變換過(guò)程頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸對(duì)稱軸

16、形如：形如：y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n（a a、m m、n n都是常數(shù)，都是常數(shù)，a a0 0）m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移|m|m|個(gè)單位，個(gè)單位，向上平移向上平移|n|n|個(gè)單位。個(gè)單位。由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移|m|m|個(gè)單位，個(gè)單位，向下平移向下平移|n|n|個(gè)單位。個(gè)單位。由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移|m|m|個(gè)單位，個(gè)單位，向上平移向上平移|n|n|個(gè)單位。個(gè)單位。由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移|m|m|個(gè)單位

17、，個(gè)單位，向下平移向下平移|n|n|個(gè)單位。個(gè)單位。(-m,n)(-m,n)(-m,n)(-m,n)(-m,n)(-m,n)(-m,n)(-m,n)x=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-m231.1.列表：列表：2.2.描點(diǎn)：描點(diǎn)：3.3.連線：連線：例例10. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)x xy=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2xy=2x2 2x x頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2(x-3)y=2(x-3)2

18、2y=2xy=2x2 2y=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+1624解析式變形解析式變形分情況討論分情況討論變換過(guò)程變換過(guò)程y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a、b b、c c都是常數(shù)，都是常數(shù)，a a0 0）y=a(x+ )y=a(x+ )2 2+ +b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a解析式解析式0 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 0由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移| | |個(gè)單個(gè)單位，位，向上平移向上平移| | |個(gè)單位。個(gè)單位。4ac-b4ac-b2 24a4ab b2a2a由由y=axy=ax2 2向左