立體幾何證明方法總結(jié)教師致遠(yuǎn)書屋

1、一、線線平行的證明方法：1、利用平行四邊形。2、利用三角形或梯形的中位線。3、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。 （線面平行的性質(zhì)定理）4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質(zhì)定理） 5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線 平行。（線面垂直的性質(zhì)定理）6、平行于同一條直線的兩條直線平行。7、夾在兩個平行平面之間的平行線段相等。 （需證明）二、線面平行的證明方法：1、定義法：直線與平面沒有公共點(diǎn)。2、如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

2、3、兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個平面。三、面面平行的證明方法：1、定義法：兩平面沒有公共點(diǎn)。2、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）3、平行于同一平面的兩個平面平行。4、經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且只有一個平面和已知平面平行。5、垂直于同一直線的兩個平面平行。四、線線垂直的證明方法：1、勾股定理。2、等腰三角形。 3、菱形對角線。4、圓所對的圓周角是直角。5、點(diǎn)在線上的射影。6、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內(nèi)任意的直線都垂直。7、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條

3、斜線垂直。（三垂線定理，需證明）8、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。（三垂線逆定理，需證明）9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。五、線面垂直的證明方法：1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。3、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么 這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們 交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面。6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則

4、必垂直于另一個平面。7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。8、過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。9、過一點(diǎn)，有且只有一個平面與已知直線垂直。六、面面垂直的證明方法：1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。2、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。一選擇題（共27小題）1（2010浙江）設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）a若lm，m，則lb若l，lm，則mc若l，

5、m，則lmd若l，m，則lm2（2006湖南）過平行六面體abcda1b1c1d1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面dbb1d1平行的直線共有（）a4條b6條c8條d12條3“直線l與平面無公共點(diǎn)”是“l(fā)”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件4已知m，n表示兩條直線，表示一個平面，給出下列四個命題：n；其中正確命題的序號是（）abcd5正方體abcda1b1c1d1中，e，f，g分別是a1b1、cd、b1c1的中點(diǎn)，則下列中與直線ae有關(guān)的正確命題是（）aae丄cgbae與cg是異面直線c四邊形abc1f是正方形dae平面bc1f6直線與平面平行的充要條件是這

6、條直線與平面內(nèi)的（）a一條直線不相交b兩條直線不相交c任意一條直線都不相交d無數(shù)條直線不相交7、表示平面，a、b表示直線，則a的一個充分條件是（）a，且ab=b，且abcab，且bd，且a8已知兩條直線a，b，兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）a若a，且，則ab若b，ab，則ac若a，則ad若b，ab，則a9下列四個正方體圖形中，a、b為正方體的兩個頂點(diǎn)，m、n、p分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出ab平面mnp的圖形的序號是（）a、b、c、d、10設(shè)、是三個不同的平面，a、b是兩條不同的直線，給出下列4個命題：若a，b，則ab；若a，b，ab，則；若a，b，ab，則；若a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直

7、，則ab其中正確命題是（）abcd11已知兩條直線a，b和平面，若b，則ab是a的（）a充分但不必要條件b必要但不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件12已知直線a和平面，那么a的一個充分條件是（）a存在一條直線b，ab，bb存在一條直線b，ab，bc存在一個平面，a，d存在一個平面，a，a13已知，表示平面，a，b表示直線，則a的一個充分條件是（）aa，ba=b，abcab，bd，a14a，b，c為三條不重合的直線，為三個不重合平面，現(xiàn)給出六個命題ab ab a a其中正確的命題是（）abcd15下列說法正確的是（）a垂直于同一平面的兩平面也平行b與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面

8、直線c過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直d垂直于同一直線的兩平面平行16已知兩條直線m、n與兩個平面、，下列命題正確的是（）a若m，n，則mnb若m，m，則c若m，m，則d若mn，m，則n17已知直線a，b，平面，則a的一個充分條件是（）aab，bba，cb，abdab，b，a18a是平面bcd外一點(diǎn)，e，f，g分別是bd，dc，ca的中點(diǎn)，設(shè)過這三點(diǎn)的平面為，則在直線ab，ac，ad，bc，bd，dc中，與平面平行的直線有（）a0b1條c2條d3條19（2010山東）在空間，下列命題正確的是（）a平行直線的平行投影重合b平行于同一直線的兩個平面平行c垂直于同一平面的兩個平面平行d垂直于同一

9、平面的兩條直線平行20（2008湖南）設(shè)有直線m、n和平面、，下列四個命題中，正確的是（）a若m，n，則mnb若m，n，m，n，則c若，m，則md若，m，m，則m21（2008福建）如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，則ac1與平面a1b1c1d1所成角的正弦值為（）abcd22（2008安徽）兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）a若m，n，則mnb若，則c若m，m，則d若m，n，則mn23（2007遼寧）若m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中為真命題的是（）a若m，則mb若=m，=n，mn，則c若，則d若m，m，則24（20

10、07江蘇）已知兩條直線m，n，兩個平面，給出下面四個命題：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正確命題的序號是（）abcd25（2002北京）已知三條直線m、n、l，三個平面a、b、g，下列四個命題中，正確的是（）abcd26已知直線m平面，直線n平面，“直線cm，直線cn”是“直線c平面”的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件27若直線a直線b，且a平面，則b與平面的位置關(guān)系是（）a一定平行b不平行c平行或相交d平行或在平面內(nèi)二填空題（共3小題）28如圖：點(diǎn)p在正方體abcda1b1c1d1的面對角線bc1上運(yùn)動，則下列四個命題：三棱錐ad1p

11、c的體積不變；a1p面acd1；dpbc1；面pdb1面acd1其中正確的命題的序號是 _29考察下列三個命題，在“”處都缺少同一個條件，補(bǔ)上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中l(wèi)，m為不同的直線，、為不重合的平面），則此條件為_l，l，l30在正四面體pabc中，d，e，f分別是棱ab，bc，ca的中點(diǎn)給出下面四個結(jié)論：bc平面pdf；df平面pae；平面pdf平面abc；平面pae平面abc，其中所有不正確的結(jié)論的序號是_1.分析：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：a，根據(jù)線面垂直的判定定理判斷c：根據(jù)線面平行的判定定理判斷d：由線線的位置關(guān)系判斷b：由線面垂直的性質(zhì)定理判斷；綜合可得答案解答：解：a，根據(jù)

12、線面垂直的判定定理，要垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行，不正確；c：l，m，則lm或兩線異面，故不正確d：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確b：由線面垂直的性質(zhì)可知：平行線中的一條垂直于這個平面則另一條也垂直這個平面故正確故選b2.：解：如圖，過平行六面體abcda1b1c1d1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面dbb1d1平行的直線共有12條，故選d33解答：解：若“直線l與平面無公共點(diǎn)”成立，則“l(fā)”即“直線l與平面無公共點(diǎn)”“l(fā)”為真命題反之，當(dāng)“l(fā)”時，“直線l與平面無公共點(diǎn)”即“l(fā)”“直線l與平面無公共點(diǎn)”也為真命題根據(jù)充要條件的定義可得：直線l與平面無公共點(diǎn)”是“l(fā)”的充

13、要條件故選c4解答：4：mn，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩直線平行，故正確n，由m，mn得n或n，故不正確mn，由m，n，則m，n可能平行、可能相交、可能異面故不正確，則m，n可能相交、可能異面，根據(jù)異面直線所成的角，可知mn故正確故選d分析：5根據(jù)正方體的幾何特征，可以判斷出ae與cg相交，但不垂直，由此可以判斷出a，b的真假，分析四邊形abc1f中各邊的長度，即可判斷c的真假，由線面平行的判定定理，可以判斷出d的真假，進(jìn)而得到答案解答：解：由正方體的幾何特征，可得ae丄c1g，但ae與平面bcb1c1不垂直，故ae丄cg不成立；由于egac，故a，e，b，c四點(diǎn)共線ae與cg

14、是異面直線錯誤；四邊形abc1f中，abbc1，故四邊形abc1f是正方形錯誤；而aec1f，由線面平行的判定定理，可得ae平面bc1f故選d點(diǎn)評：6解答：解：直線與平面平行，由其性質(zhì)可知：這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都不相交，a一條直線不相交，說明有其它直線與其相交，故a錯誤；b、兩條直線不相交，說明有其它直線與其相交，故b錯誤；d、無數(shù)條直線不相交，說明有其它直線與其相交，無數(shù)不是全部，故d錯誤；故選c點(diǎn)評：此題考查直線與平面平行的判斷定理：公理二：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)則它們有一條公共直線且所有的公共點(diǎn)都在這條直線上公理三：三個不共線的點(diǎn)確定一個平面推論一：直線及直線外一點(diǎn)確定一個平

15、面推論二：兩相交直線確定一個平面，這些知識要熟練掌握7解答：解：a、還可能有a，所以不正確b、因?yàn)閍不一定在內(nèi)，所以不正確c、還可能有a，所以不正確d、，且a由面面平行的性質(zhì)定理可知是正確的故選d點(diǎn)評：本題主要考查線線，線面，面面的平行及垂直間的相互轉(zhuǎn)化，一定要注意常見結(jié)論的嚴(yán)密性8解答：解：a、，又a，a故a正確；b、b，ab，若a，則a不可能與平行，故b錯誤；c、a，若a，則結(jié)論不成立，故c錯誤；d、b，ab，若a，則結(jié)論不成立，故d錯誤；故a正確；點(diǎn)評：此題考查直線與平面平行的判斷定理：公理二：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)則它們有一條公共直線且所有的公共點(diǎn)都在這條直線上公理三：三個不共線的點(diǎn)

16、確定一個平面推論一：直線及直線外一點(diǎn)確定一個平面推論二：兩相交直線確定一個平面，這些知識要熟練掌握9分析：對于，可以構(gòu)造面面平行，考慮線面平行定義；對于，考慮線面平行的判定及定義；對于，可以用線面平的定義及判定定理判斷；對于，用線面平行的判定定理即可解答：解：對圖，構(gòu)造ab所在的平面，即對角面，可以證明這個對角面與平面mnp，由線面平行的定義可得ab平面mnp對圖，通過證明abpn得到ab平面mnp；對于、無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行；故選b點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定，主要考慮定義、判定定理兩種方法，同時運(yùn)用面面平行的性質(zhì)解決問題10解答：解：a與b可以相交，故錯誤；與可以垂直，

17、故錯誤；a，b，ab，故正確；a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直，a與b不一定是垂直的，有可能斜交，故錯誤；故選a點(diǎn)評：此題考查直線與平面平行的判斷定理：公理二：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)則它們有一條公共直線且所有的公共點(diǎn)都在這條直線上公理三：三個不共線的點(diǎn)確定一個平面推論一：直線及直線外一點(diǎn)確定一個平面推論二：兩相交直線確定一個平面，這些知識要熟練掌握11解答：解：當(dāng)b是若ab時，a與的關(guān)系可能是a，也可能是a，即a不一定成立，故aba為假命題；若a時，a與b的關(guān)系可能是ab，也可能是a與b異面，即ab不一定成立，故aab也為假命題；故ab是a的既不充分又不必要條件故選d點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是充要

18、條件，直線與平面平行關(guān)系的判斷，先判斷aba與aab的真假，然后利用充要條件的定義得到結(jié)論是證明充要條件的常規(guī)方法，要求大家熟練掌握12解答：解：a、直線a在內(nèi)時，不正確b、直線a在內(nèi)時，不正確c、面面平行的性質(zhì)定理知正確d、直線a在內(nèi)時，不正確故選c點(diǎn)評：本題主要考查在應(yīng)用定理或常見結(jié)論時一定要條件全面，提醒學(xué)生做題量考慮要具體全面13解答：解：選項(xiàng)a，a，a或a選項(xiàng)b，a=b，aba或a選項(xiàng)c，ab，ba或aa、b、c三個選項(xiàng)都不能排除a，選項(xiàng)d，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知正確故選d14解答：解：根據(jù)平行公理可知正確；根據(jù)面面平行的判定定理可知正確；對于錯在a、b可能相交或異面對于錯在與可能相

19、交，對于錯在a可能在內(nèi)故選：c點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定，同時考查了對定理、公理的理解，屬于綜合題15分析：垂直于同一個平面的兩個平面的位置關(guān)系不能確定，與兩條異面直線都相交的直線如果是交于不同的四個點(diǎn)，一定異面，若交于三個點(diǎn)則共面，過一點(diǎn)在空間中有無數(shù)條直線與已知直線垂直，得到結(jié)論解答：解：垂直于同一個平面的兩個平面的位置關(guān)系不能確定，故a不正確，與兩條異面直線都相交的直線如果是交于不同的四個點(diǎn)，一定異面，若交于三個點(diǎn)則共面，故b不正確，過一點(diǎn)在空間中有無數(shù)條直線與已知直線垂直，故c不正確，垂直于同一直線的兩個平面平行，正確，故選d16解答：解：對于a

20、，若m，n，則m，n可以平行、相交，也可以異面，故不正確；對于b，若m，m，則當(dāng)m平行于，的交線時，也成立，故不正確；對于c，若m，m，則m為平面與的公垂線，則，故正確；對于d，若mn，m，則n，n也可以在內(nèi)故選c點(diǎn)評：本題考查空間中直線和平面的位置關(guān)系涉及到兩直線共面和異面，線面平行等知識點(diǎn)，在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線當(dāng)然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行17解答：解：a：ab，b，則a與平面平行或在平面內(nèi)，不正確b：a，則a與平面平行或在平面內(nèi)，不正確c：b，ab，則a與平面平行或在平面內(nèi)，不正確d：由線面平行的判定理知，正確故選d點(diǎn)評：本題主要考查了立體幾何中

21、線面之間的位置關(guān)系及判定定理，也蘊(yùn)含了對定理公理綜合運(yùn)用能力的考查，屬中檔題18解答：解：取ab的中點(diǎn)h，連接he、ef、fg、gh平面hefg為平面其中ab、bd、cd、ac都與平面相交e、f是bd、cd的中點(diǎn)efbc，而ef，bcbc平面同理可證ad平面故選c點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于基礎(chǔ)題19解答：解：平行直線的平行投影重合，還可能平行，a錯誤平行于同一直線的兩個平面平行，兩個平面可能相交，b錯誤垂直于同一平面的兩個平面平行，可能相交，c錯誤故選d20分析由面面平行的判定定理和線面平行的定理判斷a、b、d；由面面垂直的性質(zhì)定理判

22、斷c解答：解：a不對，由面面平行的判定定理知，m與n可能相交；b不對，由面面平行的判定定理知少相交條件；c不對，由面面垂直的性質(zhì)定理知，m必須垂直交線；故選d點(diǎn)評：本題考查了線面的位置關(guān)系，主要用了面面垂直和平行的定理進(jìn)行驗(yàn)證，屬于基礎(chǔ)題21分：由題意連接a1c1，則ac1a1為所求的角，在ac1a1計算解答：解：連接a1c1，在長方體abcda1b1c1d1中，a1a平面a1b1c1d1，則ac1a1為ac1與平面a1b1c1d1所成角在ac1a1中，sinac1a1=故選d22分析：本題考查的知識點(diǎn)是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，若m，n，m，n可以相交也可以異面，故a不正確；若，則，則

23、、可以相交也可以平行，故b不正確；若m，m，則，則、可以相交也可以平行，故c不正確；m，n則同垂直于一個平面的兩條直線平行；故d答案正確；分析即可得到結(jié)論解答：解：m，n均為直線，其中m，n平行，m，n可以相交也可以異面，故a不正確；若，則，則、可以相交也可以平行，故b不正確；若m，m，則，則、可以相交也可以平行，故c不正確；m，n則同垂直于一個平面的兩條直線平行；故選d23分析：對于選項(xiàng)a直線m可能與平面斜交，對于選項(xiàng)b可根據(jù)三棱柱進(jìn)行判定，對于選項(xiàng)c列舉反例，如正方體同一頂點(diǎn)的三個平面，對于d根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判定即可解答：解：對于選項(xiàng)d，若m，則過直線m的平面與平面相交得交線n，

24、由線面平行的性質(zhì)定理可得mn，又m，故n，且n，故由面面垂直的判定定理可得故選d點(diǎn)評：本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，以及面面垂直的判定定理，同時考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題24解答：解：用線面垂直和面面平行的定理可判斷正確；中，由面面平行的定義，m，n可以平行或異面；中，用線面平行的判定定理知，n可以在內(nèi)；故選c點(diǎn)評：本題考查了線面垂直和面面平行的定理，及線面、面面位置關(guān)系的定義，屬于基礎(chǔ)題25分析：利用墻角知a不對，線面平行和垂直的定理知b不對，由面面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理來判斷出c和d解答：解：a、與可能相交，如墻角，故a錯誤；b、可能l，故b錯誤；c、由面面平行

25、的判定定理知，m、n可能相交，故c錯誤；d、由線面垂直的性質(zhì)定理知，故d正確故選d點(diǎn)評：本題考查了空間中線面位置關(guān)系，主要根據(jù)線面和面面平行及垂直的定理進(jìn)行判斷，考查了定理的運(yùn)用能力和空間想象能力26：由線面垂直的定義，當(dāng)直線c平面時，c與中的任意一條直線都垂直，即“直線c平面”“直線cm，直線cn”為真命題，但反之，當(dāng)“直線cm，直線cn”時，直線c平面不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，易得答案解答：解：若直線cm，直線cn成立則當(dāng)m，n相交時，直線c平面成立，當(dāng)m，n平行時，直線c平面不一定成立故“直線cm，直線cn”“直線c平面”為假命題若直線c平面成立則c垂直平面的每一條直線故“直線c平

26、面”“直線cm，直線cn”為“直線cm，直線cn”真命題故“直線cm，直線cn”是“直線c平面”的必要而不充分條件故選b點(diǎn)評：判斷充要條件的方法是：若pq為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；若pq為假命題且qp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；若pq為真命題且qp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；若pq為假命題且qp為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系27分由直線a直線b，且a平面，知直線b平面或直線b在平面內(nèi)解答：解：直線a直線b，且a平面，直線b平面或直線b在平面內(nèi)故選d點(diǎn)評：本題考查空間直線與平面之間的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化28分析：如右圖，對于，容易證明ad1bc1，從而bc1平面ad1c，以