最新高中數(shù)學(xué)課時提升作業(yè)二1.1.2

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè) 二基本不等式一、選擇題(每小題6分,共18分)1.(2016·泰安高二檢測)若關(guān)于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.(-,-80,+)b.(-,-4)c.-8,4)d.(-,-8【解析】選d.由方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,即a+4=-3x+43x-4,所以a-8.2.下列不等式的證明過程正確的是()a.若a,br,則ba+ab2ba·ab=2b.若x>0,則cos

2、x+1cosx2cosx·1cosx=2c.若x<0,則x+4x2x·4x=4d.若a,br,且ab<0,則ba+ab=-ba+-ab-2-ba-ab=-2【解析】選d.a,b,c中在應(yīng)用基本不等式時忽視了前提“正數(shù)”,故均錯誤.3.(2015·福建高考)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于()a.2b.3c.4d.5【解題指南】利用基本不等式及“1”的代換求解.【解析】選c.因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1,1),所以1a+1b=1,所以a+b=(a+b)1a+1b=1+1+ba+ab=2+ba+ab,因?yàn)閍>

3、0,b>0,所以2+ba+ab2+2ba×ab=4,當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2”時等號成立.二、填空題(每小題6分,共12分)4.(2016·佛山高二檢測)已知x+3y-2=0,則3x+27y+1的最小值是_.【解析】3x+27y+1=3x+33y+123x·33y+1=7.答案:75.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是_.【解析】令ab=t(t>0),由ab=a+b+32ab+3,則t22t+3,所以t3或t-1(舍去),所以ab3,ab9,當(dāng)a=b=3時取等號.答案:9,+)【誤區(qū)警示】解答本題過程中易忽視a,b(0,+)而求出ab(-

4、,19,+)的錯誤.三、解答題(每小題10分,共30分)6.求函數(shù)y=x2+5x+15x+2(x0)的最小值.【解析】原式變形得:y=(x+2)2+(x+2)+9x+2=x+2+9x+2+1,因?yàn)閤0,所以x+2>0,所以x+2+9x+26,所以y7,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.所以y=x2+5x+15x+2(x0)的最小值為7.7.(2016·銀川高二檢測)如圖,已知小矩形花壇abcd中,ab=3m,ad=2m,現(xiàn)要將小矩形花壇建成大矩形花壇ampn,使點(diǎn)b在am上,點(diǎn)d在an上,且對角線mn過點(diǎn)c.(1)要使矩形ampn的面積大于32m2,an的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(2)m,n

5、是否存在這樣的位置,使矩形ampn的面積最小?若存在,求出這個最小面積及相應(yīng)的am,an的長度;若不存在,說明理由.【解析】(1)設(shè)am=x,an=y(x>3,y>2),矩形ampn的面積為s,則s=xy.因?yàn)閚dcnam,所以y-2y=3x,所以x=3yy-2,所以s=3y2y-2(y>2).由3y2y-2>32,得2<y<83,或y>8,所以an的長度應(yīng)在2,83或(8,+)內(nèi).(2)當(dāng)y>2時,s=3y2y-2=3y-2+4y-2+43×2(y-2)·4y-2+4=3×(4+4)=24,當(dāng)且僅當(dāng)y-2=4y-2

6、,即y=4時,等號成立,解得x=6.所以存在m,n點(diǎn),當(dāng)am=6,an=4時,矩形ampn面積最小為24.8.已知x,y都是正實(shí)數(shù).求證:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.【證明】因?yàn)閤,y都是正實(shí)數(shù),所以x+y2xy>0,x2+y22xy>0,x3+y32x3y3>0.三式相乘,得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016·聊城高二檢測)已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值為()a.2b.2c.4d.5【解析】選c.1a+1b+2ab21ab+2ab4.2.對于x0,2

7、,不等式1sin2x+pcos2x16恒成立,則p的取值范圍為()a.(-,-9b.(-9,9c.(-,9d.9,+)【解題指南】可令t=sin2x,將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式恒成立問題求解.【解析】選d.令t=sin2x,則cos2x=1-t.又x0,2,所以t(0,1).不等式1sin2x+pcos2x16可化為p16-1t(1-t),令y=16-1t(1-t)=17-1t+16t17-21t·16t=9,當(dāng)且僅當(dāng)1t=16t,即t=14時取等號,因此原不等式恒成立,只需p9.二、填空題(每小題5分,共10分)3.若a>0,b>0,a+b=1,則1a2-11b2-

8、1的最小值是_.【解析】因?yàn)?a2-11b2-1=1-a2a2·1-b2b2=(1-a)(1+a)a2·(1-b)(1+b)b2=(1+a)(1+b)ab=1+a+b+abab=1+2ab.由a>0,b>0,a+b=1得aba+b22=14.所以1ab4,所以1a2-11b2-19.答案:94.已知x>0,y>0且滿足x+y=6,則使不等式1x+9ym恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍為_.【解題指南】由已知條件先求得1x+9y的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因?yàn)閤>0,y>0,1x+9y=x+y61x+9y=1610+yx+9xy1

9、6(10+6)=83,當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy,又x+y=6,得x=32,y=92時取等號.所以m的取值范圍是-,83.答案:-,83三、解答題(每小題10分,共20分)5.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.證明:a2b+b2c+c2a1.【證明】因?yàn)閍2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+a+b+c2(a+b+c),所以a2b+b2c+c2aa+b+c=1.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時取等號.6.已知a,b,x,yr+,x,y為變量,a,b為常數(shù),且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值為18,求a,b.【解析】因?yàn)閤+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2ab=(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)bxy=ayx時取等號.又(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18,又a+b=10,由可得a=2,b=8或a=8,b=2.【拓展延伸】基本不等式的應(yīng)用技巧判斷定值條件是應(yīng)用基本不等式的難點(diǎn)和易忽略點(diǎn),常見的方法有:(1)拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊此法常用在求分式型函數(shù)的最值中,如函數(shù)f(x)=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1,可按由高次項(xiàng)向低次項(xiàng)的順序逐步配湊.(2)常值代換這種方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均為正數(shù)),求1x+1y的最小值”和“已知ax+by=1(a,b,x,