高中人教版必修二點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系直線與方程圓與方程知識點(diǎn)綜合典型習(xí)題

1、 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、平面的基本性質(zhì)：歸納（公理1）：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號語言：。公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)。直線l在平面內(nèi)（平面經(jīng)過直線l），記作：；直線l在平面外，記作：。歸納（公理2）：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號表示：a、b、c三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面 ，使a 、b 、c 。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。推論1：過一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面。推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面。歸納（公理3）：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

2、線。符號表示：p = l，且p l。公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)。二、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1、異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。2、空間兩條直線的位置關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。3異面直線的判定：（1）既不相交也不平行的兩條直線是異面直線。 （2）過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。數(shù)學(xué)語言：直線ab與直線l是異面直線。 4異面直線所成角的定義已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)o作直線a' a、b' b，

3、把a(bǔ)' 與b' 所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。范圍：。例一：如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分別為aa1、ab、bb1、bc1的中點(diǎn)，則異面直線ef與gh所成的角等于（ ）（a）45° （b）60° （c）90°（d）120°acbsef例二：在正四面體sabc中，sabc，e、f分別為sc、ab的中點(diǎn)，那么異面直線ef與sa所成的角等于（ ）（a）30° （b）45° （c）60° （d）90° 5平行公理：（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線互相

4、平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線，。6等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)。三、直線與平面的位置關(guān)系歸納：直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，記作：；（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，記作：；（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)，記作：。直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用來表示。例1：下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）（1）若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l / ；（2）若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；（3）如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；（4）若直線l

5、與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)；（5）平行于同一平面的兩條直線互相平行。（a）0 （b）1 （c）2 （d）3答案：b直線與平面平行的判定（直線與平面平行的判定定理）平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。符號語言：。作用：線線平行，則線面平行。將直線與平面平行關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間平行關(guān)系（平面問題）。定理的應(yīng)用例：如圖在正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是棱bc、c1d1的中點(diǎn)，求證：ef / 平面bdd1b1。證明線面平行的一般步驟是：（1）證線線平行；（2）說明兩直線一條在面內(nèi)，另一條在面外；（3）由判定定理得到結(jié)論。（直線與平

6、面平行的性質(zhì)定理）：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。符號語言：。長方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)（異于b、b1），求證：mn / 平面abcd。四、平面與平面平行的判定（兩個(gè)平面平行的判定定理）：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。線不在多，相交就行。符號語言：。作用：線面平行，則面面平行。（兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號語言：?？梢杂善矫媾c平面平行得出直線與直線平行。 平面平行的傳遞性：如果平面 / 平面，平面 / 平面，則平面 / 平面。例1、已知正方體abcda1b

7、1c1d1，求證：平面ab1d1/平面c1bd。分析：由ab1 / dc1，得ab1 / 平面c1bd；ad1 / bc1，得ad1 /平面c1bd，例2：如圖， / ，a、c，b、d，且a、b、c、d不共面，e、f分別是ab、cd的中點(diǎn)，求證：ef / ，ef / 。分析：欲證線面平行，可先證面面平行，再結(jié)合面面平行的定義從而得證。證明：連結(jié)ad，取ad的中點(diǎn)為g，連結(jié)eg，因?yàn)閑為ab的中點(diǎn)，所以eg為abd的中位線，所以eg / bd，因?yàn)閑g平面，bd平面，所以eg / 。連結(jié)gf，同理證得gf / ，又eggf = g，所以平面egf / 平面，又ef平面egf，所以ef / ，同理

8、ef / 。五、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1、直線與平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直。記作：l 。直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)p叫做垂足。2、直線與平面垂直的判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號語言：。作用：由線線垂直得到線面垂直。（線不在多，相交就行。）強(qiáng)調(diào)： 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視； 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（直線與平面垂直的性質(zhì)）：垂直于同一平面的兩條直線平行。說明：可以由兩條直線與一個(gè)平面垂直判定兩條直線平行，性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂

9、直”之間的內(nèi)在聯(lián)系。（三）課堂練習(xí)：課本p67，練習(xí)1、2。1、如圖，在三棱錐vabc中，va = vc，ab = bc，求證：vbac。六、直線與平面所成的角1、直線與平面所成角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。注：l 時(shí)，所成角為90°；l / 時(shí)，所成角為0°。范圍：。dcaba1b1d1c12、應(yīng)用舉例：例1：在正方體abcda1b1c1d1中，求：（1）直線a1b和平面a1b1cd所成的角；（2）直線db1與平面abcd所成角的正弦值。解（1）連結(jié)bc1交b1c于點(diǎn)o，連結(jié)oa1，因?yàn)閍1b1平面bcc1b1，所以

10、a1b1bc1，因?yàn)閎cc1b1為正方形，所以b1cbc1，又，所以bo平面a1b1cd，所以ba1o為直線a1b和平面a1b1cd所成的角，且boa = 90°，設(shè)正方體的棱長為a，則，所以，得ba1o = 30°，所以直線a1b和平面a1b1cd所成的角為30°。（七、二面角及其平面角1、二面角的有關(guān)概念角二面角圖形 a 邊 頂點(diǎn) o 邊 ba 梭 l b定義從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形構(gòu)成射線 點(diǎn)（頂點(diǎn)）一 射線半平面 一 線（棱）一 半平面表示aob二面角 l 或 ab 3（三）求二面角的大小例1

11、：如圖，在三棱錐vabc中，va = vb = ac = bc = 2，ab =，vc = 1，試畫出二面角vabc的平面角，并求它的度數(shù)。八、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)（兩個(gè)平面垂直的判定定理）：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。符號語言：。作用：由線面垂直得到面面垂直。（兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理）：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。符號語言：設(shè)，則有ab 。作用：由面面垂直得到線面垂直。4、應(yīng)用舉例例：如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直于圓o所在的平面，c是圓周上不同于a、b的任意一點(diǎn)，求證：平面pac平面pbc。證明：設(shè)圓o所在平面為 ，由已知條件，p

12、a ，bc在內(nèi)，所以pabc，因?yàn)辄c(diǎn)c是圓周上不同于a、b的任意一點(diǎn)，ab是圓o的直徑，所以bca是直角，即bcac。又因?yàn)閜a與ac是pac所在平面內(nèi)的兩條相交直線，所以bc平面pac，又因?yàn)閎c在平面pbc內(nèi)，所以平面pac平面pbc。 第3章 直線與方程知識點(diǎn)1、直線的傾斜角和斜率公式：；2、直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式： 兩點(diǎn)式：過點(diǎn)（0，b） 過點(diǎn)（a，0），（0，b）斜截式： 截距式： 一般式：ax + by + c = 03、兩條直線的位置關(guān)系：（1）兩條直線相交：求兩條直線的交點(diǎn)（解方程組）；兩條直線垂直：。（2）兩條直線平行：；點(diǎn)到直線的距離公式：；兩條平行直線間的距離：。（二

13、）應(yīng)用舉例，深化鞏固直線的傾斜角是 。 （1）若，則直線x cot y 3 = 0的傾斜角是 。 （2）直線y = k x + 3必經(jīng)過一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是 。 （3）不論m取何值，直線(m 1) x y + 2m + 1 = 0恒過一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是 。（4）abc中，a的平分線所在的直線為x軸，若a (3 , 0) , b (1 , 2)，求ac邊所在直線的方程。 （5）已知直線l 1 : y = x與，在兩直線上方有一點(diǎn)p，p到l 1 , l 2的距離分別為和，又過點(diǎn)p分別作l 1 , l 2的垂線，垂足為a , b，求：（1）點(diǎn)p的坐標(biāo)； （2）|ab|的值。第四章圓與方程（

14、一）整合知識，發(fā)展思維1、圓的方程及其特點(diǎn)：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）一般方程：（）x 2和y 2的系數(shù)相同，且不等于0；沒有xy這樣的二次項(xiàng)。（3）圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。（4）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程可以相互轉(zhuǎn)化。2、位置關(guān)系：（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：>，點(diǎn)在圓外；=，點(diǎn)在圓上；<，點(diǎn)在圓內(nèi)。（2）直線與圓的位置關(guān)系方法一：直線與圓有無公共點(diǎn)，等價(jià)于它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解。方程有幾組解，直線與圓就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，直線與圓就沒有公共點(diǎn)。方法二：判斷圓c的圓心c到直線的距離與圓的

15、半徑的關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；求圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的最值；（2）當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；求圓的切線方程；（3）當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；求弦長。（2）圓與圓的位置關(guān)系方法一：圓與圓有無公共點(diǎn)，等價(jià)于它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解。方程有幾組解，圓與圓就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，圓與圓就沒有公共點(diǎn)。方法二：依據(jù)圓心距= |c1c2|與兩半徑長的和或兩半徑的差的絕對值的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，圓與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，圓與圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含。（二）應(yīng)用舉例，深化鞏固例1、一圓與y軸相切，圓心在直線x 3y = 0上，且直線y = x截圓所得弦長為，求此圓的方程。例3、已知直線x my + 3 = 0和圓x 2 + y 2 6x + 5 = 0，（1）求實(shí)數(shù)m，使直線