最新高中數(shù)學(xué)-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案18.2不等式的證明一

1、18.2不等式的證明(一)典例精析題型一用綜合法證明不等式【例1】 若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：來(lái)源:lg lg lg lg alg blg c.【證明】 由a，b，c為正數(shù)，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【點(diǎn)撥】 本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個(gè)重要依據(jù)(是一個(gè)定理)，在證明不等式時(shí)要注意結(jié)合運(yùn)用.而在不等式的證明過(guò)程中，還要特別注意等號(hào)成立的條件是否滿足.【變式訓(xùn)練1】已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)

2、，且a2b21，c2d21.求證：|acbd|1.【證明】因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以|acbd|ac|bd|.又因?yàn)閍2b21，c2d21，所以|acbd|1.題型二用作差法證明不等式 來(lái)源:【例2】 設(shè)a，b，c為abc的三邊，求證：a2b2c22(abbcca).【證明】a2b2c22(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2來(lái)源: (ab)2c2(bc)2a2(ca)2b2.來(lái)源:而在abc中，c，所以(ab)2c2，即(ab)2c20.同理(ac)2b20，(bc)2a20，所以a2b2c22(abbcca)0.故a2b2c22(abbcca).【點(diǎn)撥】 不等式的

3、證明中，比較法特別是作差比較法是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時(shí)，要注意運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0n1,0m1，mn1，求證：(ab)2.【證明】因?yàn)?ab)20，所以不等式(ab)2成立.題型三用分析法證明不等式 【例3】已知a、b、cr，且abc1.求證：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).【證明】因?yàn)閍、b、cr，且abc1，所以要證原不等式成立，即證(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是證(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(b

4、c)(ca)(ab).因?yàn)?ab)(bc)20，(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得證.【點(diǎn)撥】 本題采用的是分析法.從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書寫證題過(guò)程.【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)mn0時(shí)，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(1，1上單調(diào)遞增，在1，)單

5、調(diào)遞減.(2)證明：要證(1m)n(1n)m，只需證nln(1m)mln(1n)，只需證.設(shè)g(x)(x0)，則g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)單調(diào)遞減，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是減函數(shù)，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.總結(jié)提高1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過(guò)程中往往要用到配方、因式分解、通分等計(jì)算方法.2.用綜合法證明不等式的過(guò)程中，所用到的依據(jù)一般是定義、公理、定理、性質(zhì)等，如基本不等式、絕對(duì)值三角不等式等.3.用分析法證明不等式的關(guān)鍵是對(duì)原不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立.來(lái)源:4.所謂“綜合法”、“分析法”其實(shí)是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明