《量子力學教程》周世勛課后答案

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載量子力學課后習題詳解第一章量子理論基礎11 由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長m 與溫度T 成反比，即m T=b（常量）；并近似計算 b 的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式8hv 31dv ，v d vc3hv（ 1）e kT1以及v c ，（ 2）v dvv d，（ 3）有dvddcv( )dv ()c8 hc1,5hce kT1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于 與 +d 之間的輻射能量密度。本題關注的是 取何值時，取得極大值，因此，就得要求對 的一階導數(shù)為零，由此可求得相應的 的值，記作m 。但要注意的是， 還需要驗證對 的二

2、階導數(shù)在m 處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m 就是要求的，具體如下：'8 hc1hc16hc5e kT1kTe1hc0kT優(yōu)秀學習資料歡迎下載hc15hckTe kT1hc5(1 ekT )0hckThc如果令 x=，則上述方程為5(1e x )x這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得： x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有mT把 x 以及三個物理常量代入到上式便知hcxkm T2.910 3 m K這便是維恩位移定律。 據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話， 輻射的能量分布的峰

3、值向較短波長方面移動， 這樣便會根據(jù)熱物體 （如遙遠星體） 的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。12 在 0K 附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關系，可知E=hv，hP如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（E動ec 2 ），那么Ep22 e如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠遠小于電子的質量與光速平方的乘積，即 0.5110 6 eV ，因此利用非相對論性的電子的能量動量關系式，這樣，便有hp優(yōu)秀學習資料歡迎下載h2 eEhc2 ec2 E1.24 10 6m2 0.51 106 30.71 10 9 m0

4、.71nm在這里，利用了hc1.2410 6 eVm以及ec 20.51 10 6 eV最后，對hc2 ec 2 E作一點討論，從上式可以看出，當粒子的質量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短， 因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強， 由于宏觀世界的物體質量普遍很大， 因而波動性極弱， 顯現(xiàn)出來的都是粒子性， 這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。13 氦原子的動能是 E3 kT （k 為玻耳茲曼常數(shù)），求 T=1K 時，氦原子的德布羅意波長。2解 根據(jù)1k K 10 3 eV ，知本題的氦

5、原子的動能為E3 kT23 k2K1.5103eV ,顯然遠遠小于核 c 2 這樣，便有hc2 核 c2 E優(yōu)秀學習資料歡迎下載1.2410 6m23.71091.510 30.3710 9 m0.37nm這里，利用了核 c24931106 eV3.7109 eV最后，再對德布羅意波長與溫度的關系作一點討論，由某種粒子構成的溫度為 T 的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為 kT ，這樣，其相慶的德布羅意波長就為hchc2 c 2 E2 kc2 T據(jù)此可知，當體系的溫度越低， 相應的德布羅意波長就越長， 這時這種粒子的波動性就越明顯， 特別是當波長長到比粒子間的平均距離還長時， 粒子間的相干性就

6、尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布， 而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布玻色分布或費米公布。14 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場 H=10T，玻爾磁子 M B910 24 JT 1 ，試計算運能的量子化間隔 E，并與 T=4K 及 T=100K 的熱運動能量相比較。解玻爾索末菲的量子化條件為pdqnh其中 q 是微觀粒子的一個廣義坐標， p 是與之相對應的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈， n 是正整數(shù)。（1）設一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質量為 ，于是有p21kx2E22這樣

7、，便有p2 (E1kx 2 )2這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動， 一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù)可解出xE 1 kx222Ek優(yōu)秀學習資料歡迎下載這表示諧振子的正負方向的最大位移。 這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有2 ( E1kx2 )dx()2(E1 kx2 )dx nhxxx2x2x1 kx2 )dxx1 kx 2 ) dx nh2 ( E2 ( Ex2x22(E1 kx 2 ) dxn hxx22為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；2Exsink這樣，便有22E cos2 d2E sinn h2k222 E cos2Ecos dnhk2

8、222Ekc o2s dn h22這時，令上式左邊的積分為A ，此外再構造一個積分B2 2Esin 2 d2 k這樣，便有AB22E2AB22E222d2E,kk（1）cos2 dkE cos2 d (2 )k2 Ecos d ,2 k這里=2，這樣，就有A BEd sin0（ 2）k優(yōu)秀學習資料歡迎下載根據(jù)式（ 1）和（ 2），便有AEk這樣，便有其中 hEn hk2En hk2nh,kh2最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有2Rq Bpq B R這時，玻爾索末菲的量子化條件就為2qBRd(R

9、) nh0qBR 22nhqBR2nh又因為動能耐 Ep22，所以，有E( qBR) 2q 2 B2 R222qBnq2nB2nBN B ,其中， M B q是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且2優(yōu)秀學習資料歡迎下載EBM B具體到本題，有E10910 24J910 23J根據(jù)動能與溫度的關系式E 3 kT2以及1kK10 3 eV1.610 22 J可知，當溫度 T=4K 時，E1.54 1.610 22 J9.6 10 22 J當溫度 T=100K 時，E1.51001.610 22 J2.410 20 J顯然，兩種情況下的熱運動所對應的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。

10、15 兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)實種轉化，光子的波長最大是多少？解 關于兩個光子轉化為正負電子對的動力學過程， 如兩個光子以怎樣的概率轉化為正負電子對的問題， 嚴格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當涉及到這個過程的運動學方面， 如能量守恒， 動量守恒等， 我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當對心碰撞時，轉化為正覆電子對所需的能量最小，因而所對應的波長也就最長，而且，有Ehve c2此外，還有Epc于是，有hchce c2hce c21.2410 60.516 m102.410 12 m2.410 3

11、nm盡管這是光子轉化為電子的最大波長， 但從數(shù)值上看， 也是相當小的， 我們知道，電子是自然界中最輕的有質量的粒子， 如果是光子轉化為像正反質子對之優(yōu)秀學習資料歡迎下載類的更大質量的粒子， 那么所對應的光子的最大波長將會更小， 這從某種意義上告訴我們，當涉及到粒子的衰變， 產(chǎn)生，轉化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1 證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關。證：對于定態(tài)，可令( r，t )( r )f (t)i Et( r )ei(*)J

12、2miiiii*EtEtEt（Et ( r )e（( r)e）(r )e( r )e）2mi ( r )* ( r )* ( r )( r)2m可見 J與 t 無關。2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：(1) 11 e i k r(2) 21 e i k rrr從所得結果說明1 表示向外傳播的球面波，2 表示向內(nèi) (即向原點 ) 傳播的球面波。解： J1 和 J 2只有 r分量在球坐標中r011eerrr s i n優(yōu)秀學習資料歡迎下載i(*1)(1) J11112mi 1 eikrr( 1 e ikr )1 e ikrr(1 eikr ) r02mrrrri11111ik12m(r 2ik

13、 )r(2)r0rrrrkrkrmr 20mr 3J1與 r 同向。表示向外傳播的球面波。i(*)(2) J22222mi 1 e ikrr(1 eikr )1 eikr(1 e ikr ) r02mrrrrri 1 (1ik 1)1 (1ik1) r2mrr 2rrr 2r0k rk rmr 20mr 3可見， J 2與 r 反向。表示向內(nèi) (即向原點 ) 傳播的球面波。補充：設(x)eikx ，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？*dxdx2波函數(shù)不能按( x) dx1 方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢場， x 0U

14、( x)0， 0xa， x a中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。解： U ( x)與 t 無關，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程優(yōu)秀學習資料歡迎下載2 d2( x) U ( x) (x) E ( x)2m dx 2在各區(qū)域的具體形式為2d 21 ( x) U ( x) 1 ( x) E1 (x)： x 0dx22m2d 22 ( x) E2 (x)： 0 x a2m dx 22d 23 ( x) U (x) 3 (x) E3 ( x)： x a2m dx 2由于 (1)、 (3)方程中，由于 U ( x)，要等式成立，必須1 ( x)02 ( x)0即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。d 22 ( x

15、)2mE2(x) 0方程 (2)可變?yōu)閐x 22令 k22mE，得2d 22( x)2(x)0dx 2k2其解為2 ( x)A sin kxB coskx根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A ，B，由連續(xù)性條件，得2 (0)1(0)2 (a)3 (a) B 0Asin ka0A 0sin ka 0ka n(n 1, 2, 3, ) 2 (x) A sinnxa優(yōu)秀學習資料歡迎下載由歸一化條件2dx 1( x)得A2a2n1s i nx d x0 aax sin n由sin mxdxamnbaa2A2a2 (x)2nxs i naak22mE222n2( n 1,2,3, ) 可見 E 是量子化的。E

16、n2ma2對應于 En 的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2 sin ni Etxaxe, 0nn ( x, t)aa0,xa,x a#2.4.證明（ 2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是1AaA sin n ( x a),xa證：na0,xa（ 2.6-14）由歸一化，得優(yōu)秀學習資料歡迎下載12aA 2 sin 2 n ( x a)dxndxaaA2a1n1cos ( x a) dxa 2aA 2a2 aAxa2a2ncos(xa)dxaA 2a sinn (xaA 2aa)2naaA 2a歸一化常數(shù) A1#a2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。1 2 x 2解： ( x)2 xe 221 ( x

17、)24 2221 (x)x2 ex223x2 e2 x2d 1 (x) 232x32 x2 2x 2edx令 d 1 (x)0，得 dxx0x1x由1 (x) 的表達式可知， x0，x時， 1 ( x)0 。顯然不是最大幾率的位置。而 d 21 ( x)2 3(2 6 2 x 2 ) 2 2 x(2x 2 2 x 3 )e2x 2dx 24 3(1 52 x22 4 x4 ) e2x 2d 21 ( x)43 1dx 2201ex2可見 x1是所求幾率最大的位置。#優(yōu)秀學習資料歡迎下載2.6在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U (x)U ( x) ，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證

18、：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為2d2( x) U ( x) (x) E ( x)2dx 2將式中的 x以( x) 代換，得2d2( x) U ( x) ( x) E ( x)2dx 2利用 U (x)U ( x) ，得2d2( x) U ( x) ( x) E ( x)2dx 2比較、式可知，( x)和( x) 都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此(x)和( x) 之間只能相差一個常數(shù) c 。方程、可相互進行空間反演( xx) 而得其對方，由經(jīng)xx反演，可得，( x)c( x)由再經(jīng)xx 反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。(x)

19、c(x)乘 ，得( x) ( x)c2 (x ) ( x)可見， c21c1當 c1 時，( x)(x) ，(x) 具有偶宇稱，當 c1 時，( x)( x) ，(x) 具有奇宇稱，當勢場滿足U (x)U (x) 時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#優(yōu)秀學習資料歡迎下載2.7一粒子在一維勢阱中U0 0,xaU ( x)xa0,運動，求束縛態(tài) ( 0E U 0 )的能級所滿足的方程。解法一：粒子所滿足的 S-方程為2d 2(x) U (x) ( x) E ( x)2dx 2按勢能 U ( x) 的形式分區(qū)域的具體形式為2d21 ( x) U 0 1 (x) E1 (x )x a ：dx 222

20、d 22 (x) E2 ( x)a x a：dx 222d 23 ( x) U 0 3 (x) E3 (x )a x ：dx 22整理后，得：2(U 0E)1210： .2E0222： 32 (U0E)302令22 (U0 E)22 Ek12k22則：1k1210： .2k2220： 3k1210優(yōu)秀學習資料歡迎下載各方程的解為1Ae k1xBek1x2C sin k 2 xD cosk 2 x3Ee k 1xFe k1x由波函數(shù)的有限性，有1 ()有限A03 ()有限E0因此1 Bek1x3 Fe k1 x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 (a)2 (a),Be k1aC sin k 2 aD cos

21、k 2 a(10)1 (a)2 (a),k 1 Be k 1ak 2 C cosk 2 ak 2 D sin k 2 a(11)2 (a)3 ( a),C sin k 2 aD cosk 2 aFe k1 a(12)2 (a)3 ( a),k 2 C cosk 2 ak 2 D sin k 2 ak1 Fe k1a(13)整理 (10) 、(11) 、 (12) 、 (13) 式，并合并成方程組，得e k1 aBsin k 2aCcosk 2aD 00k 1e k1a Bk 2 cosk 2aCk 2 sin k 2 a D000sin k 2 aCcosk 2 aD e k1a F00 k

22、2 cosk 2 aCk 2 sin k 2 aD k 1 e k1a F0解此方程即可得出 B、C、D、F，進而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須e k1asin k 2 acosk 2 a0k 1e k 1ak 2 cosk 2ak 2sin k 2 a000sin k 2 acosk 2 ae k1a0k 2 cosk 2 ak 2sin k 2 ak1 Be k1a優(yōu)秀學習資料歡迎下載k 2 cosk 2 ak 2 sin k 2 a00e k1 asin k 2 acosk 2 ae k1ak 2 cosk 2 ak 2 sin k 2 ak1 e k1asin k 2 a

23、cosk 2 a0k1 e k1 asin k 2 acosk 2ae k1ak 2 cosk 2ak 2 sin k 2 ak 1 e k1ae k1a k1k 2e k1a cos2 k 2 ak 22 e k1a sin k 2 a cosk 2 ak 1k 2 e k1a sin 2 k 2 ak 22 e k 1a sin k 2 acosk 2 ak 1e k 1a k 1e k1a sin k 2 acosk 2 ak 2 e k1 a cos2 k 2 ak 1e k1a sin k 2a cosk 2ak 2 e k1a sin2 k 2ae 2 k1a 2k1 k 2 co

24、s2k 2a k 22 sin 2k 2ak 12 sin 2k 2 ae 2 k1a ( k 22k 12 ) s i n2k 2 a2k1 k 2 c o 2sk 2a e2 k1a0 (22 ) sin 22k1k2cos2k2 a0k 2k1k2 a即(k22k12 )tg 2k2 a2k1k 20 為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。 #解法二：接（ 13）式C sin k 2aD cosk 2 ak 2C cosk 2 ak 2 D sin k 2 ak 1k1C sin k 2 aD cosk 2 ak 2 C cos k 2 ak 2 D sin k 2ak 1k1優(yōu)秀學習資料歡迎下

25、載k2 cosk2 asink 2ak 2sink 2acosk 2ak1k10k2 cosk2 a( k2 sink2asink 2acosk 2 a)k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sink2 acosk2a )k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sink2 acosk2a )0k1k1( k2 cosk2asink2 a)( k2sink2 acosk2a )0k1k1k 22k22k22sink2 a cosk2 a 02 sink2a cosk 2ak1sin k2 ak1cos k 2ak1(1k22)sin2k2 a2k2cos2k2

26、a0k12k1(k 22k12 ) sin2k2 a2k 1 k2 cos2k2 a0#解法三：(11)-(13)2k 2 D sin k2 ak1e k 1a (BF )(10)+(12)2D cosk 2 a e k1a (B F)(11)(13)k 2 tgk 2ak 1(a)(10)(12)(11)+(13)2k2C cosk2ak ( FB)e ik1a1(12)-(10)2C sin k 2 a(FB)e ik 1a(11)(13)k 2ctgk2 ak1(12)(10)令k2 a，k2a， 則tg( c)或ctg(d)22222U 0 a2( f )(k 1k 2 )2合并 (a

27、)、(b) ：優(yōu)秀學習資料歡迎下載2k1 k22tgk2 atg2k2ak12利用 tg2k 2 a2 k 2 ak221 tg#解法四：（最簡方法 - 平移坐標軸法）2：21U 0 1E 1（ 0）2（ 0 2 a ）：22E 22（2 a ）：23U 0 3E 32(U 0E )1212 E02222(U 0E )323001k 1210(1)k 122(U 0E)22k 2220(2)k 222E2束縛態(tài) 0 EU03k 1230(3)1Ae k1 xBe k1 x2C sink 2 xD cosk 2 x3Ee k1 xFe k1 x1(有限B0)3()有限E0因此1 Aek1 x3

28、Fe k1 x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 (0)2 (0),AD(4)1 (0)2 (0),k 1Ak 2 C(5)2 (2a)3 (2a),k 2 C cos2k 2 a k 2 D sin 2k 2 ak 1Fe2 k1a(6)2 (2a)3 (2a),C sin 2k 2a D cos2k2 a Fe2k1a( 7)優(yōu)秀學習資料歡迎下載(7) 代入 (6)C sin 2k2 a D cos2k2 ak2C cos2k2 ak2D sin 2k 2ak1k1利用 (4) 、(5) ，得k1A sin 2k 2 a A cos2k 2 aA cos2k 2 ak 2A ( k 1k 2 ) si

29、n 2k 2 a2 cos2k 2 a0k 2k 1A0( k 1k 2 ) sin 2k 2 a2cos2k 2a0k 2k 1兩邊乘上 ( k1k 2 )即得( k 22k 12 ) sin 2k 2a 2k1 k 2 cos2k 2a0#k 2D sin 2k 2 a2.8 分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似表示為,x0，U 0 ,0x，aU (x)ax，U 1 ,b0,bx，求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。解：勢能曲線如圖示，分成四個區(qū)域求解。定態(tài) S-方程為2d2(x) U ( x) (x) E ( x)2dx 2對各區(qū)域的具體形式為：221U ( x)1E1( x0)2：22U

30、02E 2(0x a)2：23U 1 3E 3( a x b)2：240E4(bx)優(yōu)秀學習資料歡迎下載對于區(qū)域， U ( x)，粒子不可能到達此區(qū)域，故1 ( x)0而 .2(U0E)02222(U 1E)03232 E4240對于束縛態(tài)來說，有UE02k12203k32304k4240各方程的解分別為2Ae k1 xBe k1 x3C sin k2 x D cosk2 x4Ee k3xFe k3 x由波函數(shù)的有限性，得4()有限，E022 (U0 E)k1222 (U1 E)k32k422 E /2 4 Fe k3x由波函數(shù)及其一階導數(shù)的連續(xù)，得1(0)2 (0)BA2A(ek3 xe k

31、3x )2 (a)3 ( a)A(ek3 xe k3 x )C s i nk2 aD c o sk2 a3 (a)3 ( a)Ak1 (ek3 ae k3a )Ck2 cos k2 aDk 2 sin k2 a3 (b)4 (b)C sin k 2bD cos k2bFe k3b3 (b)4 (b)Ck 2 sin k2 bDk 2 cos k2bFk 3e k3 b優(yōu)秀學習資料歡迎下載由、，得k1ek1 aek2ek1aek1aC cosk2 aD cosk 2ak1a(11)C sink2 aD cosk2a由 、得 (k 2 cosk2 b)C ( k2 sin k2b)D( k 3 sin k2 b)C(k3 cosk2 b) D( k2c o sk2 b s i nk2 b)C(k2c o sk 2b s i nk 2b) D0 (12)k3k3令ek1a e ek1a ek1ak1k 1a，則式變?yōu)閗2( sink 2 acosk2 a)C(