行列式的基本性質(zhì)ppt課件

1、2.4 2.4 行列式的基本性質(zhì)行列式的基本性質(zhì)第二章第二章 行列式行列式2 直接用定義計算行列式是很麻煩的事，本節(jié)要導(dǎo)出行列式運(yùn)算的一些性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，將使行列式的計算大為簡化。轉(zhuǎn)置行列式：把n階行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa的第i行變?yōu)榈趇列（i=1，2，n）所得的行列式112111222212nnnnnnaaaaaaaaa稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，用D表示。第二章第二章 行列式行列式3性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。（轉(zhuǎn)置變換）證：考察D的任意項(xiàng)1212njjnja aa（1）它是取自D的不同行不同列的n個元素的乘積，因而也是取自D的第12,njjj行

2、，1，2，n列的n個元素的乘積，因而也是D中的一項(xiàng):1212njjj na aa（2）。（1）項(xiàng)所帶的符號是1 2121nnj jj , (2)項(xiàng)所帶的符號也是1121njjn。因而D中的任一項(xiàng)均為D中的項(xiàng)而且所帶的符號也相同。同理可知D中的任一項(xiàng)也是D中的項(xiàng)且所帶的符號相同。因此D=.D性質(zhì)1表明，在行列式中，行與列的地位是相同的。凡是對行成立的性質(zhì)，對列也同樣成立。第二章第二章 行列式行列式4性質(zhì)2 ：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常數(shù)k，相當(dāng)于用數(shù)k乘這個行列式，即111211212niiinnnnnaaakakakakDaaa（倍法變換）證明：111211212niiinnn

3、nnaaakakakaaaa112121ninjjjjijnja akaa第二章第二章 行列式行列式5112121ninjjjjijnjka aaa111211212niiinnnnnaaak aaaaaa推論1：一個行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符號外面。推論2：如果行列式中某一行（列）所有元素都為零，則這個行列式等于零。在性質(zhì)2中，取k=0，即知結(jié)論成立。性質(zhì)3：交換行列式D中的某兩行（列），行列式變號。（換法變換）第二章第二章 行列式行列式6即設(shè)11121121212,niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa111211211212njjjniiinnn

4、nnaaaaaaDaaaaaa則有：1DD 證：取D中任一項(xiàng)：11ijnkikjknkaaaa（1）它所帶的符號是：11ijnkkkk ， 顯然11jinkjkiknkaaaa也是1D中的一項(xiàng)，第二章第二章 行列式行列式7它所帶符號為：11jinkkkk 。由于對換改變排列的奇偶性，故D中的任一項(xiàng)與1D中對應(yīng)項(xiàng)剛好相差一個符號，1DD 故推論3：如果行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)相同，則這個行列式等于零。（交換這兩行（列）即知DD ） 推論4：如果行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則這個行列式等于零。（利用性質(zhì)2和推論3）性質(zhì)4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成兩項(xiàng)之和，則該行

5、列式可拆成兩個行列式之和，即（拆法變換）第二章第二章 行列式行列式811121112212niiiiininnnnnaaaDabababaaa111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa證明：1 2111niinj jjjijijnjDaaba1 21 2111111nnininj jjj jjjijnjjijnjaaaaba第二章第二章 行列式行列式9111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa性質(zhì)5：把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一個數(shù)k再加到另一行（列）

6、的對應(yīng)元素上，所得行列式與原行列式相等。（消法變換）即 11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa1112111221212nijijinjnjjjnnnnnaaaakaakaakaaaaaaa第二章第二章 行列式行列式10利用性質(zhì)4和推論4即知。例2.4.1 計算行列式1113222333axbxcxDaxbxcxaxbxcx1323axbacaDaxbacaaxbaca解:0第二章第二章 行列式行列式1141134011312023041D解:11340113033203511113401130001100220113401130022000011 22 例2

7、.4.2 計算行列式41134011312023041D第二章第二章 行列式行列式12定理2.4.1：任一個n階行列式都可以利用性質(zhì)5中的行或列變換化為一個與其相等的上（下）三角行列式。證明：設(shè)111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1、先設(shè)D中第一列元素不全為零，若1110,0,iaa則把第i行所有元素同乘1加到第一行上，則1110,iaa 故不妨設(shè)110,a把第一行依次乘以111121111,na aa a后分別加到第2行，第n行，則11121222200nnnnnaaabbDbb（1）第二章第二章 行列式行列式13若D中第一列元素全為零，則D已經(jīng)是（1）的形式。現(xiàn)對（1）

8、中第二列的222,nbb進(jìn)行考慮，同上類似，先設(shè)它們不全為零，不妨設(shè)220b， 則利用上面相似的方法，可得111213122232333300000nnnnnnaaaabbbDcccc仿此不斷進(jìn)行下去，就可把D化為上三角行列式。例2.4.3 計算n階行列式nabbbbabbDbbabbbba 第二章第二章 行列式行列式14解 法一：nabbbbabbDbbabbbba 1111anbanbanbanbbabbbbabbbba1111babanbbbbbba 第二章第二章 行列式行列式1511nanbab法二：nabbbbabbDbbabbbba 000000abbbbaabbaabbaab11000(1)()000000nanbbbbabanb ababab第二章第二章 行列式行列式16在一個n階行列式nD中，若有,ijjiaa,1,2,i jn， 則稱nD為n階對稱行列式；若有,ijjiaa ,1,2,i jn則稱nD為反對稱行列式。例2.4.4 奇數(shù)階的反對稱行列式等于0。證明：設(shè)nD為奇數(shù)階的反對稱行列式。由于,ijjiaa 得 0,iia 1,2,in于是1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa 1213112232132