利用MATLAB計(jì)算電磁場(chǎng)有關(guān)分布

1、電磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)一 模擬電偶極子的電場(chǎng)和等位線 學(xué)院：電氣工程及其自動(dòng)化 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名:實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、 了解并掌握MATLAB軟件，熟練運(yùn)用MATLAB語言進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。2、 熟練掌握電偶極子所激發(fā)出的靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)3、 掌握等位線與電力線的繪制方法實(shí)驗(yàn)要求：1、通過編程，完成練習(xí)中的每個(gè)問題，熟練掌握MATLAB的基本操作。2、請(qǐng)將原程序以及運(yùn)行結(jié)果寫成word文檔以方便檢查實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：一、 相關(guān)概念回顧對(duì)于下圖兩個(gè)點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)兩個(gè)電荷共同產(chǎn)生的電位為：其中距離分別為，電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是等位線函數(shù)為: 電力線函數(shù)為：二、實(shí)驗(yàn)步驟1、打開MATLAB軟件，新建命令文檔并保存，

2、并在文檔中輸入程序。2、輸入點(diǎn)電荷q1的坐標(biāo)（q1x，q1y）, 以及q1所帶的電量。調(diào)用input函數(shù)。如果不知道該函數(shù)的使用方法可在MATLAB命令行處鍵入 doc input。3、輸入點(diǎn)電荷q1的坐標(biāo)（q1x，q1y）, 以及q1所帶的電量。4、定義比例常系數(shù)， 命令為 k=9e9。5、定義研究的坐標(biāo)系范圍為,步長(zhǎng)值為0.1。6、將x,y兩組向量轉(zhuǎn)化為二維坐標(biāo)的網(wǎng)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，函數(shù)為meshgrid。命令為X,Y=meshgrid(x,y)，如果不知道該函數(shù)的使用方法可在MATLAB命令行處鍵入 doc meshgrid。7、計(jì)算任意一點(diǎn)與點(diǎn)電荷之間的距離r，公式為，8、計(jì)算由q1,q2兩個(gè)點(diǎn)

3、電荷共同產(chǎn)生的電勢(shì)9、注意，由于在q1和q2位置處計(jì)算電勢(shì)函數(shù)為無窮大或者無窮小，因此要把這兩點(diǎn)去掉掉，以方便下面繪制等勢(shì)線。具體命令可參考Vinf1=find(V=inf);V(Vinf1)=NaN;Vinf2=find(V=-inf);V(Vinf2)=NaN;如果是可以解釋這四句話的原理，可以有加分！10、根據(jù)天長(zhǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)的關(guān)系，可直接計(jì)算E，調(diào)用gradient函數(shù)。如果不知道該函數(shù)的使用方法可在MATLAB命令行處鍵入 doc gradient。參考命令為Ex,Ey=gradient(-V)11、計(jì)算E的模值，注意在計(jì)算時(shí)運(yùn)算要加點(diǎn)，Ex.212、計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的單位矢量，注意在

4、計(jì)算時(shí)運(yùn)算要加點(diǎn)，Ey=Ey./ Eq13、生成你要繪制的等位線的數(shù)量與每條等位線上的電位值cv=linspace(min(min(V),max(max(V),49)該命令表示在最大電位與最小電位之間插入49個(gè)點(diǎn)，形成一個(gè)向量cv14、繪制等位線contourf (X,Y,V,cv,'k-') 如果不知道該函數(shù)的使用方法可在MATLAB命令行處鍵入 doc contourf。15、進(jìn)行一些修飾axis('square')title('fontnameImpactfontsize16³¡ÓëµÈ&

5、#206;»Ïß');hold on16、繪制電場(chǎng)線quiver(X,Y,Ex,Ey,0.5) 如果不知道該函數(shù)的使用方法可在MATLAB命令行處鍵入 doc quiver。17進(jìn)行一些修飾plot(q1x,q1y,'wo')plot(q2x,q2y,'ws') xlabel('x')ylabel('y')hold off18、結(jié)果驗(yàn)證（1）q1x=1,q1y=0,q1=4e-9; q1x=-1,q1y=0,q2=-4e-9（2）q1x=1,q1y=1,q1=10e-9; q1x=-1,q1y

6、=-1,q2=-4e-9（3）q1x=1,q1y=1,q1=100e-9; q1x=-1,q1y=-1,q2=100e-9三、開放性試驗(yàn)畫出電偶極子的等位線和電力線 ( r>>d ) 在球坐標(biāo)系中,通過用二項(xiàng)式展開，又有r>>d，得 用二項(xiàng)式展開，又有r>>d，得 所以 p=qd, 表示電偶極矩（dipole moment)，方向由-q 指向 +q。等位線方程 ( 球坐標(biāo)系 ) ：將E和Er代入E線方程有Q1x=1 Q1y=2 Q1=10 Q2x=1 Q2y=-2 Q2=10Q1x=1 Q1y=2 Q1=10 Q2x=1 Q2y=-2 Q2=-10Q1x=1

7、 Q2y=2 Q1=10 Q2x=-1 Q2y=-2 Q2=10 實(shí)驗(yàn)二 MATLAB電磁場(chǎng)有限元計(jì)算實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、 了解有限元算法的原理，熟練運(yùn)用MATLAB環(huán)境的PDE工具。5、 熟練運(yùn)用PDE工具分析簡(jiǎn)單的電磁場(chǎng)邊值問題。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：一、 有限元簡(jiǎn)介在電磁場(chǎng)的計(jì)算中, 僅對(duì)那些具有最簡(jiǎn)單邊界條件和場(chǎng)域幾何形狀規(guī)則的問題才有解析解, 多數(shù)問題的求解必須用數(shù)值計(jì)算的方法,其場(chǎng)域分布的數(shù)值計(jì)算內(nèi)容是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。本實(shí)驗(yàn)將有限元法和Matlab 結(jié)合起來對(duì)電磁場(chǎng)教學(xué)中的電位分布問題進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果表明使用Matlab對(duì)有限元分析編程中的矩陣進(jìn)行處理,程序設(shè)計(jì)清晰簡(jiǎn)便,易于理解和實(shí)現(xiàn)。有限元法是以變分原理

8、和剖分插值為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計(jì)算方法,其基本思想是將場(chǎng)域方程等價(jià)為一個(gè)條件變分問題,然后由條件變分問題對(duì)場(chǎng)域進(jìn)行剖分離散為方程組進(jìn)行求解。對(duì)于一個(gè)電場(chǎng)來說,其儲(chǔ)能總是趨于最小,這樣變分法的泛函和電場(chǎng)的儲(chǔ)能就聯(lián)系起來了。對(duì)于邊界為L(zhǎng) 的無源空氣介質(zhì)二維靜電場(chǎng)中,一個(gè)封閉場(chǎng)域S 內(nèi)的等價(jià)能量泛函可以寫為:在有限元分析中,將所研究的區(qū)域 S劃分成有限的n 個(gè)三角形網(wǎng)格單元。 對(duì)應(yīng)m個(gè)節(jié)點(diǎn), ds 為單元e的面積。對(duì)任意三角形單元 e 中任一點(diǎn)的電位可以認(rèn)為由該三角形的三個(gè)節(jié)點(diǎn)(分別設(shè)為i、 j、 k) 上的電位u 隨該點(diǎn)坐標(biāo)x、 y 變化而線性確定。 因此, 對(duì)于單元e 構(gòu)造插值函數(shù):其中ah 稱為形

9、狀函數(shù)。那么有插值函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)為:從而得到能量函數(shù)We: 則將單元e中的能量函數(shù)We 對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)電位ul ( l = i, j , k)求一階偏導(dǎo)數(shù), 得:表示為矩陣形式有：然后進(jìn)行總體合成, 將各單元的能量函數(shù)對(duì)同一節(jié)點(diǎn)的電位一階偏導(dǎo)數(shù)相加, 獲得所要求解的線性方程組。 由以上分析,可知在該場(chǎng)域內(nèi)電場(chǎng)有限元數(shù)學(xué)模型為:式中U 為n 個(gè)節(jié)點(diǎn)處的待求電位, K 為n 階矩陣。最后進(jìn)行強(qiáng)加邊界條件處理, 消去已知電位節(jié)點(diǎn)在系數(shù)矩陣中所在的行和列, 得到簡(jiǎn)化后的方程,繼而可以對(duì)電位進(jìn)行求解。流程框圖如下圖所示。二、靜電場(chǎng)仿真靜態(tài)場(chǎng)滿足上方基本方程，式中 D 為電位移, 為電荷密度, H 為磁場(chǎng)

10、強(qiáng)度, J 為電流密度, E為電場(chǎng)強(qiáng)度, B為磁感應(yīng)強(qiáng)度.對(duì)于恒定的電場(chǎng):式中電位滿足泊松( Poisson)方程:對(duì)于不存在電荷的空間部分有電荷體密度為零,上式退化為拉普拉斯( Laplace) 方程: 利用上述方程, 再加上邊界條件, 利用Matlab 中的偏微分工具箱, 即可求解帶電體周圍空間的電場(chǎng)分布.輸入pdetool可進(jìn)入軟件環(huán)境。兩點(diǎn)電荷的電場(chǎng)：兩等值異號(hào)點(diǎn)電荷單位, 兩者間距為1,求其電勢(shì)分布. 整個(gè)求解域取中心為原點(diǎn),半徑為2 的圓,兩空間電荷點(diǎn)位置為(-0.5,0)和( 0.5,0),作為一種近似,畫一個(gè)盡量小的圓,取半徑為0.05. 大圓的邊界條件是Di richlet邊

11、界條件,取h= 1, r= 0,這種做法是模擬遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零. 由于大圓與小圓之間的區(qū)域沒有電荷, 滿足Laplace 方程, 因此在選擇方程時(shí)選取Elliptic(橢圓)方程,其方程類型為:取系數(shù)為c= 1, a= 0, f= 0. 在表示點(diǎn)電荷的小圓內(nèi), 我們認(rèn)為電荷是均勻分布的, 滿足 Poisson 方程, 在選擇方程時(shí)也取Elliptic方程, 取系數(shù)為c= 1, a= 0, f= 0. 2. 其兩點(diǎn)電荷電勢(shì)分布上圖所示,電力線用箭頭表示.三、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體問題描述: 在電場(chǎng)強(qiáng)度為E 的靜電場(chǎng)中放置一根無限長(zhǎng)的導(dǎo)體,研究截面上的電勢(shì)分布。首先畫一個(gè)2*2的矩形R1,然后在中心原點(diǎn)畫半

12、徑為0. 3的圓E1.然后將Set formula對(duì)話框中的公式改為R1-E1,表示求解區(qū)域?yàn)槎咧?矩形所有的邊界條件是Dirichlet邊界條件, 取h=1, r= y.而在圓的邊界取h=1, r=0.由于求解域沒有電荷,因此在選擇方程時(shí)選取Elliptic(橢圓)方程,系數(shù)為c=1, a=0, f=0.其電勢(shì)分布如下圖所示,電力線用箭頭表示.四、兩根載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)問題描述: 兩根載流長(zhǎng)直導(dǎo)線,相距為0.8,導(dǎo)線直徑為0.2, 求電流引起的磁場(chǎng). 從麥克斯韋(Maxwell)方程組出發(fā),其磁場(chǎng)強(qiáng)度B和磁感應(yīng)強(qiáng)度H的關(guān)系為:磁場(chǎng)勢(shì)A 與B 有如下關(guān)系: 故可簡(jiǎn)化為橢圓方程:畫出大小為2* 2的矩形R1,兩導(dǎo)線用直徑為0. 2、 相距0. 8 的兩個(gè)圓表示. 矩形的邊界條件是Di richlet邊界條件,取h= 1, r= 0。這種做法是模擬遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)勢(shì)為零.在設(shè)置方程類型時(shí), 選取應(yīng)用模式為Mangetostatics.故在選擇方程時(shí)選取Elliptic(橢圓)方程, 對(duì)于矩形其它部分系數(shù)取=1、J=0.在表示導(dǎo)線的圓內(nèi),取= 1, J=1.兩根載流長(zhǎng)