南航CAD技術(shù)及其應(yīng)用教案

1、ComputerAidedDesign手段手段作用作用包括軟件包括軟件隱含主體隱含主體“人人”行為行為隱含客體隱含客體“產(chǎn)品產(chǎn)品”CAD的應(yīng)用領(lǐng)域工程分析與仿真工程分析與仿真優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計開始開始需求分析需求分析確定性能確定性能總體設(shè)計總體設(shè)計原型產(chǎn)品參考原型產(chǎn)品參考原型修改原型修改結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)構(gòu)設(shè)計評估決策評估決策工程描述工程描述制制 造造產(chǎn)產(chǎn) 品品結(jié)束結(jié)束初步設(shè)計初步設(shè)計結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)構(gòu)設(shè)計/建模建模知識庫知識庫模型庫模型庫MBD數(shù)控編程數(shù)控編程工藝設(shè)計工藝設(shè)計數(shù)控加工數(shù)控加工CADCAM是是是是否否否否數(shù)字化設(shè)計實(shí)例 波音波音777777，首架完全以，首架完全以CADCAD技術(shù)（技術(shù)（CAT

2、IACATIA軟件）設(shè)計的飛軟件）設(shè)計的飛機(jī)，實(shí)現(xiàn)無紙?jiān)O(shè)計。機(jī)，實(shí)現(xiàn)無紙?jiān)O(shè)計。全數(shù)字化模型，原型機(jī)建造全數(shù)字化模型，原型機(jī)建造時主要部件一次成功對接。時主要部件一次成功對接。訂貨周期由訂貨周期由1818個月縮短到個月縮短到6 6個個月。月。虛擬樣機(jī)數(shù)字化定義駕駛員座椅安裝三維線框、曲面、實(shí)體三維線框、曲面、實(shí)體參數(shù)化、主模型參數(shù)化、主模型特征建模特征建模二維繪圖二維繪圖時間歷程時間歷程技術(shù)技術(shù)智能型專業(yè)應(yīng)用智能型專業(yè)應(yīng)用面向產(chǎn)品的建模面向產(chǎn)品的建模CAD技術(shù)發(fā)展歷程技術(shù)發(fā)展歷程MBD產(chǎn)品定義形式發(fā)展歷程產(chǎn)品定義形式發(fā)展歷程 2D 工程圖 二維方式的產(chǎn)品形狀及注釋 2D 工程圖 + 3D模型方式

3、 （第一代產(chǎn)品定義技術(shù)） 三維方式的詳細(xì)形狀及二維圖紙規(guī)則形狀和注釋 3D模型 + 簡化標(biāo)注圖紙 （第二代產(chǎn)品定義技術(shù)） 三維方式的產(chǎn)品形狀,二維圖紙的部分形狀和注釋 三維形狀與二維注釋之間的數(shù)字連接 3D獨(dú)立模型（新一代產(chǎn)品定義技術(shù)） 三維方式的產(chǎn)品形狀以及包含制造特征在內(nèi)的三維注釋標(biāo)注 傳統(tǒng)傳統(tǒng) 數(shù)字化定義數(shù)字化定義MBD MBD實(shí)例實(shí)例 集成化單一數(shù)據(jù)源；產(chǎn)品主模型集成化單一數(shù)據(jù)源；產(chǎn)品主模型 (MBD)；產(chǎn)品生命周期管理；產(chǎn)品生命周期管理 智能化知識工程；專家系統(tǒng)；自頂而下智能化知識工程；專家系統(tǒng)；自頂而下 網(wǎng)絡(luò)化基于網(wǎng)絡(luò)化基于Web的資源共享、設(shè)計評估、協(xié)同工作的資源共享、設(shè)計評估、

4、協(xié)同工作 低端低端CAXA; AutoCAD; MasterCAM 等等 中端中端SolidWorks 等等 高端高端 CATIA ； UG；ProE 等等曲面造型曲面造型Its the kernel !曲曲 面面 造造 型型 實(shí)實(shí) 例例教教 學(xué)學(xué) 內(nèi)內(nèi) 容容第第1章章 緒論緒論第第2章章 曲線曲面基礎(chǔ)曲線曲面基礎(chǔ)第第3章章 參數(shù)樣條曲線曲面參數(shù)樣條曲線曲面第第4章章 孔斯（孔斯（Coons)曲面與雙三次樣條插值曲面與雙三次樣條插值第第5章章 貝齊爾貝齊爾(Bzier)曲線曲面曲線曲面第第6章章 B樣條曲線曲面樣條曲線曲面第第7章章 NURBS曲線曲面曲線曲面第第8章章 曲面的分析與處理曲面的

5、分析與處理第第9章章 三角域曲面三角域曲面第第10章章 細(xì)分曲面基礎(chǔ)細(xì)分曲面基礎(chǔ)第第11章章 參數(shù)化特征造型參數(shù)化特征造型參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)朱心雄等著朱心雄等著. 自由曲線曲面造型技術(shù)，科學(xué)出版社，自由曲線曲面造型技術(shù)，科學(xué)出版社，2000施法中編著施法中編著. 計算機(jī)輔助幾何設(shè)計與非均勻有理計算機(jī)輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條樣條, 北航出版社北航出版社.G. Farin. NURBS. From Projective Geometry to Practical Use. A K Peters, Ltd本章要點(diǎn)：本章要點(diǎn)：1. 理解點(diǎn)、矢量、坐標(biāo)系的概念理解點(diǎn)、矢量、坐標(biāo)系的概念理解理解CAD

6、坐標(biāo)系、點(diǎn)、矢量坐標(biāo)系、點(diǎn)、矢量刻舟求劍的故事刻舟求劍的故事坐標(biāo)系的人為性和相對性坐標(biāo)系的人為性和相對性點(diǎn)坐標(biāo)系中的絕對位置。點(diǎn)坐標(biāo)系中的絕對位置。矢量具有矢量具有長度和方向，長度和方向，且服從且服從相等、相相等、相加、相減及數(shù)乘加、相減及數(shù)乘諸法則的量。諸法則的量。矢量代數(shù)回顧矢量代數(shù)回顧點(diǎn)與矢量的關(guān)系絕對位置與相對位置點(diǎn)與矢量的關(guān)系絕對位置與相對位置凸組合凸組合inii0PPn,.,i,iini0010直線的表示直線的表示1. 直線隱式方程直線隱式方程f (x, y) = ax + by + c = 02. 顯式方程顯式方程y = y(x)能擴(kuò)展到空間直線嗎？能擴(kuò)展到空間直線嗎？P0(Px

7、 , Py , Pz)直線的表示直線的表示 x(t) = Px + Tx t y(t) = Py + Tyt z(t) = Pz + TztP(t) = x(t) y(t) z(t)T= P0 + T t3. 參數(shù)方程形式之一參數(shù)方程形式之一T矢量形式：矢量形式：直線的表示直線的表示3. 參數(shù)方程形式之二參數(shù)方程形式之二P0P1t = 0t = 1P(t) = x(t) y(t) z(t) T= (1-t) P0 + t P1與坐標(biāo)系無關(guān)，突出與坐標(biāo)系無關(guān)，突出比例映射比例映射關(guān)系關(guān)系Ratio 思考題：思考題：已知直線已知直線 上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn) 和和 ，求該直求該直 線上的點(diǎn)線上的點(diǎn) 的表達(dá)

8、式。的表達(dá)式。P(t)P(t1) P(t2)P(t3) 平面的隱式方程：平面的隱式方程：f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0點(diǎn)到平面的距離是什么？點(diǎn)到平面的距離是什么？ (P - P0) n = 0平面點(diǎn)法式方程的建立：平面點(diǎn)法式方程的建立：PP0np(u,v) = ua + vb + wcu + v + w 1p (u,v) = c + u(a-c) + v (b-c)pcabpcab思考題：如何求空間三角平面思考題：如何求空間三角平面片和直線段之間的交點(diǎn)片和直線段之間的交點(diǎn)？（包？（包括判斷有無交點(diǎn)）括判斷有無交點(diǎn)）Linear Pieces模擬量模擬量vs.數(shù)字量數(shù)字量!012(

9、)2(0.5)(1)4 (1)2 (0.5)tttt tt tppppx1xx2y1y0馬鞍面馬鞍面 高斯曲率高斯曲率0其余其余i 0。 N i,k為為k次規(guī)范次規(guī)范B樣條基函數(shù)。樣條基函數(shù)。idnoikiiuRu)()(,dpnojkjjkiikiuNuNuR)()()(,，則則，則則，則則，則則, 0)(1,kiikiuuuuR1)(,noikiuR0)(,uRki1)(,uRkiij0)(,uRki0iCrkCnjj,.,2 , 1, 1 otherwiseuNUifuBuRkikkkiki)(,.,.,),()(,111100 , , ,0, , , ,0X YZx y zifH X

10、Y ZX Y Zif 在從原點(diǎn)通過的直線的無限遠(yuǎn)點(diǎn) ii iii ii iixyDd )()()()()(0,00,0,nikiininikiiikiiinikiiuNuNyuNxuNuDP1nikiinikiiinikiinikiiinikiinikiiiuNuNuNuNyuNuNxu0,0,0,0,0,0,)()()()()()()(dp)()(DC,B,A,dc,b,a,CrCr()Crac/cda,b,c,dab/bdnikiinikiiiuNuNu0,0,)()()(dp*,0*,0()( *)(,)( *)()niii kjjj kjj iiiniii kjj kjj iNuNuu

11、cdNuNuddabp 上述方程是關(guān)于上述方程是關(guān)于 的直線方程，即不同權(quán)因子對應(yīng)的不同曲的直線方程，即不同權(quán)因子對應(yīng)的不同曲線上，固定參數(shù)值線上，固定參數(shù)值u的點(diǎn)都位于同一條直線上。的點(diǎn)都位于同一條直線上。i7.37.3權(quán)因子對權(quán)因子對NURBSNURBS曲線形狀的影響（續(xù)）曲線形狀的影響（續(xù)）nijojkikjjkiikiuNuNuNuR)()()() 1,(,nijojkiikjjkiiikiuNuNuNuR)()()() 1 , 0,(,0,( )( )( )( )njj kji kijj injj ki kj oj iNuNuNuNuddnnijojkjjjnijjkjjuNuN)(

12、)(,0,dm,00,( )( )( )(1)m( )( )( )( )( )nnnjj kjj kjjj kjj ojjj ij ij innnjj ki kjj kjj ki kj oj oj oj ij ij iNuNuNuNuNuNuNuNuddidmn)1(7.37.3權(quán)因子對權(quán)因子對NURBSNURBS曲線形狀的影響（續(xù)）曲線形狀的影響（續(xù)）idmp)1(i)1(1:pmpd:nmndiinijojkikjjkiikiuNuNuNuR)()()() 1,(,nijojkiikjjkiiikiuNuNuNuR)()()() 1 , 0,(,圓錐截線的圓錐截線的NURBSNURBS表示

13、表示用如圖所示的標(biāo)準(zhǔn)型用如圖所示的標(biāo)準(zhǔn)型二次有理二次有理Bzier曲線（曲線（NURBS的一個特例）表的一個特例）表示給定的圓錐截線，主示給定的圓錐截線，主要任務(wù)是確定要任務(wù)是確定w1。2210222211002)1 (2)1 ()1 (2)1 ()(uuuuuuuuubbbp0)(m,bbp1)()(202121)(,bp1121)(111202141121412411121041211)()(bbbbbbpnf11111111)11mbmnn-mb(nbmn(7.4 7.4 圓錐截線的圓錐截線的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）2122coscos1cos1mbmn202110bbb

14、bbb，直線）（，橢圓?。ǎ?，（，拋物線）（，雙曲線）（），（和），一對直線即00100111(111211211211ff1111mbmn7.4 7.4 圓錐截線的圓錐截線的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)） 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 032323131U 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0434342424141U各種構(gòu)型曲面的各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示表示 minjljkijiminjljkijijivNuNvNuNvu00,00,)()()()(),(dp mrnslskrsrljkijiljkiminjljkijivNuNvNuNvuRvuR

15、vu00,;,00,;,)()()()(),(),(),(dp7.57.5各種構(gòu)型曲面的各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）miikiuRu0,)()(drRmijjijkivuRvu010,1 ,;,),(),(dp,0,1,iiiidddddR,0,1=iii7.57.5各種構(gòu)型曲面的各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）mijjijkivuRvu010,1 ,;,),(),(dp21 ,10,iiiiddddmikiiuRu01,1)()(drmikiiuRu02,2)()(dr ,曲面各頂點(diǎn)的權(quán)因子與相應(yīng)曲線的頂點(diǎn)權(quán)因子相同。7.57.5各種構(gòu)型曲面的

16、各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）nijljvRv0,)()(drminjjiljivuRvu00,;2,),(),(dpmiji,.,1 , 0,，dj7.57.5各種構(gòu)型曲面的各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）飛飛 機(jī)機(jī) 翼翼 型型 截截 面面汽汽 車車 后后 橋橋 曲曲 面面7.57.5各種構(gòu)型曲面的各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）7.57.5各種構(gòu)型曲面的各種構(gòu)型曲面的NURBSNURBS表示（續(xù)）表示（續(xù)）水水 箱箱 NURBS 曲曲 面面渦渦 輪輪 葉葉 片片排排 氣氣 管管 NURBS 曲曲 面面型型 芯芯 NURBS

17、 曲曲 面面柴油機(jī)汽缸蓋柴油機(jī)汽缸蓋7.6 7.6 （續(xù)）（續(xù)） NURBS 方法的問題：方法的問題：不便處理散亂數(shù)據(jù)。不便處理散亂數(shù)據(jù)。不便于根據(jù)少量信息進(jìn)行不便于根據(jù)少量信息進(jìn)行整體設(shè)計。整體設(shè)計。對形狀的修改仍欠方便靈對形狀的修改仍欠方便靈活?；睢Ｓ嬎銌栴}（如相對于二次計算問題（如相對于二次曲線曲面）。曲線曲面）。1.參數(shù)化難以控制參數(shù)化難以控制 NURBS 方法的優(yōu)點(diǎn)：方法的優(yōu)點(diǎn)：可以精確表示二次圓錐截可以精確表示二次圓錐截線和二次曲面。線和二次曲面。統(tǒng)一了多種曲線曲面的表統(tǒng)一了多種曲線曲面的表示形式，大大方便了軟件示形式，大大方便了軟件系統(tǒng)的開發(fā)和維護(hù)。系統(tǒng)的開發(fā)和維護(hù)。便于從便于從

18、B樣條曲線曲面進(jìn)樣條曲線曲面進(jìn)行推廣。行推廣。1.增加了形狀修改的自由度。增加了形狀修改的自由度。8.1 8.1 （續(xù)）（續(xù)）在距離計算等問題中的應(yīng)用在距離計算等問題中的應(yīng)用0),(0),(21zyxFzyxF8.1 8.1 （續(xù)）（續(xù)）),(),(),(0),(1vuzzvuyyvuxxzyxF:S:S210),(),(),(1vuzvuyvuxF8.1 8.1 （續(xù)）（續(xù)）12n)()()(uduudnpp),(),(),(vudvuvudnpp 包括：包括：藍(lán)色區(qū)域：高斯曲率藍(lán)色區(qū)域：高斯曲率0綠色區(qū)域：高斯曲率綠色區(qū)域：高斯曲率021 /(21 / 2)CCCC距離分析距離分析相切分析

19、相切分析曲率分析曲率分析對于曲面上任意一點(diǎn)對于曲面上任意一點(diǎn)p, p是光線是光線L上離上離p最近的點(diǎn)，若最近的點(diǎn)，若(p-p)與與n之間之間的夾角等于的夾角等于0（小于給定的閾值）（小于給定的閾值）則則p為高光點(diǎn)。為高光點(diǎn)。等照度線圖等照度線圖 光順前光順前 光順后光順后abcuvwpuvwpabc注意：這里三角形的面積是有向的，因注意：這里三角形的面積是有向的，因此，面積坐標(biāo)不僅可以表示三角形內(nèi)部此，面積坐標(biāo)不僅可以表示三角形內(nèi)部的點(diǎn)，也可以表示三角形外部的點(diǎn)。的點(diǎn)，也可以表示三角形外部的點(diǎn)。1uvw面積坐標(biāo)與重心坐標(biāo)是一致的。面積坐標(biāo)與重心坐標(biāo)是一致的。當(dāng)當(dāng)p在平行于在平行于bc邊的直線上

20、移動時邊的直線上移動時，u坐標(biāo)不變。同理，坐標(biāo)不變。同理，一、三角域內(nèi)點(diǎn)的面積坐標(biāo)：一、三角域內(nèi)點(diǎn)的面積坐標(biāo)：兩個獨(dú)立變量三邊三邊Bezier曲面片曲面片(n=3)單變量的單變量的Bernstein基基 Bi,n(t), i=0,1,n 由由t+(1-t)n的二項(xiàng)式展開各項(xiàng)組成。三角域上的雙變量的的二項(xiàng)式展開各項(xiàng)組成。三角域上的雙變量的n次次Bernstein基基由(u+v+w)n的展開式的各項(xiàng)組成。二、三角域上的二、三角域上的Bernstein基基其中，其中，i + j + k = n，且且 i, j, k0可見，可見，n次次Bernstein基函數(shù)共基函數(shù)共有有(n+1)(n+2)/2個基

21、函數(shù)。它等個基函數(shù)。它等于于n階方陣的下三角中所含元素階方陣的下三角中所含元素的個數(shù)?？梢杂靡粋€三角陣列的個數(shù)?？梢杂靡粋€三角陣列來排列這些基函數(shù)。來排列這些基函數(shù)。二次三角域二次三角域Bernstein基基例如：例如：三次三角域三次三角域Bernstein基基三、三角域上的三、三角域上的Bernstein基的性質(zhì)基的性質(zhì)三角域上的三角域上的Bernstein基仍然具有規(guī)范性、非負(fù)性和基仍然具有規(guī)范性、非負(fù)性和遞推性遞推性。111, ,1, ,1, ,1( , , )( , , )( , , )( , , )nnnni j kij ki jki j kBu v wuBu v wvBu v ww

22、Bu v w遞推遞推四、三邊四、三邊Bezier曲面片的方程曲面片的方程, , ,00( , ,)( , ,)nn ini j ki j kiju v wBu v wpb0, ,1u v w三邊三邊Bezier曲面片曲面片(n=3)從基函數(shù)的遞推公式可以得到計算三邊從基函數(shù)的遞推公式可以得到計算三邊Bezier曲面片上一點(diǎn)的遞推公式：曲面片上一點(diǎn)的遞推公式：0, , ,111, ,1, ,1, ,1,1,2,.,i j ki j klllli j kij ki jki j kuvwlnbbbbbb其中，其中，, ,0ijknli j k幾何示意幾何示意控制網(wǎng)格，陰影部分為控制網(wǎng)格，陰影部分為

23、n(n1)/2 個個1次三邊次三邊Bezier曲面片。曲面片。第一次遞推第一次遞推第二、三次遞推第二、三次遞推兩個副產(chǎn)品：兩個副產(chǎn)品： 曲面分割曲面分割 切平面切平面uv平面平面 問題的提出問題的提出工業(yè)產(chǎn)品中除鈑料零件通常僅需曲面表示外，大多數(shù)零件以實(shí)體出現(xiàn)工業(yè)產(chǎn)品中除鈑料零件通常僅需曲面表示外，大多數(shù)零件以實(shí)體出現(xiàn)，應(yīng)給出實(shí)體表示。，應(yīng)給出實(shí)體表示。目前常用的實(shí)體表示方法：目前常用的實(shí)體表示方法： CSG法法 B-rep法法 空間分解法空間分解法 半空間法半空間法體素/布爾運(yùn)算/CSG表示BODYLUMPSHELLFACELOOPCOEDGEEDGEVERTEXPOINTCURVESURF

24、ACETRANSFORM共邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)共邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)翼邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)翼邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)EPVTNTVPFACENFACEPCWPCCWNCCWNCW除體素表示法以外，上面的方法基本上只給出實(shí)體的除體素表示法以外，上面的方法基本上只給出實(shí)體的邊界（所占據(jù)的空間），都假定邊界（所占據(jù)的空間），都假定實(shí)體內(nèi)部是均勻的實(shí)體內(nèi)部是均勻的，沒有實(shí)體內(nèi)部的定義。在結(jié)構(gòu)沒有實(shí)體內(nèi)部的定義。在結(jié)構(gòu)有限元分析、空間場定有限元分析、空間場定義、物體變形義、物體變形等問題的研究中，沒有內(nèi)部定義就顯得等問題的研究中，沒有內(nèi)部定義就顯得很不足。很不足。 就像雙參數(shù)曲面可看作單參數(shù)曲線的運(yùn)動軌跡一樣，實(shí)就像雙參數(shù)曲面可看作單參數(shù)曲線的運(yùn)

25、動軌跡一樣，實(shí)體可看成是雙參數(shù)曲面的運(yùn)動軌跡。用三參數(shù)矢量表示為：體可看成是雙參數(shù)曲面的運(yùn)動軌跡。用三參數(shù)矢量表示為：( , ,),( , ,)u v wu v w p參數(shù)空間區(qū)域參數(shù)空間區(qū)域固定一個參數(shù)，就得到一個固定一個參數(shù)，就得到一個等參數(shù)曲面等參數(shù)曲面，共有三族等參數(shù)曲面。，共有三族等參數(shù)曲面。固定兩個參數(shù)，就得到一條固定兩個參數(shù)，就得到一條等參數(shù)曲線等參數(shù)曲線，共有三族等參數(shù)曲線。，共有三族等參數(shù)曲線。通常情況下，通常情況下，參數(shù)域空間取為單位正方體參數(shù)域空間取為單位正方體：0, ,1u v w, ,000( , , )( )( )( )lmni j ki pj qk rijku v

26、 wNu Nv Nwpd例如例如：u 邊界面、邊界線以及角點(diǎn)邊界面、邊界線以及角點(diǎn)u 實(shí)體中的曲線實(shí)體中的曲線( ),( ),( )uu tvv tww t( ( ),( ),( )u tv tw tppu 實(shí)體中的曲面實(shí)體中的曲面( , ),( , ),( , )uu s tvv s tww s t( ( , ),( , ),( , )u s tv s tw s tpp三參數(shù)實(shí)體的偏導(dǎo)矢、參三參數(shù)實(shí)體的偏導(dǎo)矢、參數(shù)變換、體內(nèi)點(diǎn)的位置計數(shù)變換、體內(nèi)點(diǎn)的位置計算等均可參照單參數(shù)曲線算等均可參照單參數(shù)曲線、雙參數(shù)曲面類推。、雙參數(shù)曲面類推。, ,000( , , )( )( )( )lmni j

27、ki lj mk nijku v wBu Bv Bwpb三參數(shù)三參數(shù)Bezier實(shí)體：實(shí)體：三二次三二次Bezier實(shí)體：實(shí)體： 33327個控制頂點(diǎn)個控制頂點(diǎn)參見：朱心雄 著 自由曲線曲面造型技術(shù)，科學(xué)出版社，2000 先構(gòu)造一個長方體框架，將物體嵌入框架中，對框架施加外力使先構(gòu)造一個長方體框架，將物體嵌入框架中，對框架施加外力使其變形，物體的形狀也就隨著改變?？蚣艿淖冃问怯善渖系目刂祈旤c(diǎn)其變形，物體的形狀也就隨著改變?？蚣艿淖冃问怯善渖系目刂祈旤c(diǎn)的變化而產(chǎn)生的，因此就可由控制頂點(diǎn)來控制物體變形。該框架也稱的變化而產(chǎn)生的，因此就可由控制頂點(diǎn)來控制物體變形。該框架也稱為為控制框架控制框架。三參

28、數(shù)實(shí)體回顧三參數(shù)實(shí)體回顧基本原理：基本原理：構(gòu)造待變形物體的長方體包圍盒。建立構(gòu)造待變形物體的長方體包圍盒。建立局部坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系。在該包圍盒內(nèi)構(gòu)造控制頂點(diǎn)網(wǎng)格在該包圍盒內(nèi)構(gòu)造控制頂點(diǎn)網(wǎng)格構(gòu)造三參數(shù)張量積構(gòu)造三參數(shù)張量積(Bezier)實(shí)體：實(shí)體：, ,0,1,., ;0,1,.,;0,1,.,i j kiljmknP, ,000( , , )( )( )( )lmni j ki lj mk nijks t uBs Bt BuXP4. 確定待變形物體上任一點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值（確定待變形物體上任一點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值（s, t, u)。5. 改變控制頂點(diǎn)改變控制頂點(diǎn), 計算變形后參數(shù)（計算變形后參

29、數(shù)（s, t, u) 對應(yīng)的新位置：對應(yīng)的新位置：, ,000( )( )( )lmnffdi j ki lj mk nijkBs Bt BuXP難！難！討論：討論：（1）精確控制變形比較難。）精確控制變形比較難。（2）局部控制要用一個小的局部控制框架。為保持變）局部控制要用一個小的局部控制框架。為保持變形部分與不變形部分的連續(xù)，局部控制框架若干外層形部分與不變形部分的連續(xù)，局部控制框架若干外層的頂點(diǎn)應(yīng)保持不變。這可以從的頂點(diǎn)應(yīng)保持不變。這可以從Bezier曲線、曲面的連續(xù)曲線、曲面的連續(xù)性條件中類推得到。性條件中類推得到。（3）如果三參數(shù)實(shí)體用非均勻）如果三參數(shù)實(shí)體用非均勻B樣條基或非均勻有

30、理樣條基或非均勻有理B樣條基，則可以利用這些基函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行局部控樣條基，則可以利用這些基函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行局部控制等。制等。FFD方法中通過改變控制頂點(diǎn)來控制變形，不方便，不直觀。難以方法中通過改變控制頂點(diǎn)來控制變形，不方便，不直觀。難以獲得希望達(dá)到的效果。獲得希望達(dá)到的效果。DFFD方法吸收了方法吸收了FFD方法的優(yōu)點(diǎn)，一定程度上克服了方法的優(yōu)點(diǎn)，一定程度上克服了FFD方法的不方法的不足。該方法仍然用控制框架，但用戶操作的是物體上的點(diǎn)。足。該方法仍然用控制框架，但用戶操作的是物體上的點(diǎn)。其核心其核心思想是：選擇物體上的一點(diǎn)，將其移動到所要求的位置，思想是：選擇物體上的一點(diǎn)，將其移動到所要求

31、的位置，反算出控反算出控制頂點(diǎn)的位置變化，制頂點(diǎn)的位置變化，然后計算物體上其他的點(diǎn)。然后計算物體上其他的點(diǎn)。反求控制頂點(diǎn)位置變化的問題一般是一個反求控制頂點(diǎn)位置變化的問題一般是一個“欠定欠定”問題。即為達(dá)到問題。即為達(dá)到所要求的變形，控制頂點(diǎn)位置的變化并不是唯一的。為此可用最小所要求的變形，控制頂點(diǎn)位置的變化并不是唯一的。為此可用最小二乘法求解。二乘法求解。333,3,3,3000( , ,)( )( )( )i l j m knlmnlmnu v wNu Nv NwQP為物體上被移動的點(diǎn)，上式可改寫為：Q1 31 6464 3TQ= BP()TnewQ= B PP基函數(shù)構(gòu)成的行向量64個控制

32、頂點(diǎn)構(gòu)成的列向量TQ = B PTP = BQ例如：單點(diǎn)約束的情況廣義逆（均勻三三次B樣條實(shí)體）12( , )(1)( , )( , ),( , )tu vtu vtu vu vPPPDMDMCloned Laugh網(wǎng)格曲面參數(shù)化網(wǎng)格曲面參數(shù)化分片分片B樣條曲面表示樣條曲面表示細(xì)分（曲線）曲面是對控制（多變形）網(wǎng)格細(xì)分（曲線）曲面是對控制（多變形）網(wǎng)格按照一定規(guī)則反復(fù)細(xì)分所得到的按照一定規(guī)則反復(fù)細(xì)分所得到的極限極限（曲線（曲線）曲面）曲面。與傳統(tǒng)的參數(shù)曲面不同的是與傳統(tǒng)的參數(shù)曲面不同的是, ,細(xì)分曲細(xì)分曲面可以方便地表示復(fù)雜拓?fù)淙S模型面可以方便地表示復(fù)雜拓?fù)淙S模型。 因此因此細(xì)分曲面已經(jīng)被

33、廣泛地應(yīng)用于電影、游戲制細(xì)分曲面已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于電影、游戲制做等。做等。nniiiiiidddddddddd121211201041434143121n,.,i該方法是二次該方法是二次B樣條樣條節(jié)點(diǎn)插入的一個特例節(jié)點(diǎn)插入的一個特例！均勻節(jié)點(diǎn)序列，每一步細(xì)分實(shí)際上相均勻節(jié)點(diǎn)序列，每一步細(xì)分實(shí)際上相當(dāng)于在每個節(jié)點(diǎn)區(qū)間的中點(diǎn)插入一個當(dāng)于在每個節(jié)點(diǎn)區(qū)間的中點(diǎn)插入一個節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)。將將Chaikin方法拓展到曲面就是方法拓展到曲面就是Doo-Sabin細(xì)分曲面細(xì)分曲面。重要的是，。重要的是， Doo-Sabin細(xì)分曲面不但能夠處理規(guī)細(xì)分曲面不但能夠處理規(guī)則控制多面體（每個面有則控制多面體（每個面有4條邊

34、，每個內(nèi)部頂點(diǎn)是條邊，每個內(nèi)部頂點(diǎn)是4個面的匯聚點(diǎn)），而且能夠處理任意拓?fù)涞木W(wǎng)格。個面的匯聚點(diǎn)），而且能夠處理任意拓?fù)涞木W(wǎng)格。第一步：計算面重心點(diǎn)第一步：計算面重心點(diǎn)FEV新點(diǎn)新點(diǎn)新面新面第二步：計算邊中點(diǎn)第二步：計算邊中點(diǎn)第三步：計算新加點(diǎn)第三步：計算新加點(diǎn) 陰影所示的子面的重陰影所示的子面的重心點(diǎn)。心點(diǎn)。第四步：構(gòu)造新的面第四步：構(gòu)造新的面F-面，面，E-面，面，V-面面.對于規(guī)則控制多面體子區(qū)域（對于規(guī)則控制多面體子區(qū)域（3x3四邊形控制網(wǎng)格）四邊形控制網(wǎng)格）， ，相鄰的片之間是相鄰的片之間是C1連續(xù)的。在非規(guī)則的部分，光滑連續(xù)的。在非規(guī)則的部分，光滑性一般要降低。非規(guī)則面最終收縮為一點(diǎn)

35、，也稱為性一般要降低。非規(guī)則面最終收縮為一點(diǎn)，也稱為“特殊頂點(diǎn)（特殊頂點(diǎn)（extraordinary vertex)”.把三次曲線的細(xì)分規(guī)則推廣到曲面，就是把三次曲線的細(xì)分規(guī)則推廣到曲面，就是. 同樣，同樣， FEV)(2)(1)()3(VVFVaroundedgesofsintmidpoofaveragenaroundsofaveragenintpovertexoldnn經(jīng)過第一次經(jīng)過第一次細(xì)分，網(wǎng)格中的所有面均為四邊面。細(xì)分，網(wǎng)格中的所有面均為四邊面。Loop細(xì)分算法從一個初始三角控制網(wǎng)格細(xì)分算法從一個初始三角控制網(wǎng)格 開始，每個開始，每個細(xì)分步驟把網(wǎng)格細(xì)分步驟把網(wǎng)格 變成變成 。設(shè)控制網(wǎng)

36、格。設(shè)控制網(wǎng)格 中的一個控中的一個控制頂點(diǎn)制頂點(diǎn) 具有鄰域具有鄰域 ，則，則 中的控制頂點(diǎn)中的控制頂點(diǎn) 是是由由 中控制頂點(diǎn)中控制頂點(diǎn) 通過仿射線性組合計算得到通過仿射線性組合計算得到的。的。 0MM rM1rMrMrvrnrrvvv,211rM1rvrMrnrrvvv,1 細(xì)分示意圖細(xì)分示意圖 V-點(diǎn)計算規(guī)則點(diǎn)計算規(guī)則 E-點(diǎn)計算規(guī)則點(diǎn)計算規(guī)則連接新點(diǎn)產(chǎn)生新面連接新點(diǎn)產(chǎn)生新面rnrrrnnannanavvvv)()()(1 (11833111riririrrivvvvv), 1(ni2)/2cos(4183(85)(nna細(xì)分曲面研究的熱點(diǎn)問題：細(xì)分曲面研究的熱點(diǎn)問題：1.1.反問題的求解反問題的求解2.2.求交、等距等操作求交、等距等操作3.3.尖銳特征構(gòu)造尖銳特征構(gòu)造4.4.多分辨編輯多分辨編輯思考思考：對于隱式方程，：對于隱式方程， ， 表表示什么曲面？示什么曲面？pp1)(f0)(pf給定三維空間給定三維空間 的的n個散亂點(diǎn)個散亂點(diǎn) ，可以看成位于，可以看成位于一個體數(shù)據(jù)場中，每個點(diǎn)都有對應(yīng)的約束值一個體數(shù)據(jù)場中，每個點(diǎn)都有對應(yīng)的約束值 ，如果可以構(gòu)造一個標(biāo)量函數(shù)如果可以構(gòu)造一個標(biāo)量函數(shù)